Abrir el menú principal

Wikisource β

Algunas consideraciones sobre filosofía y enseñanza de la matemática

ALGUNAS CONSIDERACIONES

SOBRE

Filosofía y Enseñanza de la Matemática

POR EL

Dr. Zoel G. de Galdeano

Catedrático de Cálculo infinitesimal
en la Universidad de Zaragoza, corresponsal de las RR. Academias de Ciencias de Madrid y de Lisboa y miembro de otras asociaciones matemáticas


ZARAGOZA

TIPOGRAFÍA DE EMILIO CASAÑAL, COSO, 100

1907


Es indudable que causará sorpresa el hecho de sucederse, con rapidez notoria, una colección extensa de publicaciones matemáticas, sin tiempo material casi, para elaborar las ideas y presentarlas bien depuradas y con el rigor formal exigido, en una exposición sintética, que ofrezca las ideas ordenadas, sin repeticiones, ni omisiones, defectos en los cuales se incurre fácilmente, sobre todo cuando hoy la Matemática ha extendido sus ramas de un modo tan considerable; impidiendo esta circunstancia el recorrer, con resultados satisfactorios, todas ellas.

Pero el estado actual de nuestra enseñanza, mejor dicho, el quietismo intelectual á que nos hallamos sometidos, que entraña graves peligros, exige un movimiento rápido, una evolución casi instantánea que nos haga recuperar el tiempo perdido.

La experiencia nos ha hecho ver cómo varían los objetos de estudio en cada época, que alteran según las necesidades creadas por el movimiento de la sociedad. Hoy, los estudios de las ciencias positivas exigen una preferencia, que no se ha notado en las universidades españolas.

Se impone una transformación radical en los estudios, cuya base es la Matemática, principiando por ésta.

La marcada desproporción en que se hallan estos estudios en nuestras universidades y las de otras naciones, impone, por lo menos, el presentarla á la consideración de quienes pueden encauzar nuestras orientaciones científicas por buen camino.

Y este era el objeto de la publicación fracasada, por falta de auxilios, de la Nueva Enciclopedia, mediante la que pretendíamos dar una idea de los cursos hoy seguidos en las naciones más adelantadas, supliendo al mismo tiempo, con la publicación de teorías que hoy han perdido su primitiva importancia, pero que es útil no ignorar, la falta de no haber seguido, á su tiempo, las corrientes generales, y el habernos encerrado en un estrecho campo, donde se han estancado un reducido número de teorías, cuya renovador se ha hecho de un modo continuo, en la evolución natural de la ciencia.

Por esta razón, además de los tomos publicados, en los cuales se ha expuesto lo que es ya usual conocer de las teorías matemáticas, he creído conveniente el terminar esta última tentativa, cor un resumen histórico-bibliográfico del conjunto de teorías matemáticas que deben entrar en un plan de enseñanza de las Facultades de Ciencias, como preliminar de una exposición didáctica.

Tal vez se oponga á este propósito la consabida objeción de que, ni aun llevar á la práctica nuestros anticuados programas es posible, pues todos al unísono se quejan de la falta de tiempo de la preparación insuficiente y otros argumentos análogos. Pero realización de los ideales expuestos es un hecho. La elementalización de las teorías, que antes se consideraban como superiores, se ha realizado en todas las universidades modernasee. Y solo falta el favorecer, entre nosotros, la realización de este hecho por un perfeccionamiento de la educación intelectual, desde las enseñanzas inferiores.

Estas y otras consideraciones que se tratarán en su lugar, motiva la publicación de un último volumen, dedicado á cuestiones filosóficas y pedagógicas, que servirán de complemento á la exposición didáctica.

La empresa de publicar tanto como es necesario para que nuestra pobrísima literatura matemática se aproxime algo al espléndido desarrollo que hoy tiene en las naciones más adelantadas, es temeraria y raya en lo imposible; pues no hay inteligencia capaz de abarcar, profundizando al mismo tiempo, lo suficiente de las numerosísimas y difíciles teorías matemáticas.

Únicamente asociándose todos los esfuerzos de los más ilustres entre los matemáticos, puede realizarse una síntesis tan grandiosa como la que realizan los alemanes, con la publicación de la Encyclopedie der Mathematische Wissenschaften; y aun con tanto y tan poderosísimo esfuerzo, solo presentan un sumario de los innumerables descubrimientos realizados, hasta el punto de que aún se completa dicha Enciclopedia, por trabajos particulares de tal ó cual teoría, como se ve, por ejemplo, en las obras recientes, de la colección, Teubners Sammlung v. Mathematiche Wissenschaften: E. Netto, Lehrbuch der Combinatorik, 1901, E. v. Weber, Vorlesungen ü. das Pfaff'sche Problem., 1900, G. Loria, Spezielle Algebraiche und transcendente ebene Kurveni, 1902, etc.

Sin embargo, cuando no es posible tal asociación, y además, los elementos de combate no son suficientes, la decisión enérgica suple lo que en la realidad falta.

Y también, cuando no es posible emplear el tiempo en hacer una obra bastante meditada; es preferible que las cosas estén hechas, á esperar, con riesgo de que, dando largas al asunto, acaso no se realicen. La rapidez, con deficiencias, es preferible á un esperar indefinido.

Por último, al completarse una exposición sintética de la ciencia, según los principios formales de la Lógica y los fundamentales de la Metafísica, con los de la Pedagogía, cuyo objeto es transmitir á otras inteligencias lo que se ha constituído como organismo de ideas, se impone el tratar, en una segunda parte, lo concerniente á la enseñanza, y fijar algunas conclusiones útiles para realizar esa transmisión ó vulgarización, como base nuevos progresos, por la mayor eficacia de los instrumentos de que disponemos, conducentes á perfeccionar y hacer fácil y grata la ciencia. Esta es la razón que nos guía para dividir el presente trabajo en dos partes, filosófica y pedagógica, respectivamente.

Zaragoza 2 de Septiembre de 1907.

Firma Zoel G de Galdeano.jpg


ÍNDICE


LIBRO PRIMERO.—FILOSOFÍA

PÁGINA

CAPÍTULO I.—Exposición histórica.

§ 1.°
Resumen de las investigaciones anteriores al siglo xix.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
§ 2.°
Evolución filosófico-matemática en el siglo xix
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
§ 3.°
Exposición histórica de la evolución matemático-filosófica
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22

CAPÍTULO II.—La síntesis filosófico-matemática.

§ 1.°
Consideraciones generales
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
§ 2.°
Síntesis algorítmica
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
43
§ 3.°
Síntesis geométrica
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
48
§ 4.°
Los sistemas matemáticos
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
53
§ 5.°
Síntesis general
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
61


LIBRO SEGUNDO.—ENSEÑANZA

CAPÍTULO I.—Cuestiones de orden sociológico.

§ 1.°
Influencia preponderante de las Facultades de Ciencias.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
73
§ 2.°
Las Facultades de Ciencias
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
76
§ 3.°
Los estudios de Ciencias
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
80

CAPÍTULO II.—Cuestiones doctrinales.

§ 1.°
Práctica de la primera enseñanza
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
85
§ 2.°
Segunda enseñanza
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
87
§ 3.°
La enseñanza universitaria
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
101

CAPÍTULO III.—Cuestiones de organismo.

§ 1.°
Forma interna de la enseñanza
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
105
§ 2.°
Forma externa de la enseñanza
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
108
§ 3.°
Postergación de la enseñanza
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
112