Algunas consideraciones sobre filosofía y enseñanza de la matemática/Libro I Capítulo I
LIBRO PRIMERO.—FILOSOFIA
CAPÍTULO I
§ 1.º Resumen de las investigaciones de los filósofos matemáticos anteriores al siglo xix
Pitágoras, Platón y Aristóteles son los primeros filósofos que han dejado huellas de sus puntos de vista respecto a! desenvolvimiento matemático.
Las propiedades de los números, descubiertas por Pitágoras, se hallan consignadas en numerosas obras. En la obra, La science des nombres d'après la tradition des siècles por l'abbé Marchand (1877), se hallan reunidas todas las particularidades de esta doctrina referentes á las primeras clasificaciones de los números hasta los poligonales, triángulos de potencias, cuadrados, etc.; lo que llega hasta el triángulo de Pascal.
Aristóteles dice que la certeza de la ciencia de los números supera á la de la Geometría.
Desde la más remota antigüedad, el estudio de la extensión figurada se reduce á sustituir la extensión real por un concepto del espíritu, definiéndose el objeto mediante abstracciones. Y en esto se halla el fundamento de la certeza geométrica. No conociéndose más que lo sensible, no existiría la posibilidad de la Geometría.
La primera parte del método geométrico es el análisis. El mirar lo que se trata de obtener como si estuviese dado, y caminar de consecuencia en consecuencia hasta reconocer aquéllo como verdadero, constituye el método de Platón, ó como otros opinan, el de Pitágoras.
Descartes generalizó este método. Observó que, las ciencias matemáticas, cuyos objetos son tan diferentes, concuerdan en considerar solamente las relaciones que existen entre los objetos. Así pues, basta considerar estas relaciones en los números que los representan de una manera general. El Álgebra, la Geometría, la Mecánica, fueron comprendidas en un solo punto de vista; y así los modernos han tendido hacia la constitución puramente intelectual y simbólica de la ciencia. De manera que:
Todas las ciencias, cuyo objeto es la investigación del orden y de la medida, se refieren á las matemáticas, sin importar que sean los números, las figuras, los astros, los sonidos ú otro objeto, aquéllo cuya medida se busca. Debe pues existir una ciencia general, que explique todo lo que pueda hallarse en el orden y en la medida, que tiene un nombre propio.... las matemáticas, (Recherche de la verité, t. XI, p. 223).
«Se expresa cada una de las líneas, conocida ó desconocida, con una de las letras del alfabeto; enseguida se examinan sus relaciones, ú operaciones geométricas, mediante las cuales las unas se deducen de las otras, existiendo siempre operaciones algebraicas que les corresponden y que pueden indicarse por letras. Esto sentado, si puede expresarse una de las líneas de la figura, de dos maneras distintas, por operaciones indicadas en las otras, estas dos expresiones, dan una relación que implica la incógnita y que puede obtenerse, según las reglas del Álgebra (Descartes, Geom.).
Análogamente pasa Descartes á las relaciones entre dos incógnitas, que expresan los lugares geométricos de los antiguos. Ademas, extendió el punto de vista de Vieta, que había dado los medios de pasar de las operaciones algebraicas á las geométricas, fundando una Geometría general, la Geometría analítica.
Pitágoras y Platón consideraban á los números como esencias, como tipos existentes fuera de la inteligencia. Descartes los consideró como simples relaciones, bajo las que se agrupan, en general, nuestras ideas de magnitud y de cantidad.
Descartes dice de la lógica escolástica, que sus silogismos y la mayor parte de sus instrucciones sirven más bien para explicar á otro lo que se sabe, que para aprenderlas; y, como indica Renouvier (Manuel de philosophie moderne, p. 90):
Descartes hubiera dado poca importancia á las matemáticas, si se hubiera limitado su espíritu á la resolución de algunos problemas sobre números ó líneas; pero como dice Descartes: «Yo no abarco las matemáticas, sino que expongo un método, del que éstas son más la cubierta ó envoltorio que el fondo, pues debe contener los primeros rudimentos de la razón humana y auxiliar á hacer salir de todo objeto las verdades que contiene»; y al decir, envolver, no quiere decir, ocultar, sino, vestir y adornar, de modo que se halle más al alcance del espíritu (Régles pour la direction de l'esprit, p. 218).
Descartes toma como base de su construcción el principio intuitivo, yo pienso, luego existo y, por materiales algunas definiciones, sirviéndose luego como palanca, de una sola máquina, del infalible procedimiento deductivo, como dice Renouvier; de manera que su método de las meditaciones es el de los geómetras.
La idea, según Descartes, es una realidad objetiva. La potencia creadora de nuestra imaginación nos permite perfeccionar las imágenes de las figuras geométricas. La observación de los objetos sensibles y la contemplación de las ideas, pueden asociarse provechosamente.
Si la idea no se ha producido por una imagen, ella, á pesar nuestro, hace nacer una; pero esta imagen, distinta del objeto que representa no puede más que inducirnos á un error, pues el entendimiento abstrae generalmente, de un complejo, objetos que no se hallan aislados en la realidad; y además puede añadir otros, inventados por ella, poco conformes con los datos. La imaginación además, es la causa ocasional que hace pasar nuestras ideas, del estado de potencia al de acto. En Geometría, se emplea preferentemente la imaginación; pero también se verifica esto en la ciencia de los números, puesto que solo por abstracción puede distinguirse el número de la cosa nombrada. Fijándola en el objeto, nos impide extraviarnos y nos permite evocar nuevas ideas.
En cuanto al razonamiento deductivo, de varios pasajes de las Regulæ resulta que, en vez de tener necesidad, como la intuición, de una evidencia presente, presta su certeza á la memoria. La deducción se resuelve en una serie no continua de intuiciones. Para que la deducción se efectuase por el entendimiento, sería necesario que, reducida á una sola intuición, fuese instantánea. Á este límite, que no podemos alcanzar jamás, nos podemos aproximar. Por último Descartes admite además, una memoria intelectual, que depende del alma sola, que puede considerarse como un almacén, en el cual las nociones matemáticas, hallándose presentes á nuestro espíritu, están siempre á nuestra disposición (véase L'imagin. et les math. selon Descartes par P. Boutroux, Descartes par L. Liard); y la memoria intelectual será útil en la demostración, cuando sea necesario coordinar varias deducciones sin enlace, para coordinar los resultados.
Acerca de la universalidad de su método, basta citar el siguiente párrafo: Todas las ciencias reunidas no son más que la inteligencia humana, siempre una, siempre la misma, por variados que sean los objetos á que se aplica (Regul., reg. 1, XI), y añade, que todas tienen entre sí una dependencia mutua, siendo la ciencia un sistema de conocimientos ciertos y evidentes. De manera que, para Descartes, la unidad de la inteligencia implicaba la unidad de la ciencia.
Los juicios simples, que no pueden reducirse á otros tales, que el espíritu no puede concebir más allá, son conocidos por intuición tan evidente, que hacen imposible todo género de duda; son la concepción de un espíritu sano y atento, que nace de las solas luces de la razón (Regul., reg. 3, XI). El secreto del método cartesiano está en buscar en todo aquéllo que hay de más absoluto, y ver cómo estos elementos absolutos concurren juntamente en la composición de las demás cosas.
El método cartesiano consiste en la intuición y el razonamiento, la contemplación inmediata de la verdad; y en la continuación de esta intuición, que es razonar. Razonar es llegar por una serie no interrumpida de razonamientos, de las proposiciones complejas á las simples y en volver, después de haber recorrido las mismas series en orden inverso, de las proposiciones simples á las complejas (Regul., reg. 11, XI); así las proposiciones lejanas se reúnen en un mismo sistema. La unidad del método implica la unidad de la ciencia. Toda cuestión debe contener algo desconocido, dado en relación con algo conocido, que debe despejarse de los elementos extraños, para reducirla á otra cuestión más simple. Á cada grado de reducción y de composición, la intuición hace ver el lazo de las proposiciones sucesivas; la enumeración es un complemento necesario de la Ciencia.
Leibnitz consideraba al silogismo como una especie de Matemática universal, diciendo que la Lógica de los silogismos es verdaderamente demostrativa, como la Aritmética y la Geometría. Y en su Dissertatio de Arte combinatoria, á los diez y nueve años dió las figuras y los modos útiles del silogismo; lo que se halla expuesto detalladamente en la obra, La Logique de Leibnitz de M. Couturat; y á la manera que Aristóteles había hecho ver que las categorías sirven para clasificar los términos simples (conceptos), él pensó en la clasificación de los juicios, con lo cual bastaría hacer la enumeración de las ideas simples, para obtener de una manera progresiva, combinándolas, todas las ideas complejas, de un modo infalible. Alphabetum Cogitationum humanorum est catalogus eorum que per se concipiuntur, et quorum combinatione cæteræ ideæ nostræ exurgunt (Phil., VII), distinguiendo la Analítica ó Lógica demostrativa de la lógica inventiva; de modo que, para él, la Ciencia de la Combinación, debía ser el Arte de inventar, proponiéndose el problema fundamental de la lógica inventiva, bajo la forma: Dado un sujeto, hallar todos los predicados posibles é inversamente, inspirándose en el ejemplo de Raimundo Lulio, si bien criticaba el gran Arte de éste.
El modo de proceder de Leibnitz se halla detalladamente expuesto en la obra citada de M. Couturat, según los manuscritos estudiados por este filósofo matemático. Esta obra de los primeros años de Leibnitz, de la que nace la idea una Álgebra lógica, concebida bajo la forma de una lengua universal, fué el preludio de sus ulteriores descubrimientos.
Bastará añadir respecto á esta cuestión, que, como después han expresado Boole y Jevons, la composición de los conceptos era análoga á la composición de los números por medio de factores primos, siendo éstos los géneros con relación á sus múltiplos, etc. Y sin entrar en detalles expuestos por M. Couturat acerca de la formación de esta Gramática filosófica, es interesante consignar que Leibnitz dio una muestra de su lengua filosófíca, aplicándola á la Geometría, concediendo gran importancia á los esquemas geométricos.
Por otra parte, concebía la lógica, no solo como el Arte de juzgar y demostrar; sino como el de pensar, distinguiendo en ella dos partes: La primera, cuyo objeto es demostrar la verdad ya descubierta, la segunda, cuyo objeto sería un método seguro é infalible para descubrir verdades nuevas, en un orden progresivo y sistemático y aún superando á Aristóteles en la cuestión de las categorías, según se indicó, llega en su teoría general de las relaciones, á las categorías matemáticas, á saber, las relaciones de continente y contenido, la determinación, las más especiales de congruencia, igualdad, semejanza, (Couturat, obra citada, págs. 304-318).
Vemos pues, que Descartes y Leibnitz habían enriquecido la Matemática importando nuevos principios y métodos, y que Newton con el Cálculo de las fluxiones había también contribuido poderosamente, y con la mayor eficacia, á extender la esfera de esta ciencia, sin pasar del dominio de la misma, y permaneciendo puramente matemático.
Á la época filosófica sucede una época de gestación, en la que se elaboran y extienden los nuevos conceptos que entrañaba el cálculo infinitesimal. Los Bernoulli, el marqués de L' Hospital, Waring y, por último, Euler y Lagrange, contribuyen al progreso del análisis matemático, hasta comienzos del siglo xix.
§ 2.º Evolución filosófico-matemática en el siglo xix
I. Escuela racionalista. En la evolución matemática aparecen dos desarrollos, uno externo y otro interno. El primero lo realizan los filósofos, que tratan de lo fundamental, de los conceptos generales, del método en su acepción formal, y el segundo, los matemáticos que, aceptando de los primeros aquéllo que es conducente para sus fines, lo elaboran y concretan, para tomarlo como punto de partida y desarrollarlo, dentro de la ciencia particular que como todas las demás, son irradiaciones distintas de la ciencia general.
Aunque todos los filósofos han tratado, por lo menos incidentalmente de los fundamentos de la Matemática ó de los conceptos fundamentales de la misma, algunos se han distinguido por cierta preferencia ó importancia que le han otorgado. El primero de éstos es Krause, que escribió en 1804 su Grundlage eines philosophischen Systems der Mathematik [1].
Aunque es loable la tendencia de aproximar la Metafísica á la Matemática, la tendencia de Krause no fué eficaz, pues en nada influye la perfección de los conceptos generales, externos al desarrollo de la Matemática, cuya evolución se efectúa por intussusception, siendo su método inventivo el análisis, por el que se acrecienta su contenido de dentro á fuera.
La Matemática es una filosofía práctica, ejercida sobre objetos especiales; y todos los grandes matemáticos se han distinguido por su elevado espíritu filosófico, y á éstos es á quienes debemos referirnos, exclusivamente.
Wronski fué un talento filosófico-matemático. En este genio colosal se aunaban las dos tendencias; y bajo la influencia de los filósofos racionalistas, edificó su sistema matemático, donde principalmente se nota el influjo de la filosofía kantiana.
Partiendo de que el mundo físico, en su causalidad no inteligente, en la naturaleza, presenta la forma, manera de ser, el contenido, esencia de la acción física, señala cada uno de estos dos objetos como correspondiente, el primero á la Matemática y el segundo á la Física.
La forma del mundo físico, que resulta de la aplicación de las leyes transcendentes de la sensibilidad á los fenómenos dados a posteriori, según Wronski, es el tiempo, para todos los objetos físicos en general, y el espacio, para los objetos físicos exteriores; de manera que las leyes del tiempo y del espacio, considerando éstos como pertenecientes al mundo físico, dado a posteriori, constituyen el verdadero objeto de las Matemáticas.
Aplicando las leyes determinadas de las funciones intelectuales que constituyen la naturaleza del saber humano, al objeto general de las Matemáticas, al mundo físico, resulta un sistema de leyes particulares, que constituyen los principios filosóficos de las Matemáticas. Y la filosofía de las Matemáticas da también la explicación de los fenómenos intelectuales que presentan las ciencias matemáticas, pues el conjunto de estas ciencias forma cierto orden de funciones intelectuales, que son verdaderos fenómenos.
Después de exponer Wronski estos principios en su Introduction à la Philosophie des mathématiques y la Philosopie de la technie algorithmique (1811 y 1815), para determinar el objeto, al aplicar al tiempo la primera de las leyes del entendimiento, la cantidad, en toda su generalidad, resulta la concepción de la sucesión de los instantes y, en su mayor abstracción el esquema del número; y además, aplicando la misma ley transcendente á la intuición del espacio, considerado objetivamente, como perteneciente á los objetos físicos, dados a posteriori, resulta la concepción de la unión de puntos, y en su mayor amplitud, el concepto ó el esquema de la extensión.
Estas dos determinaciones particulares del objeto de las Matemáticas originan las dos ramas: Algoritmia y Geometría. El objeto de la primera es el número, el de la segunda, la extensión.
Los números pueden considerarse en general y en particular; es decir, podemos considerar las leyes y los hechos de los números. Consideración que pertenece al método de la ciencia.
Las leyes de los números constituyen el Álgebra y los hechos la Aritmética; y análogamente tendremos: Geometría general y particular.
En cuanto á la consideración subjetiva, considera Wronski dos puntos de vista; por el uno se descubre la naturaleza de la cantidad, por el otro, su medida. Por el primero se descubre la naturaleza de las cantidades matemáticas, lo que es; (en la esencia de estas cantidades) y se halla fundado en la especulación; por el segundo, lo que es necesario hacer (para llegar á la evaluación de las cantidades) y está fundado en una especie de acción. En el primero de los dos puntos de vista domina el entendimiento, facultad de especulación, en el segundo la voluntad, facultad de acción.
Teoremas son las proposiciones, cuyo objeto es la naturaleza de las cantidades matemáticas, y métodos las proposiciones que tienen por objeto la medida, lo que conduce á la teoría y á la técnia.
Además hay que distinguir los elementos de las operaciones matemáticas posibles, de su reunión sistemática; de manera que tendremos: Teoría algorítmica elemental y Teoría algorítmica sistemática.
Los dos algoritmos elementales, primitivos y esencialmente opuestos son la Sumación y la Graduación; en el primero, las partes de la cantidad son discontinuas y extensivas; tienen el carácter de la agregación (per juxta positionem). En la graduación, las partes de la cantidad son continuas y en cierto modo intensivas; tienen el aspecto del carácter del crecimiento (per intus susceptionem). La función intelectual de la sumación está fundada en las leyes constitutivas del entendimiento estrictamente dicho, la función intelectual de la graduación está fundada en las leyes reguladoras de la razón.
La neutralización de estas dos funciones intelectuales y, por consiguiente, de los dos algoritmos elementales que les corresponden, produce una función intermediaria, á la que corresponde el algoritmo intermediario de la reproducción, con sus dos maneras progresiva y regresiva: la multiplicación y la división. Este algoritmo se refiere á la facultad del juicio, por lo cual, debe considerarse como primitivo.
Entre las funciones algorítmicas derivadas, considera Wronski aquéllas cuya derivación es contingente.
La combinación de los algoritmos primitivos de la reproducción y de la sumación, da el algoritmo derivado de la numeración; y la combinación del de la reproducción y de la graduación, el de las facultades, cuyos esquemas son
Las teorías de la numeración y de la graduación tienen por objeto la generación de las cantidades algorítmicas, por dichas dos combinaciones. Los esquemas de estos enlaces son
![{\displaystyle \varphi (x)=(x^{1:\infty }-1):{\sqrt[{\infty }]{a}}-1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87ba9d23dfbb02a47e9178b325bf10ea5547d612)
Cuando el exponente implica lo infinito, estamos en el caso de los logaritmos.
Wronski, en sus deducciones, al examinar el segundo caso, cuando el exponente es imaginario, llega á las funciones seno y coseno, circulares.
En cuanto á la parte sistemática, observa que la reunión de los dos algoritmos primitivos y opuestos, la sumación y la graduación, solo puede existir: 1.º, por la influencia sistemática de la sumación en la generación de las cantidades, en la cual domina la graduación. 2.º, por la influencia sistemática de ésta en la generación de las cantidades en las que domina aquélla; y 3.º, por la influencia sistemática y recíproca de la sumación y la graduación en la generación de las cantidades en que dominan ambos algoritmos, lo que le conduce, respectivamente á las teorías de las diferencias, los grados y los números. Y distingue el cálculo de las diferencias determinadas, del de las indeterminadas ó cálculo de la variación de las diferencias.
Pero donde expresa la mayor generalidad de sus concepciones es en la Filosofía de la tecnia algorítmica, al formular la cuestión ¿en qué consisten las Matemáticas? y proponerse llegar á la ley universal de la generación de las cantidades.
El entendimiento da una suma discontinua y la razón introduce una transición indefinida ó una continuidad en esta generación.
Wronski llevó adelante su trabajo de síntesis en su última obra: Messianisme ou reforme absolue du savoir humain, cuyo título indica lo irrealizable de su colosal empresa.
Se ve pues que Wronski hizo una grandiosa síntesis de la Matemática, expresando las relaciones generales de los conceptos que constituyen su organismo; pero la Matemática no puede contenerse en los estrechos moldes de un sistema filosófico, que puede dar en cada época de evolución de aquélla, una síntesis razonada, según el grado de progreso alcanzado. Se trata de un trabajo de ordenación de los conceptos, que siempre tendrá un valor relativo; pues la Matemática no se encierra dentro de una esfera limitada. Por el contrario, progresa de dentro á fuera. Se engrandece por el Análisis; y al hacerse más densos sus elementos constitutivos, éstos se empujan mutuamente hacia la superficie, que se dilata de contínuo, y exige una más ámplia esfera. Y aunque en el caso de existir un sistema filosófico que señalara los puntos capitales, fuera de los que no se concibiera la posibilidad de existir otros nuevos; lo importante en la Matemática no es la vaga generalidad en que los hechos se pierden dentro de un conjunto, sino la claridad que ilumina los detalles, y define con evidencia lo individual; pues la clari da y evidencia de los hechos se propagan á los sistemas que forman y el foco de luz la irradia desde el centro hacia la superficie.
Esto no implica el desconocimiento de la influencia que la Filosofía, como madre de las ciencias, ejerce en la Matemática. Aquélla presentará puntos de vista más ó menos lejanos, que orientará las direcciones dadas á la inteligencia hacia nuevas finalidades. Por otra parte, la Metafísica, en su marcha descendente y la Matemática en su marcha, desde el centro hacia la superficie, se encontrarán en ésta, que cada vez señalará la esfera matemática, y en la que la Matemática tomará sus principios fundamentales, postulados y axiomas, para organizarse conforme á ellos, y mantener siempre el rigor en sus razonamientos.
II. Evolución positivista. Un sistema opuesto al de Wronski es el de Augusto Comte, que publicó, en 1830, el tomo primero de su Cours de Philosophie positive, donde se hallan los principios de su sistema.
Comienza, exponiendo el primer resultado directo de la filosofía positiva, á saber: la manifestación, por la experiencia, de las leyes que siguen nuestras funciones intelectuales. Admite que todos los trabajos humanos son, ó de especulación ó de acción. Así, nuestros conocimientos son teóricos ó prácticos; y presenta el estudio de la naturaleza como destinado á dar la base racional de la acción del hombre sobre la naturaleza. El espíritu humano debe proceder, en las investigaciones teóricas, haciendo abstracción por completo de toda consideración práctica, por efecto de las deficiencias de nuestros medios para descubrir la verdad.
Toda ciencia tiene dos modos de exposición: histórico y dogmático; por el segundo, se presenta el sistema de las ideas, tal como puede concebirse hoy por un solo espíritu, que, colocado desde un punto de vista conveniente, y provisto de suficientes conocimientos, tratara de rehacer la ciencia en su conjunto (Cours., t. I, p. 61). Este método solo es aplicable á una ciencia que ha llegado á un alto grado de perfeccionamiento. Y lo conveniente es llegar á cierta combinación del orden dogmático con el orden histórico; siendo una imperfección fundamental del método dogmático, el dejar en la ignorancia de cómo se han ido formando los diversos conocimientos humanos. Y añade Augusto Comte: «Creo que no se conoce completamente una ciencia, cuando no se conoce su historia». Por esto, considera cuidadosamente la historia real de las ciencias fundamentales, que en su clasificación son en número de seis.
Respecto á la Matemática, designándola en singular, siguiendo á Condorcet, para indicar el espíritu de unidad, según el cual concibe esta ciencia, vemos que la define como la ciencia cuyo objeto es la medida de las magnitudes, entendiendo por medida no la directa, que consiste en la superposición ú otro procedimiento análogo, sino la indirecta, consistente en determinar las magnitudes mutuamente, según las relaciones existentes entre ellas; hace consistir el espíritu matemático en mirar ligadas entre sí todas las cantidades que puede presentar un fenómeno cualquiera, con el objeto de deducir las unas de las otras, y admite que toda ciencia consiste en la coordinación de los hechos, deduciéndose del menor número posible de datos inmediatos, el mayor número posible de resultados.
Toda cuestión matemática se descompone en dos partes esencialmente distintas: La parte concreta, consistente en la determinación de las relaciones que existen entre las cantidades conocidas y las desconocidas, y la parte abstracta, que se reduce á una pura cuestión de números, á obtener la ecuación que liga las cantidades conocidas con las desconocidas.
La parte concreta se halla fundada en la consideración del mundo exterior; la abstracta solo puede consistir en una serie de deducciones racionales, más ó menos prolongada; y á la inteligencia corresponde el deducir, de las ecuaciones, los resultados en ellas comprendidos. La parte concreta de la Matemática consiste en la Geometría y en la Mecánica, que Comte considera como dos ciencias naturales.
En cuanto á la Matemática abstracta, se compone de lo que se llama cálculo, cuyo objeto es resolver cuestiones de números, esto es, deducir las cantidades desconocidas de las conocidas, no opinando, como Condillac, que la perfección del Análisis matemático depende de la naturaleza de los signos que emplea, sino en la sencillez de las ideas en él consideradas, cualquiera que sea el signo que las exprese.
Para hacer entrar una cuestión dentro del dominio matemático es preciso, pues, llegar el descubrir relaciones precisas entre las cantidades coexistentes en el fenómeno estudiado, siendo el punto de partida de los trabajos analíticos, la obtención de las ecuaciones de los fenómenos.
En cuanto á las teorías analíticas, más simples y generales que las de la Matemática concreta, son independientes de ella, y juzga posible el exponerlas en un sistema único y continuo, observando que la mayor parte de las funciones, hoy consideradas como puramente abstractas, han comenzado por ser concretas, como por ejemplo x2 y x3; y opina que los elementos analíticos no aumentarán considerablemente, por las dificultades que cree existen para su aumento. El Álgebra es, para Comte, el cálculo de las fuciones, y la Aritmética el de los valores. Observa además que, para salvar las dificultades mencionadas, se pueden introducir cantidades auxiliares que figuran en lo que llama Análisis transcendente, (cálculo de las fluxiones, de los límites, etc.), que es el creado por Newton y Leibnitz y el expuesto después por Lagrange; de manera que, además del Análisis ordinario ó algebráico, admite el transcendente.
En cuanto á la Geometría, que considera Comte superior á la Mecánica, á la Termología, etc., la define también como ciencia, cuyo objeto es la medida de la extensión.
La noción de espacio, dice, es la concepción consistente en considerar la extensión, no en los cuerpos, sino en un medio indefinido que los contiene, noción sugerida, cuando pensamos en la huella que dejaría un cuerpo en un fluido, donde estuviera colocado; y, en vez de considerar la extensión en los cuerpos, podemos concebirla en el espacio, y así la inteligencia examinará fácilmente todas las formas imaginables. Las superficies y las líneas se conciben realmente con las tres dimensiones, una línea, por ejemplo, como un hilo indefinidamente adelgazado. La noción de medida no es exactamente igual para las superficies y los volúmenes. El objeto general de la Geometría, respecto á ambos, es reducir todas la, comparaciones á comparaciones de líneas. Y todos los medios inmediatos para obtener curvas diversas, no tienen importancia, desde que Descartes, con la geometría llamada por Comte racional, adquirió su carácter definitivo.
Las investigaciones relativas á la medida de la extensión consisten esencialmente en el estudio de las diversas propiedades de cada línea ó superficie.
El trabajo de los filósofos y sus sistemas irradian alguna vez luz aprovechable; pero estos sistemas pasan dejando alguna ráfaga, para perder luego, por una constante instabilidad, su influencia avasalladora, en una época más ó menos dilatada.
Hoy parece que el antagonismo entre filósofos y matemáticos ha cesado. Y tanto unos como los otros tienden á armonizar sus puntos de vista diferentes.
La Revue de Philosophie publica trabajos de los más insignes matemáticos. Y éstos tuvieron brillante y nutrida representación en el Congrès international de Philosophie de Paris (1900), donde se trató de la historia, de la lógica algorítmica, de las definiciones matemáticas, de los métodos lógicos para definir el número entero, de la Geometría como sistema puramente lógico, de la clasificación de las ciencias, de la comparabilidad de los espacios, en lo que intervinieron los matemáticos Moritz Cantor, Günther Schroeder, Poretskv, Peano, Burali-Forti y otros varios, ya citados en esta reseña de evolución matemática, de que dio cuenta M. Couturat en L 'Enseignement mathématique 19OO, ps. 397-410.
Varios filósofos hoy contribuyen eficazmente al esclarecimiento de algunos conceptos y á señalar lagunas en la región de los conocimientos matemáticos, tendiendo á perfeccionamientos ulteriores sobre lo ya constituído. Así como los matemáticos, según se ha visto por lo arriba indicado y por obras que actualmente se publican también, entran en los dominios de la filosofía, entendiéndose por filosofía matemática, cierta expansión de esta ciencia hacia los principios subjetivos; pues en cuanto al orden objetivo, la Matemática, como toda ciencia, es una filosofía especial, no siendo menos filósofo Weierstrass al crear la teoría de las funciones analíticas, ó Cantor, al crear la teoría de los conjuntos, que Comte ó Wronski al sujetar la Matemática dentro del molde de un sistema filosófico, ó que Descartes y Leibnitz al asimilar y fundir una región con la otra, de las que circunscriben cada una de estas dos tendencias del espíritu humano.
M. Liard, con sus obras Des définitions géométriques et des définitions empiriques (1888) y Les logiciens anglais contemporains (1878), ha hecho servicios importantes á la Matemática, así como MM. Dunan, Guyan, Milhaud y otros por sus obras publicadas en la Bibliothèque de Philosophie contemporaine, M. Couturat con sus obras L'Infni y la Logique de Leibnitz, y el doctor en filosofía Herr Kurt Geissler con su obra Die Gründsätze und das Wessen des Unendlichen in der Math. und Phil. (1902), han aportado también su contribución á este movimiento filosófico-matemático.
Las definiciones, los axiomas, las formas del razonamiento, etc., han sido ampliamente discutidos como base de una exposición rigurosa de los modernos descubrimientos ó nuevos puntos de vista de la Matemática actual.
Toda ciencia es filosofía. Pero ciñéndonos á considerar como tal, lo que se refiere á los principios generales, métodos y la coordinación de ideas, debemos admitir entre los matemáticos filósofos, aquéllos que han contribuído á este desarrollo de carácter formal, y que se refieren á las relaciones subjetivo-objetivas, ó á conceptos trascendentes, tales como lo imaginario, lo infinito, etc.§ 3.º Exposición histórica de la evolución matemático-filosófica
Geometría. También á principios del siglo xix se efectúa una evolución matemático-filosófica expresada en las obras de Carnot, Poncelet, Cournot, etc., ó si se quiere, de crítica matemática.
Carnot, con su obra, De la correlation des figures de Géométrie (1801), pretendió llegar á cierta unidad, concibiendo sistemas geométricos, continua ó indefinidamente variables ó deformables.
Cuando las propiedades de un sistema cualquiera se hallan expresadas por ecuaciones ó fórmulas tales, que todas las operaciones indicadas con los signos pueden efectuarse realmente, las fórmulas son aplicables inmediatamente y son fórmulas explícitas; y, cuando no son inmediatamente aplicables, son implícitas.
Tomando un sistema como término de comparación, que será el sistema primitivo, otro que se refiera á éste, será un sistema transformado.
La diferencia de dos cantidades del sistema transformado, se dirá que está en sentido directo, cuando, comparándolas á sus correspondientes en el sistema primitivo, la mayor en el uno corresponde á la mayor en el otro; y estarán en sentido inverso, cuando suceda lo contrario. Habrá pues cantidades en orden directo y en orden inverso.
Dos sistemas serán correlativos, cuando se puedan referir á un mismo sistema primitivo, es decir, los que puedan considerarse como diversos estados de un mismo sistema variable, que se transforma por grados insensibles. Las cantidades que se corresponden en dos sistemas correlativos se llaman cantidades correlativas; y según lo anterior habrá correlación directa y correlación indirecta.
De estos principios resulta la siguiente regla:
«Para hacer las fórmulas de un sistema cualquiera, inmediatamente aplicables á otro sistema que le sea correlativo, es necesario: 1.º Establecer la correlación de los valores absolutos, sustituyendo, en cada una de las que pertenecen al sistema primitivo, tomando como término de comparación, el valor que le corresponda en el otro sistema. 2.° Establecer la correlación de los signos, cambiando en las fórmulas el signo de cada uno de los valores, cuyas cantidades son inversas en el segundo sistema, y dejando á cada una de las demás, con el signo que tiene su correspondiente en el sistema primitivo».
Carnot considera, en el caso de que ningún sistema transformado puede satisfacer al cambio operado de signos, una tercera correlación que llama compleja ó imaginaria, que es el caso en el cual los cuadrados ú otras funciones cualesquiera de las cantidades, que no son ni directa ni indirectamente correlativas, se encuentran en correlación. Por ejemplo, la hipérbola está en correlación indirecta con la circunferencia.
Por último, Carnot dió más amplio desarrollo á su idea en su Géométrie de position (1803).
Puede considerarse, en este orden de ideas, á Poncelet, como el continuador de Carnot.
Aparte de los muchos descubrimientos puramente geométricos que le debe la Ciencia, se observa en sus obras un carácter eminentemente generalizador, que entra en el dominio de la filosofía, siendo su aspiración predominante establecer el principio de continuidad.
Ya se ve la tendencia generalizadora de Poncelet en su teoría de las cónicas suplementarias, donde aplica sus especiales conceptos de las tangentes y de las cuerdas ideales. Y no solamente razona en sus teorías acerca de lo imaginario, sino también respecto á lo infinito, desempeñando por igual ambos conceptos el papel principal de sus teorías. Así, su espíritu generalizador le llevó á concluir que:
«Dos hipérbolas semejantes y semejantemente colocadas en un plano, tienen una secante común en el infinito», que: «Un número cualquiera de circunferencias, situadas arbitrariamente en un plano, tienen una secante ideal común en el infinito, y si son concéntricas esta recta será una secante ideal de contacto», y que «dos circunferencias se pueden considerar como dos secciones cónicas que tienen cuatro puntos comunes, dos de ellos imaginarios en el infinito», etc.
Amplificando la idea de Carnot, aplica el principio de continuidad ó de permanencia de las relaciones matemáticas, sucesivamente á la Geometría analítica y á la métrica.
La Geometría analítica se apoya en las dos hipótesis de que la continuidad subsiste en las relaciones primitivas de un sistema, en las leyes generales que lo definen y en los resultados de las combinaciones y operaciones del Álgebra.
Cada una de las ecuaciones que definen las líneas, no es más que la expresión algebraica de una propiedad geométrica perteneciente á los puntos individuales de aquéllas; y puesto que esta prpiedad se obtiene de las nociones de la Geometría pura, y su extensión tiene su razón de ser en un hecho, no puede resultar de ningún principio extraño á la Geometría; y la regla de los signos, resulta de este hecho puramente geométrico. Lo mismo sucede, en cuanto á la admisión de las imaginarias. Puesto que, en las figuras consideradas, la cosa representada pierde su existencia, precisamente en los mismos límites en que la expresión algebraica correspondiente se hace imaginaria, es posible y se puede permitir el adoptar siempre, esta expresión como la definición rigurosa y la expresión exacta de dicho objeto.
El suponer que las letras representativas de las cantidades tengan toda la indeterminación posible, contribuirá á que se confundan, sin intención expresa, las operaciones sobre magnitudes indeterminadas ó implícitas con las absolutas, como por ejemplo a - b, , etc, ya sea a mayor ó menor que b; y entonces se abandonará el razonamiento explícito ordinario, considerándose dichas expresiones como si representaran magnitudes numéricas absolutas.
Observa Poncelet que, si Vieta y otros geómetras llegaron á ciertos seres de razón que contrariaban al entendimiento, esto dependía de haber representado las magnitudes limitadas y finitas por caracteres extraños á estas magnitudes, y aparecen con una indeterminación, que no tienen realmente, obligando á razonar de una manera implícita, sobre las combinaciones abstractas del cálculo, sin permitir la naturaleza de las expresiones algebraicas, resultado de estas combinaciones.
Respecto á la Geometría que llama Poncelet, racional, observa que habiéndose considerado en la figura tipo objetos reales y geométricos á los que son aplicables las propiedades métricas ó descriptivas, y en ciertos casos una relación se refiere á un estado ideal de la figura, ó indica operaciones que no son absolutas, esto depende de que se ha extendido tácitamente la significación de dicho estado, invocando el principio de continuidad, ó porque se ha empleado el razonamiento implícito.
Este principio de continuidad no expresa más que lo relativo, sin decidir acerca de la naturaleza y existencia absoluta de los objetos. Sin embargo, observa Poncelet, que cuando las relaciones de los objetos dejan de expresar algo real, cuando estos objetos han perdido su existencia geométrica, no viéndose como se podrán interpretar en las aplicaciones, no por esto se han convertido en absurdas ni carecen de significación; sirviendo todavía para caracterizar y determinar la verdadera naturaleza del sistema al que se aplican, por la incompatibilidad de las dependencias que expresan, entre los objetos que han permanecido reales y los que han perdido su existencia geométrica individual.
Además, porque ciertas relaciones pertenecientes á una figura dada sean reales, no se puede afirmar que los objetos correspondientes sean siempre posibles, y recíprocamente: Porque un objeto sea actualmente imposible, no debe inducirse que las relaciones ó signos que sirven para construirlo, dejen de tener una existencia efectiva.
Las relaciones dadas en una figura, indicarán la falta de existencia de los objetos de una figura, por su incompatibilidad.
En Álgebra no hay dificultad alguna en aplicar el principio de continuidad, porque la no existencia de las magnitudes conserva un signo en el cálculo, y esto se extiende á la Geometría cuando solo se trata de relaciones métricas; pero no sucede lo mismo en cuanto á las propiedades puramente descriptivas. No es posible combinar los objetos cuando han dejado de existir.
Pero al emplearse el Análisis algebraico, se han introducido, en el lenguaje de la Geometría, algunas expresiones que caracterizan la no existencia, y permiten considerar ciertos seres ficticios como objetos reales del razonamiento; tales son los infinitamente grandes é infinitamente pequeños, cuya existencia, considera Poncelet como puramente hipotética. Cuando se aproximan continuamente dos puntos, hasta llegar á confundirse, para que conserve su distancia una existencia, por lo menos ideal, se dice que se hallan á una distancia menor que toda distancia dada y la recta que los contiene es un elemento infinitamente pequeño; y si dichos puntos después de haberse aproximado indefinidamente han perdido simultáneamente su existencia geométrica, para conservarles, siquiera una existencia ideal, se dirá que se han hecho simultáneamente imaginarios.
Poncelet, en sus Applications d'Analyse et de Géométrie, aplica las anteriores consideraciones á su teoría de las cónicas suplementarias, como lo hizo en su Traité des propriétés projectives des figures.
Independientemente del sistema de Comte, y solo en cuanto á la Geometría se refiere, y en conformidad con el mismo, aparecieron las Geometría de Lobatschewsky y de Bolyai, que parten de la consideración objetiva del espacio, y aun Gauss participaba de esta opinión, en una carta escrita á Bessel en la que decía: «Debemos asentir á que si el número es producto de nuestro espíritu, el espacio es real, fuera de nosotros, y no podemos darle las leyes a priori»; y en otra carta dirigida á Olbers (1817), dice: «Puede ser que en la vida futura comprendamos lo que nos es imposible el comprender hoy, la naturaleza del espacio. Hasta entonces, debemos comparar la Geometría á la Mecánica y no á la Aritmética»[2].
La evolución iniciada en la Geometría por Lobatschewsky y Bolyai es favorable al sistema de Comte y entra en el orden de ideas al mismo, pues implica la idea de un espacio objetivo con cualidades propias, independientes de nosotros, entre las que la más importante es la curvatura. Ya Gauss, en su tratado de la curvatura de las superficies había establecido la noción de coeficiente de curvatura. En la Geometría de Lobatschewsky resulta la superficie límite ú horisfera, de la rotación de una curva-límite, alrededor de sus ejes, lo que conduce á una trigonometría análoga á la trigonometría esférica de la Geometría ordinaria, originándose el concepto de un espacio de curvatura constante negativa, pues Beltrami llegó á las superficies pseudoesféricas, cuyo coeficiente de curvatura es constante.
Cuando el coeficiente de curvatura del espacio es siempre cero, resulta un espacio en el que se verifica la Geometría de Euclides; y, cuando el coeficiente de curvatura es positivo, se obtiene el espacio esférico, que conviene á la Geometría de Riemann.
Helmholtz, en su célebre memoria sobre los axiomas de la Geometría (Ü d urspr u d Bedeut. de Geom. Axiome, 1870), analiza estos nuevos puntos de vista de la Geometría, partiendo de la hipótesis de existir seres conformados según la naturaleza de cada género de espacio, para inducir sus sistemas de axiomas, en cada caso; y establece la noción de distancia, por medio de una ecuación correspondiente á la relación invariable que subsiste entre dos puntos, durante el movimiento de un cuerpo sólido, estableciendo así la noción de solidez, y concluyendo que la diferencia que separa la geometría del espacio euclídeo del de la esfera y de la pseudoesfera estriba en el valor de cierta constante, que Riemann llamó el coeficiente de curvatura.
Estos desarrollos han hecho comparar la evolución de la Geometría, debida á Lobatschewsky, á la de Copérnico en Astronomía, por Clifford (Lectures and Essays, vol. I), que se extiende en consideraciones acerca de lo que pueda ser el espacio; y sobre aquí y ahora, concibe un allí y entonces.
El estudio de estas nuevas geometrías, juntamente con el de las variedades ó geometrías de n dimensiones, ha originado una rica literatura en la que se han discutido estos nuevos puntos de vista. Los nombres de los matemáticos que han intervenido principalmente en estos desarrollos, se hallan citados en el resumen que más adelante se verá, al tratar de los mismos.
Álgebra en su relación con el orden. Aunque la obra de Poinsot, Réflexions sur les principes fondamentaux de la théorie des nombres (1845), se refiere tan solo á una especial teoría, debe citarse en la actual exposición, porque su objeto principal es hacerse destacar en la Matemática, al lado de los conceptos de proporción' ó de medida, los de orden y situación.
Refiriéndose á la conclusión de d'Alembert, que ve en la riqueza del Álgebra, debida á su generalidad, un inconveniente, por dar una ecuación más raíces de las que son necesarias en una cuestión propuesta, Poinsot no ve en dicha generalidad, ni una riqueza ni un inconveniente, pues constituye el carácter de una ciencia exacta y perfecta, no dando el Algebra más que lo que nos habría dado un razonamiento perfecto.
Si el enunciado del problema es perfecto, observa Poinsot, que es tan solo la ecuación, la que lo traduce en Álgebra. Así pues, el Álgebra da tan solamente lo que se le pide. Pero con frecuencia, nuestros enunciados son imperfectos, pues á veces nuestra inteligencia mezcla algunas condiciones inútiles y aun contradictorias, restricciones que no pueden escribirse en Álgebra; y esto es motivo para que se le pueda atribuir demasiada generalidad. La multiplicidad de las raíces, por otra parte, nos advierte que es necesario extender el primer enunciado, para multiplicar los diversos sentidos. El Álgebra solo expresa relaciones que determinan, sin tener signos para las condiciones vagas.
Además del Álgebra ordinaria, que es una Aritmética universal, observa Poinsot que existe un Álgebra superior, fundada completamente en la teoría del orden y de las combinaciones; que se trata de la naturaleza y composición de las fórmulas consideradas como puros símbolos sin idea de valor ó cantidad, y el objeto de su obra es, al tratar de las proposiciones generales de la teoría de los números, pasar de las ecuaciones ordinarias á las indeterminadas. Todas las ecuaciones de la forma
que admiten m raíces son, prescindiendo de múltiplos del módulo p, divisores de la ecuación binomia .
En las demostraciones de los teoremas, Poinsot emplea preferentemente consideraciones de orden y de combinación, lo que le lleva á la disposición en irradiaciones de las raíces, que relaciona con los polígonos ordinarios y estrellados, especialmente, en el estudio de las ecuaciones binomias, extendiéndose en desarrollos acerca de las raíces primitivas.
Ya en sus Recherches sur l'Analyse des sections angulaires (1825), Poinsot había tratado de establecer la verdadera identidad entre los dos miembros de una ecuación, salvando las fórmulas de imperfecciones, debidas á una determinación demasiado particular de los coeficientes.
Cournot en su obra De l'origine et des limites de la correspondence entre l'Algebre et la Géométrie (1847), continuó desarrollando la idea de Poinsot y justificándola con nuevos resultados.
Concibe al lado de la serie de los números ordinales la de los cardinales, examinando los enlaces entre la teoría de los números y la del orden, llegando al orden periódico, y concluyendo, conforme á Poinsot, que muchos teoremas de Aritmética pueden demostrarse elegantemente, mediante aproximaciones entre las propiedades de los números y las del orden.
Relaciones subjetivo-objetivas. Respecto á la definición del Álgebra, no encuentra Cournot una definición de esta ciencia tan concreta y precisa como la de otras ciencias. Además de ser una lengua, instrumento para las aplicaciones á la teoría de los números ó de las magnitudes, existen ciertas relaciones que la constituyen como ciencia ó teoría especial, siendo la ecuación lo esencial en la lengua algebraica. La consideración de los valores imaginarios es esencial al Álgebra, por proceder de la teoría abstracta de las combinaciones y del orden. Y, además, su grado de generalidad, constituye su poder como instrumento lógico.
Después de considerar el Álgebra, en general, pasa Cournot á considerarla en la traducción de los problemas observando que no pueden traducirse siempre las condiciones de un problema, por lo que las soluciones, unas veces se asocian y otras resultan disociadas, correspondiendo á cuestiones distintas, especialmente en sus relaciones con la Geometría; de manera que las soluciones, unas veces están algebraicamente asociadas, otras separadas, ya complicadas ó ya libres de las soluciones de otro problema, cuyo tipo geométrico es distinto; y llega, considerando la geometría cartesiana, á encontrar en la teoría de la función la definición de los lazos de parentesco entre los problemas, y á la correlación existente entre la Geometría y el Álgebra, estableciendo varias importantes correspondencias. Sin embargo, Cournot no llega á considerar el por entonces casi desconocido ó poco admitido método de representación gráfica de los valores imaginarios, que más tarde ha contribuido á ser la base de la gran generalidad del Análisis moderno. Y el interesante trabajo de Cournot sirve como ejemplo, digno de estudiarse, de este proceso gradual por el que las ciencias llegan á su perfeccionamiento. La ciencia en abstracto y como organismo, es independiente de lo arbitrario que existe en el proponer cuestiones. Y éstas generalmente han promovido, por las discrepancias que han revelado, fundamento de nuevos progresos, al estudiarse las faltas de conformidad con lo admitido en cada época, lo que ha conducido sucesivamente á nuevos órdenes ó sistemas de relaciones.
Correspondencias Geométrico-Algebraicas. La interpretación geométrica de las cantidades imaginarias dió origen á varias obras apreciables, á contar desde el año 1806, en que Argand tradujo el símbolo por la perpendicularidad, en Inglaterra Bueé, Peacok y Warren, en Francia Vallés, Faure y Mourey desarrollaron la nueva teoría y en España Rey Heredia, en su Teoría transcendental de las cantidades imaginarias, hizo un análisis de las diversas teorías, agregando algunos conceptos propios; pero al querer subordinar esta teoría, de modo ingenioso, á la categoría, de la cualidad de Kant, hizo perder á la teoría el rigor que da el carácter puramente matemático, que debe prescindir de los puntos de vista especiales de los sistemas filosóficos.
Todas estas tendencias filosóficas se sintetizan en la teoría de las funciones de variables complejas, fundada por Cauchy y que Weierstrass extendió á las funciones analíticas.
En torno de esta filosofía se pueden agrupar los descubrimientos de Weierstrass, G. Cantor, Hankel y los de Poincaré, Picard, Mittag-Leffler, etc., que han llevado á un alto grado de perfeccionamiento la teoría de las funciones.
Pero es necesario retroceder en la historia de la ciencia, volviendo la vista hacia el desarrollo geométrico, que si bien más modesto en su origen y más limitado en sus aspiraciones, llega á nivelarse con el progreso algorítmico, para fundirse en una unidad bajo el concepto superior de grupo, y todos ellos bajo una síntesis filosófico-matemática, expresada en la Crítica matemática.
Cálculo infinitesimal. Esta teoría matemática, al tratar de la generación continua de la cantidad, por medio de sus elementos, nos obliga á salir, como lo imaginario, del dominio de la intuición, para llevarnos al de lo transcendente. Constituye por sí una filosofía de la cantidad que prescindiendo de la experiencia, brota de las ideas puras y se desarrolla en un dominio eminentemente deductivo.
La serie de métodos, tales como los de Cavalieri, Roverbal y Fermat, que se han acumulado, desde su origen, son otros tantos capítulos de dicha filosofía.
Así, por ejemplo, Lagrange trató de reducir el cálculo de Leibnitz al Álgebra, por el empleo de las derivadas. Y á su vez Wronski rebatió la teoría de Lagrange en su Refutation de la théorie des fonctions analytiques de Lagrange y la Philosophie de l'infini.
Esta rama tiene su máximo desarrollo en las geniales teorías de Cauchy, que introduce además el también transcendente concepto de las funciones de variables imaginarias. Y el cálculo infinitesimal, cede su importancia primitiva á la teoría de las funciones, para convertirse en un instrumento de éstas, después que Abel y Jacobi, principalmente, al agregar á la Matemática las nuevas transcendentes, cuya teoría fundaron, dieron la base para una renovación de la ciencia que se realizó, desde los nuevos puntos de vista importados por Fourier, Riemann y Weierstrass.
Por su naturaleza eminentemente subjetiva, las obras filosóficas acerca de esta rama son escasas.
Fontenelle en su Géométrie de l'infini, se propuso establecer las reglas del infinito. Carnot publicó sus Réflexions sur la Métaphysique du calcul infinitesimal, donde trata de explicar la exactitud de este cálculo por una compensación de errores, considerando una cantidad principal y otra accesoria. Este punto de vista fué seguido por Hoüel en su Cours de calcul infinitesimal. También M. Ch. Freycinet publicó su obra, De l'Analyse infinitesimal, étude sur la Metaphysique du haut calcul (1860), y Lamarle su Cal. diff, et int. (1861), fundado en la cinemática, siguiendo la idea de Newton y de Mac Laurin.
Una importantísima evolución en la teoría de los infinitos, de gran transcendencia y aplicación en la moderna teoría de las funciones, se debe á Herr. Cantor, creador de la doctrina de los conjuntos. Entre otros trabajos, además de sus Beitrag z. Mannigfaltigkeitslehre, citaremos sus Grundlagen e. allg. Mannigfaltigkeitslehre, Zur Lehre vom Transfiniten, que contienen los conceptos fundamentales de esta singular teoría.
Además, citaremos la obra Die allgemeine Functionen-Theorie, Tl. 1, Metaphysik (1882), de Du Bois-Reymond que bajo la forma de un diálogo entre el empirista y el idealista, discute ampliamente la cuestión del infinito desde sus dos puntos de vista opuestos; y llega á su teoría de las pantaquias y apantaquias, análogas á las de los conjuntos de Cantor.
Los descubrimientos que Fourier promovió con su célebre serie, fueron la base de todos los trabajos concernientes á las discontinuidades, que unidos á los resultados de Cauchy y Riemann en la teoría de las funciones y á los de Abel y Weierstrass acerca de las series, han hecho entrar el Análisis en su nueva fase, en la que el estudio de los infinitamente pequeños ha aquilatado su rigor, llegándose, á rectificar y demostrar, lo que solo por una especie de adivinación del genio, pudieron obtener los grandes analistas, que precedieron á los del siglo xix.
Además de Dirichlet, Du Bois-Reymond y Neumann á quienes se deben importantes descubrimientos sobre las integrales definidas, más recientemente los Sres. Darboux y Dini, han aportado fundamentales descubrimientos en esta rama que constituye la filosofía del infinito.
Finalmente, Herr Klein en su Awendung d diff. u int. auf. Geom., hace una importante revisión de los principios, desde los más recientes puntos de vista.
