El medio hoy empleado para la representación de las funciones es la superficie de Riemann; y, en general, el Analysis situs, con el extenso dominio de las variedades, da el fondo sobre que se constituyen las funciones, de un orden superior al reducido plano de Cauchy ó á la superficie de n hojas de Riemann.
En este orden de ideas, el problema de la integración ha cambiado de carácter. Ya Clebsch en sus Vorlesungen ü Geometrie, dio una integración geométrica de las ecuaciones diferenciales.
En la actualidad, á la integración clásica de las integrales se ha sustituido la integración analítica, fundada en el cálculo de las series enteras, en que obtuvo importantes resultados Fuchs, principalmente, y que se hallan desarrollados en las obras Konisberger, Painlevé, Forsyth, Schlessinger y otros.
§ 3.º Síntesis geométrica
Geometría elemental. Esta puede conservar su calificativo, porque se funda en la identificación ó superposición; pero se podría llamar natural, porque no dispone de ningún otro artificio.
Podemos concebir todas las figuras de la Geometría elemental por deformaciones sucesivas. Partiendo de un solo triángulo, se pueden, deformándolo, enunciar multitud de teoremas. El postulado de Euclides equivale á admitir la traslación de una recta; la suma angular será la misma que la de su paralela; y el teorema de la suma angular de un triángulo quedará establecido; y, por consiguiente, todos los teoremas relativos á ángulos entre paralelas, incluído el postulado de Euclides que es una variante del teorema de la suma angular; y al mismo tiempo quedarán establecidas todas las proposiciones relativas á los triángulos homotéticos, extensivas, por un giro, á los semejantes y, también, las relaciones fundamentales de la Trigonometría, establecidas, lo mismo por semejanza que por proyecciones, ya que una proyección equivale á un cateto.
Se ve como dice M. Poincaré, que la Geometría es el estudio de un grupo.
Estas consideraciones son extensivas inmediatamente al espacio.
