Algunas consideraciones sobre filosofía y enseñanza de la matemática/Libro II Capítulo III
CAPÍTULO III
§ 1.º Forma interna de la enseñanza
Ciclos superiores. Hoy, en las Universidades, se prefiere lo que se llama capítulos elegidos de tal ó cual asignatura. Los profesores distinguidos explican, durante cada semestre, puntos especiales generalmente, acerca de los cuales suelen exponer investigaciones propias. Así, el sistema cíclico se continúa en la enseñanza superior, sin que sea necesario explicar de extremo á extremo esas divisiones más ó menos arbitrarias que se llaman asignaturas; pero que nada prueba sean regiones intangibles de la Ciencia. Pues por ejemplo, conocidos los fundamentos del método de Chasles ó de Staudt, no es imprescindible recorrer en su totalidad las consecuencias, que son las mismas en ambos, dentro de la Universidad, porque más adelante, los alumnos podrán continuar por sí y concluir los desarrollos, cuya naturaleza conocen, sin necesidad de perder un tiempo precioso para imponerse en otras iniciativas ó nuevas direcciones.
Finalidades de los cursos. Los científicos se dividen en dos grandes categorías. Aprender y retener lo que otros han descubierto es una primera fase de la enseñanza. Acrecentar el caudal de conocimientos, perfeccionar los métodos ó los sistemas de verdades es otro aspecto ó finalidad superior.
Por otra parte, los alumnos necesitan: 1.°, aprender y retener ó asimilarse los conocimientos; 2.°, despertar su iniciativa ó hacer algo de labor propia y prepararse en lo posible, á no ser meros reflectores de las ideas ajenas. Esto motiva la necesidad de dos clases de profesores: repetidores y profesores propiamente dichos. En las naciones poco adelantadas, son muy escasos los segundos. La enseñanza se limita á asimilar y retener conocimientos. Y también esto es suficiente, cuando se estudia la Matemática para sus aplicaciones; porque entonces no se emplea más que como instrumento para otras finalidades, las cuales son en este caso lo preferente.
Vemos, por otra parte, que la Ciencia exige dos trabajos: 1.°, el de condensación, pues sin abreviar ó compendiar y sintetizar la multitud de los conocimientos, abrumaría á las inteligencias; 2.°, el de expansión, pues la Ciencia es indefinida; siempre ofrece objetos nuevos y eleva continuamente los puntos de vista de la inteligencia. Y así vemos, otra vez, cómo son necesarios profesores de las dos clases arriba señaladas, pues una eminencia científica perdería tiempo en repeticiones necesarias, por exigencias pedagógicas, que sería preferible emplear en fines más elevados; y un repetidor es muy útil para los cursos prácticos.
Carácter eminentemente sintético. La inteligencia del alumno, ya educada en los centros de segunda enseñanza, extenderá sus conocimientos en la enseñanza superior. Esta será su principal finalidad. Los métodos de los grandes maestros, que necesariamente se suceden en cada curso, constituyen los medios de su perfeccionamiento intelectual, los cuales deben presentarse como excitante á su espíritu de investigación.
Los matemáticos eminentes, al ver con claridad los últimos peldaños de la Ciencia, encuentran siempre campo fértil para añadir algo, aunque no sea más que remover las ideas y recorrerlas en nuevas direcciones.
Procedimientos especiales. a) En algunas Universidades, se practican los cursos, llamados Lecturas. En vez de explicar, se leen teorías elegidas por el profesor, de las obras más importantes. Esto es conveniente para fijar puntos de vista en la Ciencia, y provocar el espíritu de investigación, ofreciendo material para el porvenir.
b) En varias Universidades, algunos días se destinan á ejercicios sobre las recientes publicaciones, sean obras ó revistas, con intervención de los alumnos en las observaciones. Esto permite dar cierta movilidad á los conocimientos adquiridos, que les hace salir de los rígidos moldes del dogmatismo. Constituye un ejercicio de literatura científica, pues la bibliografía ilustra en general, y permite indicaciones que no caben en un curso puramente doctrinal, en el que se ha de conservar la ilación lógica.
Condensación de las enseñanzas. Un defecto siempre seguido entre nosotros es diluir la Ciencia, extender sus capítulos con excesivos detalles indigestos, que son trabas ó rémoras á la marcha de la inteligencia, que debe ser expedita. La enseñanza no debe ser como el hilo sutil cuyo fin no se ve, sino como sólido núcleo de donde han de salir, por la eficacia del análisis, los muchos objetos acumulados que constituirán otros tantos hilos por los que irradiará el pensamiento.
El diluir demasiado la Ciencia produce el resultado de estar en sus comienzos, cuando termina el curso. En Cálculo diferencial é integral, por ejemplo, estudíense primero las reglas precisas para diferenciar, sin detenerse en los demás; y luego, abórdense sin reparo las cuestiones de cálculo integral, aplicando constantemente las primeras reglas. Y así el cálculo diferencial se irá aprendiendo como ejercicio aplicado al cálculo integral. Se habrán condensado en una de las dos partes de la asignatura. La ilación de las ideas se habrá reducido á una concentración. Cada cuestión culminante será un centro del que el análisis haga brotar las consecuencias. Por analogía, cada una de aquéllas permitirá dominar otras afines á las mismas; y el trabajo de ordenación ó síntesis final será insignificante. Poseídas las ideas culminantes, ellas nos conducirán fácilmente en todas direcciones. Lo demás sería, como vulgarmente se dice, marcharse por las ramas.
Distinción de las enseñanzas. El defecto de que unas asignaturas sean repeticiones de otras debe evitarse. Así, por ejemplo, lo que se trató en el Álgebra superior, no debe repetirse en el Cálculo infinitesimal. Esto, produce nuestro proverbial estancamiento y la pereza intelectual, que rehuye las exploraciones nuevas y engendra el cómodo quietismo. Deben por el contrario suprimirse asignaturas, como nuestro primer curso de Análisis, que ha llegado á ser un cúmulo indigesto de ideas dispersas, sin plan ni enlace, especie de Cancerbero colocado á las puertas de la Matemática. Aprender solo definiciones y divisiones, conduce al pedantismo y al psitacismo.
§ 2.° Forma externa de la enseñanza
Los cursos. Por desgracia, hay bastante de censurable en nuestros cursos. Á medida que transcurre el tiempo, cada vez se acortan más por fútiles motivos. El culto á la ciencia exige continuidad; y las interrupciones en la enseñanza tienen que producir resultados deplorables, pues el recordar lo olvidado acorta de nuevo lo que ya se acortó con los días de asueto. Y aun los espíritus más activos y entusiastas encuentran cierta resistencia natural á reanudar las tareas, después de algunos días de vacaciones, porque las ideas anteriormente adquiridas, se borraron; y el enlace con las nuevas tiene que ser más difícil y violento.
La enseñanza de todas las asignaturas de la Facultad de Ciencias tiene una parte práctica inagotable. Por esto será poco todo el tiempo que se emplee en afianzar las teorías, con el máximo de práctica posible. Solo de esta manera, podrá llegar uno á ser matemático, físico ó químico. Se puede asegurar que estas ciencias se hallan siempre en continuo estado de formación. Cada descubrimiento es punto de partida de otros nuevos; y es necesario constantemente, mantener y robustecer las aptitudes.
Lo que contiene la Exposición sumaria de las teorías matemáticas, manifiesta el desarrollo considerable que ha adquirido la Matemática en el siglo xix.
La ciencia, entre nosotros, ha llegado á tal depreciación, que apenas se cotiza.
Alguna vez se paga, no la ciencia, sino alguna enseñanza, cuando ésta conduce inmediatamente á obtener algún beneficio inmediato; pero, no como ciencia en sí, que eleva la dignidad y valor del individuo; se aprecia tan solo en el orden material, pero no en el orden moral. Es necesario amar el bien por el bien; y en condiciones análogas está el saber.
Saber es cosa inútil, cuando solo se aprecia el resultado inmediato, por olvidar que los frutos son tardíos. Nadie sabe apreciar desde luego la transcendencia de cualquier descubrimiento. Por otra parte, como decía Jacobi: «el objeto único de la ciencia es el honor del espíritu humano»; lo que está incluido en las siguientes frases que dirige á Legendre, en reivindicación de la ciencia:
«M. Poisson no debía haber reproducido una frase poco acertada del difunto M. Fourier, en la que nos reprocha á Abel y á mí por no habernos ocupado del movimiento del calor. En verdad, M. Fourier opinaba que el objeto principal de las matemáticas es la utilidad pública y la explicación de los fenómenos naturales; pero un filósofo como él debía saber que el objeto único de la Ciencia es el honor del espíritu humano; y que, desde este punto de vista, una cuestión de números vale tanto como una cuestión del sistema del mundo [1].»
La instrucción por sí sola produce grandes beneficios, aunque sean indirectos para algunos individuos, que son siempre inmediatos en cada nación; y esto tiene importancia para los estadistas.
Las naciones que publican muchas obras, aumentan considerablemente sus medios de vida, ó el engranaje de los actos sociales, al explotar el elemento más poderoso y fecundo que posee la humanidad. Pues la idea es una mercancía inmaterial que, por lo menos, produce tantos fines útiles como las materiales, y otros muchos que trascienden al orden moral; y el ser feliz pertenece al orden de las ideas; aunque no solo de ideas vive el hombre.
Los conocimientos humanos, á la manera que una mezcla de líquidos, se colocan según su densidad, pero adoptando la forma de una pirámide. Los más agradables se hallan en la base, porque sus atractivos son más perceptibles. En la cúspide se hallan la Matemática y la Filosofía ó Metafísica, cuyas grandes armonías se ocultan bajo las apariencias escuetas de lo abstracto. Pero hay que llegar al punto culminante, pues tener conocimientos incompletos es lo mismo que no tener ninguno, dentro de las limitaciones de lo humano; y tanto más perfeccionado y completo se halla un orden material, cuanto más completo y riguroso ha sido el orden intelectual y moral bajo el que se ha modelado. Los números dan sus leyes á los productos de la industria humana. Y las ideas centuplican sus modos de hacer agradable la vida. Este alimento de la vida, debe preocupar en primer término á los legisladores. La Naturaleza nos enseña que, desde las altas cumbres desciende la vida á los campos.
La educación, en que se funden el orden intelectual y moral, permite apreciar el valor de la Ciencia.
Los exámenes. La necesidad de éstos varía según la edad de los alumnos. Para los alumnos de corta edad son altamente convenientes. El temor, el estímulo y cierta vanidad infantil, influyen en sus naturalezas no formadas. Y puesto que los primeros años son los del predominio de la memoria y de la imaginación, edad de la adquisitividad, en que es conveniente almacenar en la inteligencia vacía de conocimientos, cuanto se pueda, aunque sea artificiosamente, el examen tiene gran importancia. Y ésta va disminuyendo, á medida que se hacen los estudios más reflexivos. El resultado debe apreciarse por lo que se ha hecho, más que por lo que pueda decirse en una prueba de carácter principalmente teórico.
El dar excesiva importancia á los exámenes, tiene el inconveniente de subordinar los cursos á éstos. La enseñanza puede convertirse en una preparación para el examen; su fin será reducirse á preparar contestaciones á las preguntas del programa. Y nada hay tan antagónico respecto á la Ciencia, como esto. Tales resultados pueden expresarse muy bien por el verbo papagayear. Y cierta mente que, con cursos tan breves como interrumpidos y con enseñanzas exclusivamente teóricas, se ha papagayeado bastante.
Por otra parte, la suerte es un factor que interviene en el resultado de los exámenes, si los tribunales juzgan exclusivamente por éstos; pues alguna inesperada casualidad es decisiva, cuando se encierra á un individuo en un estrecho círculo, de donde no puede salir, para mostrar fuera de él, que solo el acaso ha podido conducir á un juicio inexacto.
Además, el rigor en los exámenes tiene que ser muy relativo. Debe depender del grado de esplendor de la enseñanza. Cuando este organismo es deficiente, no es justo ni posible un excesivo rigor. La oferta debe ajustarse á la demanda, y el rigor debe corresponder á lo que se enseña.
Todavía no hemos comenzado á examinar entre nosotros las tesis del doctorado, análogas á las que se publican en el extranjero. Cierto es que en nuestros programas no existen las elevadas teorías, objeto de dichas tesis, ni en nuestros procedimientos, el carácter educativo que aquéllas exigen.
Una reforma importante fué la introducida por el Sr. Conde de Romanones al suprimir los exámenes por Tribunal de los alumnos oficiales, reduciéndolos á un examen, por el solo profesor de cada asignatura. De este modo, el curso tendrá por exclusivo objeto el aprender la ciencia y no el programa. El alumno, libre de la preocupación del examen, se dedicará, tanto á la teoría como á las prácticas de la clase, preocupado tan solo en aprender cada vez más, sin apelar á la memoria, ese artificio pernicioso; porque sabe que no necesita recordar, sino comprender y asimilarse lo del momento; y porque, con su labor de cada día, responde á lo que se le exige; y el resultado ha de corresponder á la suma de sus actos parciales.
Además, por cierta inexplicable ley, se asimila á nuestra inteligencia con más fuerza, aquéllo que aprendimos con más naturalidad, no con apresuramientos ó artificios, sino por la natural atracción de la inteligencia con su objeto. Uno de los principales fines de la enseñanza matemática es habituar al alumno á emplear acertadamente su inteligencia; por esto el trabajo, algo pausado de la asimilación, debe aventajar al de la adquisición prematura y desmedida. La solidez es preferible al relumbrón; porque, en este caso, las huellas de la enseñanza desaparecen, al mismo tiempo que las ráfagas de un examen aparatoso. El espíritu de meditación es opuesto á la verbosidad. Esta es más veloz que aquél; pero también más pasajera.
Sin la preocupación de examinar á sus alumnos, por su parte, el profesor se halla libre de la responsabilidad en que incurre, por detenerse demasiado en los puntos culminantes de su asignatura, al no serle posible recorrer por igual todas las cuestiones del programa, cuando además éstas no son de la misma importancia para el buen aprovechamiento; pues en todas las ciencias hay puntos de parada, donde el espíritu debe concentrarse, para condensar multitud de conocimientos útiles.
El programa es un todo homogéneo; la ciencia es heterogénea. Tiene sus principios fundamentales, sus cumbres, y además sus verdades secundarias, accidentales, que por desconocerse, no alteran el conjunto. Toda ciencia tiene un número indefinido de cuestiones que se escapan al más experto; y sus líneas principales son las que debemos conocer. La cuestión es ver cuáles son las preferibles. Á esto corresponde la reducción de los cursos á capítulos elegidos (en la enseñanza superior).
§ 3.º Postergación de la enseñanza
Existe la preocupación errónea de que la enseñanza debe ser esencialmente reproductiva, una renta y no una carga del Estado.
La enseñanza debe ser desde luego una carga, tanto mayor cuanto más atrasada se halle una nación; pero que al fin llegará á constituir una renta, la más considerable de un Estado; aunque sus beneficios solo pueden apreciarse de una manera indirecta.
Las naciones poderosas y bien organizadas deben estos resultados á sus preferentes atenciones respecto á la ciencia. Puede afirmarse que hoy todas rivalizan por acrecentar y mantener cuidadosamente este instrumento de su prosperidad y de su poder, que trasciende á la vida individual y social.
Las necesidades de cada nación se satisfacen por los productos de su ciencia. Esta es una verdad tan conocida, que no es necesario insistir mucho en ella, para evidenciarla.
En mi disertación, Mecánica social [2], decía: «Opino que debemos considerar una Mecánica superior que versa sobre las accio es humanas, que se aplica á algo tan inmaterial como el punto matemático, al fondo inmaterial del espíritu humano; y que tiende á establecer estados de equilibrios y de movimientos en los dominios de la sociedad».
Al tratar de la energía potencial de la Naturaleza, añadía: «de análoga manera, los esfuerzos de los héroes y de los mártires del trabajo, han sido energías almacenadas, á través de los siglos, que luego han pasado de la potencialidad al acto». «Las fuerzas sociales de las naciones más fuertes han condensado energías, en torno de sus múltiples centros de atracción, llevando hacia su lado una mayor densidad, medida de su poder y de su vida..... La diferencia de potencial de las naciones es una causa que, abrumando á cada uno de los individuos de las más atrasadas ó indolentes, amenaza su personalidad y su autonomía».
Ahora podremos añadir: Entre los dos sistemas, el restrictivo y el expansivo, no hay duda que el primero debe desaparecer, ó sea el disminuir los gastos en la enseñanza, que es fuente de bienestar y de riqueza. Es necesario dedicar los recursos á los elementos de vida, porque ésta se renueva y expansiona. Donde no hay finalidad, debe crearse; cuando esta finalidad es positiva, como la enseñanza. Feliz la nación que tiene un numeroso profesorado, muchos centros de instrucción, y que dedica cuanto puede á fomentarlos; porque éstos son gérmenes de nuevas prosperidades. Esta es la manera de hacer útil la enseñanza. Atender á multiplicar el número de los que la utilicen, aunque no sea más que por su último grado de utilidad, que es el recreo individual. Cuando, por sacrificios anticipados, se ha creado un nuevo organismo, cual es una nación culta, de esta misma cultura nacen nuevos recursos; porque á esta finalidad están unidas industrias que nacen y viven á su sombra. Y el mágico objeto de esta vida es la espiritualidad, el mundo del pensamiento, que se desenvuelve espléndido, coexistiendo con el mundo material, como dos organismos correlativos. Y así de lo inmaterial, que es la educación y la ciencia, surge y se desarrolla lo material. Váyase por el contrario suprimiendo la vida de la idea, y simultáneamente se atenuará ó extinguirá la vida material colectiva, haciendo descender al hombre del rango que debe ocupar en la Naturaleza.
Con lo expuesto basta para dejar confirmado que la enseñanza debe ser la primera atención de las naciones, como fuente de todas las demás.
El ingreso en el profesorado. Las deficiencias en la enseñanza llevan consigo deficiencias correlativas é inevitables del ingreso en el profesorado. Van unidas entre sí como la sombra al cuerpo.
Debe evitarse que las oposiciones sean una lotería, que su objeto consista en acertar á preguntas no reglamentadas, que obedecen á ideas dispersas, hijas de puntos de vista individuales. Felizmente algo se ha progresado en este sentido. Y debe continuar este procedimiento hasta la supresión de lo fortuito. Aquilatar lo que uno sabe es algo positivo; el poner en evidencia lo muchísimo que todos ignoramos es cuestión que á nada conduce.
Los ascensos en el profesorado se prestan á análogas consideraciones, extrañas al objeto de esta obra. Bastará decir que sus deficiencias se hallan indisolublemente unidas á las de la enseñanza. Cuanto más próspera sea ésta, tanto más desaparecerán muchas restricciones que impiden de un modo fatal, que lo más acertado se realice.
Enseñanza oficial. La enseñanza oficial merece tanta mayor protección en un Estado, cuanto menor sea el grado de su desarrollo. En las naciones florecientes, la enseñanza tiende cada vez más á emanciparse del Estado, puesto que la atmósfera de intelectualidad existente le da vida, hasta llegar á ser objeto de explotación, objeto que se cotiza á elevado precio; porque la verdad y el bien son las finalidades más preciosas, cuando se difunden por la sociedad.
Allí donde estas dos finalidades no se hallan extendidas, la enseñanza es débil y enfermiza, y necesita de la cuidadosa y preferente asistencia del Estado. Y no hay que anatematizar á la enseñanza oficial, cuando se la olvida y abandona. Sin haber llegado á la mayor edad, no se puede pasar de la tutela á la franca autonomía; porque nemo dat quod non habet. Y no existe nada de más eficacia que los poderes de un Estado.