Almagesto: Libro V - Capítulo 07

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{Construcción de la tabla para la Anomalía Lunar completa}

[1]

Nuevamente, con el fin de proveer un medio preparado de cálculos de las ecuaciones aditivas o sustractivas individuales colocándolo en una una tabla, hemos agregado la tabla para la hipótesis simple establecida anteriormente (Libro IV Capítulo 10) con unas columnas que fácilmente le permitan a uno corregir la Segunda Anomalía Lunar. Para este propósito nuevamente utilizamos los mismos métodos geométricos [como los anteriormente explicados]. Luego de las dos primeras columnas conteniendo el argumento, insertamos una tercera columna conteniendo la ecuación a ser sumada en o restada de la anomalía con el fin de reducir el movimiento medio contado desde M (en la Fig. 5.6.), el apogeo medio, hasta Z, el apogeo verdadero. [Por ej. más] arriba (al final del Libro V Capítulo 6), para la elongación de 90;30º, demostramos que el arco ZM es de 12;1º, y por lo tanto, dado que la distancia de la Luna desde M, el apogeo medio, fue de 333;12º, encontramos su distancia desde Z, el apogeo verdadero, fue, obviamente, de 345;13º, el cual debemos utilizar como argumento para la ecuación epicíclica corrigiendo el movimiento medio en longitud. En el mismo sentido, para otras elongaciones, tomadas a intervalos apropiados [para la tabla], calculamos la cantidad correspondiente de la ecuación en cuestión. Hicimos esto por el mismo método [como el de arriba], (para resumir el contenido), y entradas la cantidad correspondiente para cada argumento [tabulado] en la tercera columna. De las columnas sucesivas, la cuarta contendrá las ecuaciones de la anomalía epicíclica (ya establecidas en la primer tabla Libro IV Capítulo 10), donde la máxima ecuación alcanza aproximadamente los 5;1º, correspondiente a la proporción 60 / 5;15. La quinta columna contendrá los incrementos en las ecuaciones debidos a la segunda anomalía comparada con la primera, en el ubicación donde la máxima ecuación es de 7 ⅔º, correspondiente a la proporción 60 / 8 [2]. Por lo tanto la cuarta columna es para la ubicación del epiciclo en el apogeo de la Excéntrica (que ocurre en las Sizigias), y la quinta columna es para los incrementos [de las ecuaciones] acumulados desde (la posición del Epiciclo) [3] en el perigeo de la excéntrica (que ocurre en las Cuadraturas).

Con el fin de permitirle a uno encontrar la proporción de esos incrementos tabulados [en la quinta columna] correspondientes a la posición del epiciclo entre aquellas dos ubicaciones [en el apogeo y en el perigeo de la excéntrica], hemos adicionado una sexta columna. Esta contiene, para cada argumento tabulado de la elongación, la fracción correspondiente (dada en sexagésimas partes) del incremento tabulado que debe ser sumado a la ecuación de la anomalía tabulada en la cuarta columna. Hemos calculado esas fracciones de la siguiente manera.

[Ver Fig. 5.7] Sea nuevamente ABG la excéntrica de la Luna con centro en D y con diámetro ADG, sobre el cuál [el punto] E es tomado como centro de la eclíptica. Marcar el arco AB, dibujar el epiciclo ZHΘK, con centro en B, y dibujar la línea EBZ. Sea la elongación dada, por ej. como de 60º.

Por consiguiente, por el mismo argumento como el de antes

^ AEB = al doble de la elongación dada = 120º.

Fig. 5.7
Fig. 5.7

Eliminar la perpendicular DL desde D hasta la prolongación BE, y dibujar HBKD. Supongamos que la línea EMN desde el centro E hasta la Luna, es tangente al epiciclo [en M], produciendo un máximo de la ecuación de la anomalía, y unir BM. Entonces, dado que

^ AEB = 120º donde 4 ángulos rectos = 360º
^ AEB = 240ºº donde 2 ángulos rectos = 360ºº,
^ DEL = 120ºº (suplementario).

Por lo tanto en el círculo alrededor del triángulo rectángulo DEL,

arco DL = 120º
y arco EL = 60º (suplementario).

Entonces las cuerdas correspondientes

EL = 60p donde la hipotenusa DE = 120p.
y DL = 103;55p donde la hipotenusa DE = 120p.
Por lo tanto donde DE = 10;19p y DB = 49;41, EL ≈ 5;10p
y DL = 8;56p.
Y, dado que BL² = BD² - DL²
BEL = 48;53p,
y, por sustracción [de EL], EB = 43;43p,
donde el radio del epiciclo MB, es de 5;15p.

Por lo tanto en el círculo alrededor del triángulo rectángulo BEM,

donde la hipotenusa EB = 120p,
BM = 14;25p
y arco BM = 13;48º.

Por consiguiente la máxima ecuación de la anomalía,

^ BEM = 13;48 donde 2 ángulos rectos = 360ºº
^ BEM = 6;54º donde 4 ángulos rectos = 360º.

En consecuencia, a esta distancia en elongación, la ecuación de la anomalía difiere de los 5;1º [de la máxima ecuación] en el apogeo [de la excéntrica] por 1;53º. Pero la diferencia total es de 2;39º [entre la máxima ecuación en el apogeo y] en el perigeo [de la excéntrica]. Entonces, donde la diferencia total es de 60;1,53º será 42;38º. Esta es la cantidad que colocaremos en la sexta columna correspondiente a los 120º de la elongación [doble].

Exactamente en el mismo sentido calculamos, para los otros argumentos tabulados, las fracciones de la diferencia entre las máximas ecuaciones de la anomalía, obtenidas de la manera anterior, e ingresándolas, expresadas en sexagésimas [partes] de tal diferencia, [con valores] opuestos al argumento correspondiente. Es obvio que el total de 60 [sexagésimas partes] corresponden al doble de los 90º de la elongación, que se [ubican] en los 180º de la excéntrica, [siendo también] la ubicación del perigeo.

Sumamos también una séptima columna conteniendo la posición de la Luna en latitud, sobre ambos lados de la Eclíptica, medida a lo largo del círculo a través de los polos de la eclíptica, por ej. el arco de este último círculo cortado entre la eclíptica y el círculo inclinado de la Luna sobre el mismo centro [como el de la eclíptica], para cada posición [tabulada] de la Luna sobre su círculo inclinado. Para ello hemos utilizado el mismo procedimiento como lo hicimos para calcular los arcos del círculo a través de los polos del Ecuador [que son cortados] entre el Ecuador y la eclíptica (Libro I Capítulo 14). Aquí, no obstante, tomamos el arco como de 5º entre la eclíptica y el límite Norte o el límite Sur del círculo inclinado, medido a lo largo del gran círculo ambos a través de sus polos. Dado que, como [lo hizo] Hiparco, encontramos por cálculo desde las posiciones aparentes de la Luna más al Norte y más al Sur que de su máxima desviación a ambos lados de la eclíptica, [por] aproximadamente ésta cantidad [4]. Además, casi todas las circunstancias de las observaciones de la Luna, si fueron tomadas con respecto a las estrellas, o tomadas con los instrumentos, se ajustan a una máxima desviación latitudinal por aquella cantidad, comenzando a ser más claro desde las subsecuentes demostraciones.

La tabla de la Anomalía Lunar completa es la siguiente.

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Notas de referencia

  1. Ver HAMA 93-5, Pedersen 195-202.
  2. La proporción es 39;22 (la distancia desde la Tierra hasta el perigeo de la excéntrica de la Luna, Fig. 5.32) dividido 5;15 (el radio del epiciclo de la Luna). Es aproximadamente igual a 60 / 8.
  3. Eliminando  en H385,7 el texto de Heiberg podría significar “acumulado desde la anomalía que se produce en el perigeo de la excéntrica, en las cuadraturas”. Además de ser una expresión muy tosca, esto arruina el paralelismo de la sentencia. Es obvio que Ptolomeo pretende contrastar los dos posiciones diferentes del epiciclo, en el apogeo y en el perigeo de la excéntrica (cf. , H385,8-9).  (H385,6) se refiere a  (entendido según lo de arriba; ya que  es utilizada con  cf. H394, 11-12). La interpolación de  es el trabajo de alguien que buscó alguna [palabra] para referirse a , pero malentendiendo la frase.
  4. Los únicos detalles de una observación que confirma a ≈ 5º para la órbita lunar están en el Libro V Capítulo 12 Fig. 5.10.