Almagesto: Libro XI - Capítulo 10
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{Método de construcción de las tablas para las Anomalías}
No obstante, para evitar siempre los cálculos geométricamente de las posiciones aparentes (ya que este método también es el único que brinda una exacta solución completa para tal problema, [siendo] demasiado incómodo para ser el [más] conveniente en las investigaciones [astronómicas]), hemos construido para cada uno de los cinco planetas una tabla que es fácil de utilizar tal como podríamos concebir, mientras que al mismo tiempo siendo muy próxima a una precisión completa. [Cada tabla] contiene las anomalías determinadas individualmente de los planetas, así que que podemos utilizarlas como una rápida referencia de cálculo para alguna posición aparente en particular, una vez que nos son dados los movimientos periódicos desde los respectivos apogeos.
Nuevamente hemos arreglado cada una de las tablas en 45 líneas en aras [de proveer una] simetría, y las hemos arreglado cada una en 8 columnas. Las primeras 2 columnas contendrán los números de las posiciones medias conformadas como para el Sol y la Luna (Libro III Capítulo 6 y Libro V Capítulo 8): en la primera columna los 180 grados comenzando desde el apogeo, de arriba hacia abajo, y en la segunda los restantes 180 grados del [otro] semicírculo, de abajo hacia arriba, en tal sentido que el número "180" esta en la última línea en ambas columnas, y el incremento en los números es de a 6º en las 15 líneas de arriba [2], pero de a 3º en las 30 líneas restantes hacia abajo (dado que las diferencias entre los valores [sucesivos] de las anomalías permanece casi constante para los tramos más largos cercanos al apogeo, mientras que ellas cambian más rápidamente cerca del perigeo). En cuanto a las dos columnas siguientes, la tercera contendrá las ecuaciones correspondientes a la posición media en longitud (cada una para los argumentos sobre la misma línea), calculadas para la máxima excentricidad [3], pero bajo la asunción simplificada de que el centro del Epiciclo es transportado sobre la Excéntrica que produce el movimiento medio (por ej. de la Ecuante). La cuarta columna contendrá las correcciones a las ecuaciones debidas al hecho de que el centro del epiciclo es transportado, no sobre el círculo anteriormente [descrito], sino sobre otro. El método por el cual cada una de estas cantidades [de la ecuación y su corrección], ambas en combinación y separadamente, pueden ser geométricamente halladas habiendo ya sido realizado de manera sencilla por los numerosos teoremas precedentes [4]. En este lugar, dado que este es un tratado [científico], fue apropiado visualizar este camino de separar la anomalía zodiacal, y por consiguiente tabularla en dos columnas. Sin embargo, para su uso actual [presente], será suficiente una única columna formada por la combinación de esas dos [5].
Cada una de las siguientes tres columnas contendrán las ecuaciones debidas al epiciclo. Nuevamente, estas son calculadas bajo una suposición simplificada, [a saber,] aquella la del apogeo y la del perigeo del epiciclo es vista a lo largo de la línea desde el observador [hasta el centro del epiciclo] [6]. El camino por el cual este tipo de demostración es realizada, sencillamente ha sido también hecha por los teoremas precedentes. La [columna] del medio de esas tres columnas (que es la sexta desde el principio) contendrá las ecuaciones calculadas para la proporción [del radio del epiciclo con la distancia del centro del epiciclo] en la distancia media; la quinta contendrá, [para cada argumento], la diferencia entre la ecuación en la máxima distancia [del epiciclo] y la ecuación para el mismo argumento en la distancia media; la séptima contendrá las diferencias entre las ecuaciones en la mínima distancia con las ecuaciones [correspondientes] en la distancia media. Dado que hemos demostrado esto para los siguientes tamaños de los epiciclos (a partir de ahora sería mejor listar los planetas en orden desde el mas exterior):
| Saturno | Júpiter | Marte | Venus | Mercurio |
|---|---|---|---|---|
| 6;30p | 11;30p | 39;30p | 43;10p | 22;30p |
la distancia media, por ej. la distancia [equivalente] al radio de la Excéntrica que transporta el epiciclo, es de 60p en todos los casos; y las máximas distancias (con respecto al centro de la Eclíptica), son:
| Saturno | Júpiter | Marte | Venus | Mercurio |
|---|---|---|---|---|
| 63;25p | 62;45p | 66p | 61;15p | 69p |
Las distancias mínimas (definidas similarmente) son:
| Saturno | Júpiter | Marte | Venus | Mercurio |
|---|---|---|---|---|
| 56;35p | 57;15p | 54p | 58;45p | 55;34p [7] |
En cuanto a las restantes [columnas], la octava columna, la proporcionamos en orden para que uno pueda encontrar la fracción aplicable de las diferencias anteriores [en la 5° y 7° col.] cuando el epiciclo del planeta no esta exactamente en la distancia media, máxima o mínima, sino en una posición intermedia. El cálculo de esta corrección esta basado solamente sobre la máxima ecuación ([por ej.] aquella formada por la tangente desde el observador hasta el epiciclo) en cada distancia intermedia; dado que la [fracción] de la diferencia a ser aplicada para alguna posición en particular [del planeta] sobre el epiciclo no es significativamente diferente desde aquella para la máxima ecuación.
Pero con el fin de hacer nuestro entendimiento más claro, y para explicar el método de cálculo actual de [fracciones] a ser aplicadas, dibujamos la línea ABGD [ver Fig. 11.24] a través de ambos centros (el centro de la eclíptica y el centro de la excéntrica produciendo el movimiento uniforme del epiciclo). Sea el centro de la eclíptica tomada en G, y el centro del movimiento uniforme del epiciclo [por ej. el punto de la ecuante] en B. Prolongar la línea BEZ, describir el epiciclo ZH alrededor del centro E, y dibujar la tangente hacia él desde G, [es decir] la línea GH. Unir GE y la perpendicular EH, y supongamos, exempli gratia, que para cada uno de los cinco planetas el centro del epiciclo esta a 30º desde el apogeo de la excéntrica en el movimiento medio.
Luego (para evitar el alargamiento del cálculo mediante la demostración de la misma cosa una y otra vez), hemos demostrado ampliamente lo que precede, ambas en la hipótesis para Mercurio y en aquellas para los otros planetas [8], así que si el ^ ABE es dado, también es dada la proporción de GE sobre el radio del epiciclo (HE). Por consiguiente, por medio de los cálculos para cada planeta en particular, con el ^ ABE tomado como de 30º, esta razón viene a ser para:
| Saturno | Júpiter | Marte | Venus | Mercurio |
|---|---|---|---|---|
| 63;2 / 6;30 | 62;26 / 11;30 | 65;24 / 39;30 | 61;6 [9] / 43;10 | 66;35 / 22;30. |
De este modo, tomaremos para el ^ EGH, que comprende la máxima ecuación del epiciclo en este punto,
| Saturno | Júpiter | Marte | Venus | Mercurio |
|---|---|---|---|---|
| 5;55 ½º | 10;36 ½º | 37;9º | 44;56 ½º | 19;45º |
Y calculamos las máximas ecuaciones en la distancia media, de acuerdo a las proporciones establecidas justamente arriba, como (para evitar repetición, [simplemente las listamos] en un orden correspondiente al orden anterior de los planetas):
| Saturno | Júpiter | Marte | Venus | Mercurio |
|---|---|---|---|---|
| 6;13º | 11;3º | 41;10º | 46;0º | 22;2º |
Aquellas [máximas ecuaciones] en las máximas distancias como
| Saturno | Júpiter | Marte | Venus | Mercurio |
|---|---|---|---|---|
| 5;53º | 10;34º | 36;45º | 44;48º | 19;2º |
y aquellas [máximas ecuaciones] en las mínimas distancias como
| Saturno | Júpiter | Marte | Venus | Mercurio |
|---|---|---|---|---|
| 6;36º | 11;35º | 41;1º | 47;17º | 23;53º |
Por lo tanto las diferencias entre las ecuaciones en la distancia media y aquellas en la máxima distancia son
| Saturno | Júpiter | Marte | Venus | Mercurio |
|---|---|---|---|---|
| 0;20º | 0;29º | 4;25º | 1;12º | 3;0º |
mientras las diferencias entre [aquellas en la distancia media y] aquellas en la mínima distancia son
| Saturno | Júpiter | Marte | Venus | Mercurio |
|---|---|---|---|---|
| 0;23º | 0;32º | 5;51º | 1;17º | 1;51º |
Ahora las ecuaciones de las distancias en cuestión [para una longitud media de 30º desde el apogeo] son menores que aquellas para la distancia media, y difieren de este último [cálculo] por las siguientes cantidades:
| Saturno | Júpiter | Marte | Venus | Mercurio |
|---|---|---|---|---|
| 0;17 ½º | 0;26 ½º | 4;1º | 1;3 ½º | 2;17º |
y esto último (expresado en sexagésimas [partes] de las diferencias totales anteriores entre [las ecuaciones de] la distancia media y la máxima distancia) [10] son:
| Saturno | Júpiter | Marte | Venus | Mercurio |
|---|---|---|---|---|
| 52;30 | 54;50 | 54;34 | 52;55 | 45;40 |
Así son los valores, en sexagésimas [partes], que ponemos en la 8 ava. columna de la tabla apropiada, en la línea conteniendo el número "30" para el movimiento medio en longitud.
Dado que aquellas distancias que tienen máximas ecuaciones que aquellas en la distancia media, nuevamente reducimos las diferencias [resultantes] a las sexagésimas [partes], pero en este caso expresado en fracciones, no de las ecuaciones [correspondientes] en la máxima distancia, sino de aquellas en la mínima distancia. Por el mismo camino [como el anterior], realizamos el cálculo para todas las otras posiciones [del epiciclo] a intervalos de 6º de longitud media [11], y las tabuladas las fracciones resultantes, expresadas en sexagésimas [partes], opuestas a los argumentos apropiados. Como dijimos, la fracción de la diferencia a ser aplicada es sensiblemente la misma incluso cuando la posición de un planeta no esta en la máxima ecuación del epiciclo, sino en algún otro punto sobre el epiciclo.
Los diseños de las cinco tablas son los siguientes.
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Notas de referencia
- ↑ Ver HAMA 183-6, Pedersen 291-4.
- ↑ Leer (en los manuscritos D e Is) en cambio de ("la primera de arriba") en H428,18.
- ↑ Por ej. las ecuaciones del centro calculadas para la excentricidad doble (ZE en la Fig. 11.23, donde la ecuación es [= al] ^ ZBE).
- ↑ Por ej. en el Libro XI Capítulo 5 desde la Fig. 11.13 hasta el final del capítulo y en el Libro XI Capítulo 9.
- ↑ Aquí el propósito didáctico del Almagesto esta realizado explícitamente. [La frase el] "Tratado [científico]" es mi traducción de . Ver LSJ s.v. 3 para este significado, que es típico de la prosa Helenística, aunque no parece ser clásica. Incluso en las Tablas Prácticas o Manuales Ptolomeo combina las dos columnas en una, y esta es el modelo de todas las subsecuentes tablas medievales y las más antiguas.
- ↑ Por ej. la ecuación de la anomalía esta calculada como una función, no de la anomalía media, sino de la verdadera, que es contada desde el apogeo verdadero del epiciclo.
- ↑ Para este valor de la mínima distancia del centro del epiciclo de Mercurio ver al final del Libro IX Capítulo 9, nota de referencia nro. 8.
- ↑ Mercurio, en el Libro IX Capítulo 9 desde la Fig. 9.6 hasta el final del capítulo; para los otros planetas, Libro X Capítulo 2, Libro X Capítulo 8, Libro XI Capítulo 2 y Libro XI Capítulo 6.
- ↑ Leer seg. seg. (en los manuscritos A, D y Ar) en cambio de seg. seg. (61;26) en H433,4. En H503,5 todos los manuscritos tienen 61;6. Corregido por Manitius.
- ↑ Por lo tanto, por ej. para Saturno 0;17 ½ / 0;20 = 52 ½ / 60.
- ↑ La afirmación de que estos valores se calcularon a intervalos de 6°, incluso donde la función es tabulada a intervalos de 3º, son fácilmente verificados tomando las diferencias entre los valores sucesivos de la 8 ava. columna para Marte.
