Almagesto: Libro III - Capítulo 02

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{Sobre la Longitud del Año}

^[1]

El primero de los teoremas concernientes al Sol es [el de] la determinación de la longitud del año. Los antiguos [astrónomos y matemáticos] estaban en desacuerdo y confundidos en sus pronunciamientos acerca de este tema, tal como se puede ver en sus tratados, especialmente en aquellos de Hiparco, quién fue tanto laborioso y amante de la verdad. La causa principal de la confusión sobre este tema que incluso él demostró es el hecho que, cuando uno examina las vueltas aparentes [del Sol] hasta [el mismo] Equinoccio o Solsticio, uno encuentra que la longitud del año excede 365 días por menos de ¼ de día [(revolución anual tropical)], pero cuando uno examina una vuelta con [respecto a una de] las estrellas fijas este [valor] es mayor [que 365 ¼ días, es decir una revolución anual sideral. Por lo tanto Hiparco llega a una idea de que la esfera de las estrellas fijas también tiene un movimiento muy lento, que, al igual que el de los planetas, es hacia atrás con respecto a la revolución que produce el primer movimiento [diario], el cual es aquel del [gran] círculo dibujado a través de los polos tanto del Ecuador y como de la Eclíptica ^[2].

En cuanto a nosotros, demostraremos que este es realmente el caso, y cómo este toma lugar, en nuestra discusión sobre las estrellas fijas ^[3] (la teoría de las estrellas fijas, también, no puede ser investigada a fondo sin establecer previamente la teoría del Sol y de la Luna). Sin embargo, a los propósitos de la presente investigación, nuestro juicio es que solo el punto de referencia que debemos considerar cuando examinamos la longitud del año solar es el de la vuelta del Sol sobre sí mismo [(sobre el mismo punto)], es decir [el período por el cual atraviesa] el círculo de la eclíptica definido por su propio movimiento.

Debemos definir la longitud del año como el tiempo que toma el Sol en recorrer desde algún punto fijo sobre este círculo regresando nuevamente al mismo punto. Los únicos puntos que podemos considerar propios como puntos de partida para la revolución del Sol son aquellos definidos por los Equinoccios y los Solsticios sobre este círculo. Dado que si consideramos el tema desde un punto de vista matemático, encontraremos no más que un camino apropiado para definir una 'revolución' respecto de aquella que el Sol da la vuelta a la misma posición relativa, tanto en un lugar y como en el tiempo [período], si uno lo relaciona con el Horizonte [local], con el meridiano, o con la longitud del día y de la noche; y los únicos puntos de partida sobre la eclíptica que podemos hallar son los que resultan estar definidos por los Equinoccios y Solsticios. Y si, en cambio, consideramos que es apropiado desde un punto de vista físico [(natural)], no encontraremos nada que pudiera ser más razonablemente considerado [como] una “revolución” que aquella que da la vuelta el Sol a la misma condición atmosférica y a la misma estación; y solamente los únicos puntos de partida que [también] uno puede encontrar [para esta revolución] son aquellos los cuales son los medios principales para "marcar" las estaciones desde uno hasta el otro [siguiente, por ej. punto Solsticial o Equinoccial]. Uno podría agregar que parece antinatural definir la revolución del Sol por su vuelta hasta [una de] las estrellas fijas, dado que especialmente la esfera de las estrellas fijas es observada tener un movimiento regular por sí misma hacia atrás con respecto al movimiento [diario] de los cielos. Porque, siendo este el caso, podría ser igualmente apropiado decir que la longitud del año Solar es el tiempo que toma el Sol en ir desde una conjunción con Saturno, digamos, (o con algún otro planeta) hacia la siguiente. De este modo muchos 'años' diferentes [en longitud] podrían ser generados.

De los razonamientos [según lo] anterior pensamos apropiado definir el año solar como el tiempo desde un Equinoccio o Solsticio hacia el siguiente del mismo tipo, como determinado por las observaciones tomadas en el intervalo más grande posible.

Ahora dado que Hiparco esta un poco molesto por la sospecha, derivada desde una serie de observaciones sucesivas y próximas que él [mismo] hizo, de que la misma revolución [del Sol] no es de longitud constante, trataremos de demostrar sucintamente de que aquí no hay nada de que preocuparse. Comenzaremos convencidos que estos intervalos [desde un Solsticio hasta el siguiente, etc.] no varían, desde los sucesivos Solsticios y Equinoccios que nosotros mismos hemos observado por medio de nuestros instrumentos. Dado que [los tiempos de los Solsticios observados, etc.] no difieren de una cantidad significante de aquellos derivados de los [365] ¼ día [del año] ^[4] (que a veces difieren aproximadamente por una cantidad correspondiente al error que se explica por la construcción y posicionamiento de los instrumentos). Aunque también presumimos desde los cálculos propios [realizados] por Hiparco que su sospecha concerniente a la irregularidad [de la longitud del año tropical] es un error debido principalmente a las observaciones que [él mismo] utilizó.

Porque, en su tratado “Sobre el desplazamiento de los puntos Solsticiales y Equinocciales”, primeramente establece aquellos Solsticios de invierno y de verano los cuales considera que han sido observados en forma precisa, sucesivamente [en el tiempo], y él mismo admite que esos no muestran discrepancias suficientes para permitirle a uno usarlos para asegurar la existencia de alguna irregularidad ^[5] en la longitud del año. Él comenta acerca de ellos del siguiente modo: “Ahora desde las observaciones [expuestas] arriba es claro que las diferencias en la longitud del año son incluso realmente muy pequeñas. Sin embargo, en el caso de los Solsticios, tengo que admitir que ambos Yo y Arquímedes pudimos haber cometido errores de hasta un cuarto de día en nuestras observaciones y cálculos [de tiempo]. Aunque la irregularidad en la longitud del año puede ser percibida precisamente desde los [Equinoccios] observados en el aro de bronce situado en un lugar de Alejandría llamado "Plaza de la Estoa" (Palestra). Este [aro] supone indicar el Equinoccio en el día cuando la dirección [de la sombra semicircular del aro más fino A] cambia de un lado hacia el otro [de la línea del plano del Ecuador] sobre su superficie cóncava iluminada [aro B].” ^[6].

Por lo tanto, primero, él establece los tiempos de los Equinoccios de otoño que considera haber sido observados en forma muy precisa:

[1] En el decimoséptimo año del Tercer Ciclo Calípico, el 30 de Mesore [27 de Septiembre del –161] ^[7], alrededor de la puesta del Sol.

[2] 3 años más tarde, en el vigésimo año, en el primer día “epagomenal” [27 de Septiembre de –158] ^[7], en el amanecer. Esta debería haber ocurrido en el medio día, entonces hay una discrepancia de un ¼ de día.

[3] 1 año más tarde, en el vigésimo primer año, (en el primer día “epagomenal”), [27 de Septiembre de –157] ^[7], en la hora sexta. Esta estuvo de acuerdo con la observación precedente ^[8].

[4] 11 años más tarde, en el trigésimo segundo año, en la media noche entre el tercer y cuarto día “epagomenal” [26/27 de Septiembre de –146] ^[7]. Esta debería haber ocurrido en el amanecer, entonces nuevamente hay un ¼ de día de discrepancia.

[5] 1 año más tarde, en el trigésimo tercer año, en el cuarto día “epagomenal” [27 de Septiembre de –145] ^[7], en el amanecer. Esta estuvo en acuerdo con la observación previa.

[6] 3 años más tarde, en el trigésimo sexto año, en el cuarto día “epagomenal” [26 de Septiembre de –142] ^[7], por la tarde. Esta debería haber ocurrido a medianoche, entonces nuevamente hay solamente ¼ de día de discrepancia.

Seguidamente Hiparco comienza con el Equinoccio de primavera que ha sido observado con similar precisión:

[1] En el trigésimo segundo año del Tercer Ciclo Kalípico, el 27 de Mechir [24 de Marzo del –145] ^[7], en el amanecer. Además, Hiparco dice, que el aro fue igualmente iluminado a ambos lados [de la línea del Plano del Ecuador] alrededor de la quinta hora ^[9] en Alejandría. Por lo tanto ya podemos ver dos observaciones diferentes del mismo Equinoccio con una discrepancia de aproximadamente 5 horas.

[2 a 6] Él dice que las observaciones subsiguientes hasta el trigésimo séptimo año [desde el -144 al –140] todas estuvieron de acuerdo con los tiempos derivados de los 365 ¼ días [por año].

[7] 11 años más tarde [después del 1º], en el cuadragésimo tercer año, él dice, que el Equinoccio de primavera ocurrió después de la medianoche del 29/30 de Mechir [23/24 de Marzo del –134] ^[7]. Estuvo de acuerdo ^[10] con la observación [1] en el trigésimo segundo año, e, [Hiparco] nuevamente dice [estar] de acuerdo con las observaciones [desde la 8va. hasta la 13ra., desde el -133 hasta el –128] en los años subsecuentes hasta el quincuagésimo año [14]. Esta toma lugar el 1° de Phamenoth [23 de Marzo de –127] ^[7], en la puesta. Esto [ocurrió] aproximadamente 1 ¾ día más tarde [en el año Egipcio] que el [Equinoccio] del cuadragésimo tercer año. También esto se ajusta al intervalo de 7 años.

Por lo tanto en estas observaciones tampoco hay discrepancias que valgan la pena notar, a pesar de que es posible que un error de hasta un cuarto de día ocurra no solo en las observaciones de los Solsticios, sino incluso en las observaciones de los Equinoccios. Pero supongamos que el instrumento, debido a su posicionamiento o graduación, esta fuera del [valor] verdadero tal como una pequeña 1/3600 parte del círculo [(meridiano) que pasa] a través de los polos del Ecuador: entonces, para corregir un error de este tamaño en declinación, [cuando esta] cerca de la intersección [de la Eclíptica] con el Ecuador, tiene que recorrer ¼º en longitud sobre la Eclíptica. Por lo tanto la discrepancia llega cerca de ¼ de día ^[11]. El error puede ser incluso mayor en el caso de un instrumento que, en cambio de estar colocado para una ocasión específica y posicionado en forma precisa en el instante de la observación presente, se ha fijado de una vez por todas sobre una base con la intención de mantenerlo en la misma posición durante un largo período [de tiempo]: [el error ocurre cuando] el instrumento esta afectado por un desplazamiento que pasa desapercibido debido al tiempo sobre el cual toma lugar. Uno puede observar esto en el caso de los aros de bronce [situados] en nuestra Palestra, que están supuestamente fijos [paralelos] al plano del Ecuador. Cuando observamos con ellos, la distorsión en sus posicionamientos [por deformación del aro] es evidente hasta tal punto, especialmente aquella [distorsión que ocurre] con el más grande y más antiguo de los dos, donde a veces la dirección de la iluminación sobre la superficie cóncava en ellos [aros] cambia de un lado al otro dos veces en el mismo día Equinoccial ^[12].

Sin embargo, el propio Hiparco no cree que haya nada en las observaciones anteriores que provea un apoyo convincente para su sospecha de que exista una irregularidad en el longitud del año. En cambio él hace cálculos sobre la base de ciertos eclipses lunares, y declara que encuentra que la variación en la longitud del año, no es más que ¾ de día con respecto al valor medio. Si fuera realmente así, este [valor] podría ser suficientemente grande para tomarlo en cuenta; aunque se puede ver que es falso desde muchas consideraciones las cuales él cita [para apoyarlas]. Para ello utiliza ciertos eclipses lunares que fueron observados tomar lugar cerca de estrellas fijas [específicas] para comparar la distancia de la estrella llamada Spica antes del Equinoccio de otoño para cada [eclipse]. Por medio [de este razonamiento Hiparco] piensa encontrar, en una ocasión, una distancia de 6 ½º, la máxima en su tiempo, y en otra una distancia de 5 ¼º, la mínima [en su tiempo]. Por lo tanto él concluye que, ya que es imposible que Spica [propiamente dicha] se mueva demasiado en tan poco tiempo, es válido suponer que el Sol, que Hiparco utiliza para determinar las posiciones de las estrellas fijas, no tenga un período constante de revolución. Aunque este tipo de cálculo no puede ser realizado sin utilizar la posición del Sol en el eclipse como base. Por lo tanto, pensando que él no lo hace, en cada eclipse esta aplicando para este propósito [la determinación de la posición del Sol] las observaciones precisas de los Solsticios y de los Equinoccios que él mismo ha hecho ^[13] en esos mismos años. Por el mero hecho de hacer esto él demuestra que cuando uno compara la longitud de esos años, no hay una discrepancia en el intervalo de ¼ de día [del día 365].

Tomando un ejemplo sencillo: desde la observación del Eclipse que [Hiparco] cita en el trigésimo segundo año del Tercer Ciclo Calípico, afirma hallar que Spica esta a 6 ½º antes del Equinoccio de otoño, mientras que desde la observación del Eclipse [realizado] en el cuadragésimo tercer año de [ese mismo] ciclo afirma hallar que [Spica] esta a 5 ¼º antes [del mismo] ^[14]. Asimismo ^[15], con el fin de realizar cálculos según lo anterior, cita los Equinoccios de primavera que precisamente observó en aquellos años. Esto fue [escrito] para que desde estos últimos pudiera encontrar la posición del Sol en el medio de cada eclipse, desde esas [posiciones] las posiciones de la Luna, y desde las posiciones de la Luna aquellas [posiciones] de las estrellas. Él dice que el Equinoccio de primavera en el trigésimo segundo año tomó lugar el 27 de Mechir [24 de Marzo de –145] ^[7] en el amanecer, y uno en el cuadragésimo tercer año el 29/30 de Mechir, [el 23/24 de Marzo de –134] ^[7] después de la medianoche, posteriormente [en el año Egipcio] respecto de aquel en el trigésimo segundo [año] por aproximadamente 2 ¾ días, que es la misma cantidad producida por la suma de precisamente ¼ de día en cada uno de los 11 años intervinientes. Entonces, dado que ha sido demostrado que el Sol completa su revolución (medida con respecto a esos Equinoccios) en un tiempo ni mayor ni menor que el intervalo de ¼ [de día del día 365], y ya que es imposible que Spica se mueva 1 ¼º por tan pocos números de años, seguramente es malicioso utilizar cálculos basados sobre los fundamentos anteriores para impugnar los muchos fundamentos sobre los cuales ellos estuvieron basados. Es perverso atribuir el motivo de un imposiblemente gran movimiento de Spica únicamente para los Equinoccios sobre los que están basados los cálculos (lo que implica las asunciones simultáneas, ambas aquellas que se observan en forma precisa, y aquellas que han sido observadas imprecisamente), cuando hay varias causas posibles para un tan gran error. Es más válido suponer tanto, que las distancias de la Luna desde las estrellas mas cercanas en los Eclipses han sido también estimadas de manera imprecisa, o que allí ha habido un error o imprecisión en la determinación de la paralaje de la Luna con respecto a su posición aparente, o sobre el movimiento del Sol desde el Equinoccio hasta el instante del Eclipse medio.

Sin embargo, mi opinión es que Hiparco por si mismo se dio cuenta que este tipo argumentación no brinda una evidencia persuasiva para la atribución de una segunda anomalía del Sol, pero su amor por la verdad lo llevó a no suprimir alguna cosa que pudiera en algún sentido conducir a algunas gentes [pensar que esta fuera una anomalía]. De todos modos, él mismo, en sus teorías del Sol y de la Luna, asume que el Sol tiene una única e invariable anomalía, el período el cual es la duración del año según lo definido por [la vuelta] a los Solsticios y Equinoccios. Además, cuando asumimos que el período de estas revoluciones del Sol es constante, vemos que nunca hay alguna diferencia significante entre el fenómeno observado en los Eclipses y aquellos calculados [según] lo supuesto anteriormente. Sin embargo, habría una diferencia muy perceptible si hubiera alguna corrección debido a una variación en la longitud del año con las que no tuvimos en cuenta, incluso si aquellas correcciones fueran tan pequeñas como de un solo grado, que corresponde aproximadamente a dos horas Equinocciales ^[16].

De todas las consideraciones anteriores, y desde nuestra propia determinación del período de la revolución [solar], por medio de una serie de observaciones de la posición del Sol, concluimos que la longitud del año es constante, con tal que este siempre definida con respecto al mismo criterio, y no con respecto a los puntos Solsticiales y Equinocciales en el mismo instante y a las estrellas fijas en otro [instante]. También concluimos que la definición más natural de la revolución es aquella en la que el Sol, comenzando desde un Solsticio o Equinoccio o en cualquier punto sobre la Eclíptica, vuelve al mismo punto nuevamente. Y en general, lo consideramos como un buen principio para explicar el fenómeno por [medio de] la hipótesis más simple posible, en la medida en que no haya nada en las observaciones para proporcionar una objeción importante a tal procedimiento ^[17].

Ahora, nos fueron claras las demostraciones de Hiparco de que la longitud del año, definida con respecto a los Solsticios y a los Equinoccios, es menor que un ¼ de día excediendo los 365 días. La cantidad por la que esta llega [a ser] más corta [de ¼ de día] no puede ser determinada con absoluta certeza, dado que la diferencia es tan pequeña que para muchos años sucesivos el incremento [sobre los 365 días] se mantiene sensiblemente igual el mismo como un incremento constante de ¼ de día. Por lo tanto es posible, cuando se comparan observaciones tomadas durante un período bastante largo, que los días excedentes [sobre los 365], que han de ser obtenidos distribuyendo [el excedente total] sobre los años del intervalo [entre las observaciones], pueden parecer ser los mismos si uno toma [las observaciones sobre] un número mayor o menor de años. Sin embargo, cuanto más tiempo transcurre entre las observaciones comparadas, mayor será la precisión de la determinación del período de revolución. Esta regla se mantiene bien no solo en este caso, sino para todas las revoluciones periódicas. Un error debido a la inexactitud inherente incluso en observaciones realizadas cuidadosamente es, a los sentidos del observador, pequeña y aproximadamente la misma en cualquiera [de las dos] observaciones, si ellas son tomadas sobre un gran intervalo o sobre uno pequeño. Sin embargo, este mismo error, cuando esta distribuido sobre un número más pequeño de años, hace la inexactitud en el movimiento anual [comparativamente] mayor (y [por lo tanto incrementa] el error acumulado sobre un período de tiempo más largo), pero cuando esta distribuido sobre un mayor número de años hace la inexactitud [comparativamente] menor. En consecuencia debemos considerar ello suficiente si tratamos de tomar en cuenta solo este incremento en la precisión de nuestras hipótesis concernientes a los movimientos periódicos que pueden ser derivados desde la longitud de tiempo entre nosotros y aquellas observaciones que tenemos las cuales ambas son antiguas y precisas. No debemos, si podemos evitarlo, obviar el propio examen [de tales registros]; sino [tomarlos] como certezas validadas “para la eternidad”, o incluso para una longitud de tiempo que es muchas veces aquella sobre la cual las observaciones han sido tomadas, debemos considerarlas extrañas para un amor a la ciencia y a la verdad ^[18].

Ahora, en lo que respecta a la antigüedad [de las observaciones], los Solsticios de verano observados por la escuela de Metón y Euctemón, y, más tarde, por la escuela de Aristarco de Samos, merecen ser comparadas con aquellas de nuestra propia época ^[19]. Sin embargo, dado que las observaciones de los Solsticios son, en general, difícil de determinar precisamente, y dado que, además, las observaciones transmitidas por las gentes anteriormente mencionadas fueron manipuladas con bastante imprecisión (como Hiparco también parece pensar), las abandonamos, y hemos utilizado en cambio, para la comparación que proponemos, las observaciones del Equinoccio, eligiendo entre ellas, en aras de la precisión, aquellas que Hiparco especialmente notó como muy seguras determinadas por él [mismo], y aquellas que nosotros mismos hemos realizado con la mayor precisión utilizando los instrumentos para tales propósitos descritos al comienzo de nuestro tratado (Libro I Capítulo 12).

Para ello encontramos que los Solsticios y los Equinoccios ocurren más temprano de lo que [uno podría esperar de un año de 365] ¼ días por un día en aproximadamente 300 años.

Hiparco informó que en el trigésimo segundo año del Tercer Ciclo Calípico hizo una observación muy precisa del Equinoccio de otoño, y dijo que lo calculó ocurriendo a medianoche, entre el tercer-cuarto día epagomenal [26/27 de Septiembre del –146] ^[7]. El año es el 178 avo. desde la muerte de Alejandro Magno ^[20]. 285 años más tarde, en el tercer año de Antonino Pío, siendo es el 463 avo. desde la muerte de Alejandro, observamos nuevamente, en forma precisa, que el Equinoccio de otoño ocurrió en el 9 de Athyr [26 de Septiembre del -139] ^[7], aproximadamente una hora después de la salida del Sol ^[21]. Por lo tanto el período de una vuelta comprende, por encima de 285 años Egipcios completos (estos son, años de 365 días), 70 ¼ días más aproximadamente 1/20 ava. [parte] de un día, en cambio de los 71 ¼ días correspondientes al ¼ día excedente de los [285] años de arriba. Por lo tanto la vuelta tomó lugar más temprano de lo que esta podría haber ocurrido con el ¼ [del 365] día del año por un día menos alrededor de 1/20 de día.

Similarmente, Hiparco dice que el Equinoccio de primavera en el mismo trigésimo segundo año del Tercer Ciclo Calípico, que observó más precisamente, tomó lugar el 27 de Mechir [24 de Marzo de –145] ^[7] en el atardecer. El año es el 178 avo. desde la muerte de Alejandro. Hallamos que el Equinoccio de primavera correspondiente [ocurrió] 285 años más tarde, en el año 463 avo. desde la muerte de Alejandro, [y] tomó lugar el 7 de Pachon [22 de Marzo de 140] ^[7], aproximadamente 1 hora después del mediodía. Por lo tanto este período también comprende un incremento [por encima de 285 años Egipcios] de la misma cantidad, 70 ¼ + cerca de 1/20 días, en cambio de los 71 ¼ días correspondientes al ¼ día excedente de los 285 días. Aquí también, entonces, la vuelta del Equinoccio de primavera tomó lugar 19/20 avas.[partes] de un día, mucho antes de lo que tendría que tomar con el ¼ [del día 365] día del año. Por lo tanto, dado que

1 día / (19/20) día = 300 / 285,

concluimos que la vuelta del Sol a los puntos Equinocciales toma lugar antes de lo que podría [ocurrir] con el ¼ de día [del día 365] anual por aproximadamente un día en 300 años.

Además si, dada su antigüedad, comparamos el Solsticio de verano observado por la escuela de Metón y Euctemón, (aunque algo imprecisamente registrado), con el Solsticio que determinamos tan precisamente como fuera posible, obtendremos el mismo resultado. Aquel [Solsticio] fue registrado ocurriendo en el año cuando Apseudes fue el arconte de Atenas, el 21 de Phamenoth en el calendario Egipcio [27 de Junio de –431] ^[7], en el atardecer ^[22]. Determinamos seguramente que [el Solsticio de verano] arriba mencionado, en el 463 avo. año desde la muerte de Alejandro, ocurrió el 11/12 de Mesore [24/25 de Junio del 140] ^[7] cerca de 2 horas luego de la medianoche. Ahora, son 152 años (como también contó Hiparco) desde el Solsticio de verano registrado en el arcontado de Apseudes hasta el Solsticio observado por la escuela de Aristarco en el quincuagésimo año del Primer Ciclo Calípico [-279] ^[7], y desde aquel quincuagésimo año, que corresponde al 44 avo. año desde la muerte de Alejandro, hasta el 463 avo. año, en el cual nuestra observación fue realizada, hay 419 años. Por lo tanto en todo el intervalo de 571 años, si el Solsticio de verano observado por la escuela de Euctemón tomó lugar alrededor del amanecer del 21 de Phamenoth, hay un incremento de aproximadamente 140 5/6 días en los años Egipcios completos ^[23], en cambio de los 142 ¾ días correspondientes al ¼ día excedente para 571 años. Por lo tanto la vuelta en cuestión tomó lugar antes de lo que podría haber [ocurrido] con el ¼ día [del 365] anual por 1 11/12 días. Entonces, aquí también, es claro que en alrededor de 600 años la longitud del año [verdadera] acumula una disminución de aproximadamente 2 días completos comparado con el ¼ de día [del 365] anual.

Hallamos el mismo resultado desde un número de otras propias observaciones, y vemos que Hiparco esta de acuerdo con ello en más de una ocasión. Porque en su trabajo “Sobre la longitud del año” compara el Solsticio de verano observado por Aristarco al final del quincuagésimo año del Primer Ciclo Calípico [-279] con el cual él mismo ha determinado, nuevamente con precisión, al final del cuadragésimo tercer año del Tercer Ciclo Calípico [-134], y luego dice: "es claro, entonces, que más de 145 años el Solsticio ocurre más temprano respecto de lo que tendría que suceder con un ¼ de día [del día 365] anual por la mitad de la suma de la longitud del día y de la noche”. Nuevamente, en [su trabajo] “Sobre los meses y los días intercalares” también, después de comentar que según la escuela de Metón y Euctemon, la longitud del año comprende 365 ¼ + 1/76 días, pero de acuerdo con Calipo solo 365 ¼ días ^[24], él comenta, con sus propias palabras, lo que sigue: “En cuanto a nosotros, hallamos el número meses completos comprendidos en 19 años ser los mismos tal como ellos lo hallaron, aunque encontramos que el año es incluso menor que ¼ [de día pasados los 365], por aproximadamente 1/300 avas. partes de un día. Por lo tanto en 300 años su déficit [acumulado] es de 5 días comparados con el [esquema] de Metón, y 1 día comparado con el de Calipo”. Y cuando él más o menos resume sus opiniones en su lista de sus propios escritos ^[25], dice: “Yo también he compuesto un trabajo sobre la longitud del año en un libro, en el cual demuestro que el año solar (por el que me refiero al tiempo en que el Sol va desde un Solsticio regresando al mismo Solsticio, o desde un Equinoccio regresando al mismo Equinoccio) contiene 365 días, más una fracción que es menor de ¼ [de día] cerca de 1/300 ava. parte de la suma de un día y de una noche, y no, como los matemáticos ^[26] suponen, exactamente ¼ de día superando el número [365] de días arriba mencionado”.

Por lo tanto creo que esto parece estar claramente de acuerdo las observaciones actuales con las anteriores, que todos los fenómenos observados hasta el momento presente tienen que ver con la longitud del año solar de acuerdo con la cifra anteriormente mencionada para una vuelta a los Solsticios o a los Equinoccios. Siendo esto así, si distribuimos el único día sobre los 300 años, cada año toma 12 segundos de un día. Substrayendo eso desde los 365;15 días del incremento de ¼ de día, tendremos la longitud del año requerida como de 365;14,48d. Entonces, luego, esta es la aproximación más cercana posible que podemos derivar desde los datos disponibles.

Ahora, con respecto a la determinación de las posiciones del Sol y de otros [cuerpos celestiales] para cualquier instante dado, donde la construcción de tablas individuales están diseñadas para darlas en una forma práctica y por así decirlo de fácil lectura: pensamos que la tarea de los matemáticos y el objetivo debería ser demostrar todos los fenómenos celestiales siendo reproducidos por movimientos circulares uniformes, y que la forma tabular más apropiada y adecuada para esta tarea es aquella que separa los movimientos uniformes individuales de los movimientos [anomalísticos] no uniformes que [sólo] parecen tomar lugar, y esto [de hecho] debido a los modelos circulares; las ubicaciones aparentes de los cuerpos son entonces visualizadas por la combinación de esos dos movimientos dentro de uno ^[27]. Con el fin de tener este tipo de tabla de tal forma que estará lista y será útil tenerla a mano para las pruebas actuales [que están por venir], ahora estableceremos los movimientos uniformes individuales del Sol de la siguiente manera.

Dado que hemos demostrado que una revolución contiene 365;14,48d, dividiendo 360° del círculo por aquello último [365;14,48d], hallamos el movimiento diario medio del Sol por aproximadamente 0;59,8,17,13,12,31º (será suficiente llevar a cabo divisiones de este número [por ej. a 6] lugares sexagesimales).

Seguidamente, tomando la 1/24 ta. parte del movimiento diario, hallamos el movimiento por hora como aproximadamente de 0;2,27,50,43,3,1º.

De manera parecida, multiplicamos el movimiento diario por 30, [siendo] el número de días en un mes, y tomar como el movimiento medio mensual de 29;34,8,36,36,15,30º;

y, multiplicándolo por 365, [siendo] el número de días en un año egipcio, obtenemos el movimiento medio anual de 359;45,24,45,21,8,35º.

Luego multiplicamos el movimiento anual por 18 años, dado que este número producirá una simetría en el diseño de las tablas ^[28], y, después de la reducción de círculos completos, hallamos el incremento sobre los 18 años siendo de 355;37,25,36,20,34,30º.

Entonces establecemos tres tablas para el movimiento uniforme del Sol, nuevamente cada una contiene 45 líneas, y [también] cada una tiene dos secciones [verticales]. La primera tabla contendrá los movimientos medios de períodos de 18 años, la segunda contendrá arriba los movimientos anuales y debajo los movimientos por hora, y la tercera contendrá arriba los movimientos mensuales y debajo los movimientos diarios. Los números que representan el tiempo estarán en la primera sección [por ej. a mano izquierda], y los grados correspondientes, obtenidos por sucesivas adiciones de la cantidad apropiada para cada [unidad de tiempo], en la segunda [sección, por ej. a mano derecha]. Las tablas son las siguientes:

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Notas de referencia

1. Ver HAMA 54-5, Pedersen 128-34.
2. Para esto ir hacia atrás, al Libro I Capítulo 8, que explica la caracterización del movimiento diario por medio de la rotación de un gran circulo a través de los polos del Ecuador y de la Eclíptica.
3. Libro VII Capítulo 2-3.
4. Literalmente "del excedente debido al ¼ de día".
5. Manitius reclama que la lectura  en cambio de  en H194,21 es “absolutamente necesaria”. Es el texto de HAMA, adoptado del editio princeps. Sin embargo, no es encontrado en ningunos de los manuscritos principales, y en el texto de Heiberg como este sostiene puede significar la misma cosa.
6. Ver Price para un diagrama de este “Armilar Ecuatorial”, en “Instrumentos de Precisión” Fig. 343 C en p. 589. Simplemente es un aro fijado permanentemente sobre el plano del Ecuador. Por Ptolomeo (descripción luego de las observaciones de los Equinoccios de Primavera) sabemos que en su tiempo había dos de tales aros (Armilares Equatoriales) en la Palestra de Alejandría. Si ambos fueron idénticos con el mencionado por Hiparco no puede ser discutido aquí. Dado que se conoce poco acerca de la "Plaza de la Estoa" y de la Palestra (probablemente [ubicados] en el gran gimnasio mencionado por Estrabón en 17.1.10) ver a Fraser [1] II 98 n. 222 y 223, I 28-9, y a Fraser [2] 144-5.
7. 
   Fechas y horas calculadas con un programa de computación desde las observaciones realizadas por Hiparco y Ptolomeo desde Alejandría (Egipto) de los siguientes:

   Equinoccios de Otoño

   Fecha	Hora local	Sol en	Azimut	Altura	Carta
   27 de Septiembre de 162 a. C. (-162)	02:28:29	Virgo	-----	Bajo el Horizonte	Almagesto Observación 27.09.162 a. C.
   26 de Septiembre de 159 a. C. (-159)	19:59:30	Virgo	-----	Bajo el Horizonte	Almagesto Observación 26.09.159 a. C.
   27 de Septiembre de 158 a. C. (-158)	01:46:01	Virgo	-----	Bajo el Horizonte	Almagesto Observación 27.09.158 a. C.
   26 de Septiembre de 147 a. C. (-147)	17:40:33	Virgo	88° 15'	3° 03'	Almagesto Observación 26.09.147 a. C.
   26 de Septiembre de 146 a. C. (-146)	23:34:44	Virgo	-----	Bajo el Horizonte	Almagesto Observación 26.09.146 a. C.
   26 de Septiembre de 143 a. C. (-143)	17:08:53	Virgo	84° 06'	9° 39'	Almagesto Observación 26.09.143 a. C.
   26 de Septiembre de 140 a. C. (-140)	10:43:13	Virgo	328° 31'	54° 35'	Almagesto Observación 26.09.140 a. C.

   Equinoccios de Primavera

   Fecha	Hora local	Sol en	Azimut	Altura	Carta
   24 de Marzo de 146 a. C. (-146)	15:07:26	Aries	62° 26'	37° 27'	Almagesto Observación 24.03.146 a. C.
   24 de Marzo de 135 a. C. (-135)	07:08:20	Aries	277° 52'	12° 51'	Almagesto Observación 24.03.135 a. C.
   23 de Marzo de 128 a. C. (-128)	23:28:00	Aries	-----	Bajo el Horizonte	Almagesto Observación 23.03.128 a. C.
   21 de Marzo de 140 d. C. (140)	16:14:46	Pisces	74° 21'	24° 06'	Almagesto Observación 21.03.140 d. C.

   Solsticios de Verano

   Fecha	Hora local	Sol en	Azimut	Altura	Carta
   28 de Junio de 432 a. C. (-432)	10:50:05	Cancer	292° 26'	73° 22'	Almagesto Observación 28.06.432 a. C.
   27 de Junio de 280 a. C. (-280)	05:22:18	Cancer	242° 21'	03° 42'	Almagesto Observación 27.06.280 a. C.
   23 de Junio de 140 d. C. (140)	13:58:16	Gemini	81° 36'	62° 28'	Almagesto Observación 23.06.140 d. C.

   Nota del traductor al español: cartas y datos elaborados con mi software de aplicación "M1 Sistema Astronómico"©.

8. Mientras que hay un acuerdo general de que todas las otras observaciones del Equinoccio informadas por Hiparco fueron realizadas por él en persona, hay una disputa considerable si éstas tres fueron observadas o meramente utilizadas por él. Están separadas por un intervalo de 11 años de la siguiente observación declarada, que también cae dentro del período en el cual otros tipos de observaciones hechas por Hiparco están registradas (por ej. el Eclipse lunar del 21 de Abril de –145, Libro III Capítulo 1). Mi propio punto de vista es que este grupo de tres observaciones más antiguas no fueron realizadas por Hiparco propiamente dicho, sino que por comparación fueron simplemente deducidas por él.
9. Esta declaración ha sido ocasionalmente utilizada (más recientemente por Fraser [1] I 423) como evidencia de que Hiparco la observó en Alejandría. Por el contrario, la expresión de Ptolomeo deja en claro que esta observación Alejandrina fue diferente (y discrepante) de la propia de Hiparco. Siempre que el lugar de una observación de Hiparco, o sea en Rodas (excepto por sus pronósticos de tiempo informados en el Phaseis de Ptolomeo, cuyo lugar fue Bitinia, probablemente la nativa Nicea de Hiparco).
10. Leer  en H196,15 por un error de impresión de 
11. Ptolomeo dice que un error observacional de 6’ en declinación corresponde, cerca del Equinoccio, a un movimiento de la Eclíptica de ¼º o (dado que el Sol se mueve cerca de 1º por día en la Eclíptica) a un error de ¼ de día en el instante de la observación. Esto es verificado fácilmente por interpolación lineal en la Tabla de la Inclinación (de la Eclíptica), donde la declinación para 1º es 0;24,16º.
12. Por este aro ver la presente nota de referencia nro. 6. Si el instrumento fue correctamente colocado, en el instante del Equinoccio de primavera la dirección de la iluminación podría cambiar desde debajo de la parte sombreada hacia arriba [de tal parte sombreada] (y viceversa en otoño). Manitius (I 427 n.21) explica el fenómeno reportado aquí por Ptolomeo como debido al efecto de la refracción sobre un aro correctamente emplazado. Su argumento [el de Ptolomeo] es desechado por Rome [5] I 230-5 y [1] II p. 818 n., sobre la base de que el [Equinoccio] verdadero de uno de los dos “Equinoccios” fácilmente puede ser determinado por la dirección del cambio [de la dirección de la iluminación]. Por supuesto esto no invalida la explicación de Manitius. La única discusión válida detallada es la de Britton [1] 29-42, ambas corregidas por Manitius y Rome, y concluyendo (p. 34) que los múltiples “Equinoccios” sobre un aro bien alineado podrían ser normales [(bien observadas)].
13. Leer  (en el manuscrito D y en el Ar) en H198,24 por  (“que fueron hechas en su tiempo”).
14. Los Eclipses en cuestión son: el del 21 de Abril de –145 y el del 21 de Marzo de –134 (error de impresión como "31 de Marzo" en el Apéndice A de Pedersen, p. 414). No tenemos datos posteriores sobre las observaciones de Hiparco de esos Eclipses. Ver Rome [5] II para una discusión detallada de los procedimientos involucrados. En el Libro VII Capítulo 2 parece que Hiparco en su propio tiempo asienta eventualmente un valor comprometido de 6º desde el Equinoccio de otoño.
15. Significa “como en los otros cálculos similares”. En el manuscrito D se lee , “sin embargo”, lo cual le da un buen sentido [a la frase], aunque no sucede lo mismo en la tradición Árabe.
16. El tiempo de un Eclipse depende de la velocidad del Sol y de la Luna. Asumiendo, con Ptolomeo, valores alrededor de 1º por día para el movimiento del Sol y alrededor de 13º por día para la Luna, tomamos un movimiento relativo de 12º por día, o de ½º por hora. Por lo tanto un cambio de 1º en la posición del Sol en un Eclipse determina un cambio de 2 horas en el tiempo.
17. Este principio general de la conveniencia de la simplicidad es repetido en la hipótesis, aunque modificado en el Libro XIII Capítulo 2. Cf. también en Libro III Capítulo 4.
18. Esta actitud notablemente sensible hacia la validez de los movimientos medios derivados de las observaciones no fue imitada por la mayoría de los sucesores de Ptolomeo a lo largo de la antigüedad y la edad media. El comentario despectivo acerca de la "eternidad" puede ser un avistado en el  mencionado en el Libro IX Capítulo 2 (ver allí nota de referencia nro. 8).
19. Los únicos Solsticios conocidos que han sido observados por estos hombres fueron el del 27 de Junio del –431, referido en párrafos más adelante a “la escuela de Metón y Euctemon”, y aquel del -279 (no se conocen más datos) referido en párrafos más adelante a “la escuela de Aristarco”. Este último es Aristarco de Samos, famoso principalmente ahora por su “Hipótesis Heliocéntrica”. Ver Heath, Aristarco. Sobre Metón ver Toomer [7]. Por “la escuela de...” traduzco . El camino preciso para interpretar la frase de aquí y por donde fuera en el Almagesto es un poco oscuro.
20. Sobre esto (el -323, no el –322, es el año actual de la muerte de Alejandro) ver la Introducción nota de referencia 16. “178 avo.” es un cómputo inclusivo.
21. Notablemente, las observaciones de Ptolomeo del Equinoccio de primavera y del Solsticio de verano de más abajo, ocurren 1 día después del evento actual. Este es el argumento más firme para aquellas críticas modernas de quienes han mantenido como "falsificadas" las observaciones de Ptolomeo. Ver Toomer [5] 189. La mejor discusión de este dificultoso problema es la de Britton [1] Capítulo II.
22. La fecha egipcia de esta observación no fue dada por el mismo Metón, quién la fechó el 13 de Skirophorion en su calendario, sino que es una conversión más tardía (hallada en el Parapegma Milesiano a finales de la segunda centuria a. C., ver Alan Edouard Samuel, “Cronología Griega y Romana” 44 o Toomer [7] 338, pero sin dudas ya hecho por Hiparco).
23. Ptolomeo, en la observación mas temprana, aparentemente considera el “amanecer” () desde las 06:00 hs. en horas equinocciales (dejando de lado el hecho de que en Atenas, la salida del Sol en el Solsticio de verano ocurre cerca de las 04:45 hs.), y da a entender que “2 horas después de la medianoche” en su propia observación, son las 02:00 hs., por ej. en horas Equinocciales. Entonces el incremento sobre días enteros entre las observaciones es de 20 horas Equinocciales = 5/6 de día. Si tuviéramos que tomar los tiempos como “de la salida del Sol precisa” y "de 2 horas de estación", el intervalo podría estar más cerca de las 21:00 hs., o 7/8 de día.
24. Ellas están de acuerdo con los ciclos metónicos y calípicos respectivamente. Ver Introducción (d) Cronologías y Calendarios.
25. Esta frase, que parece no haber sido comprendida por los tempranos traductores, aunque sí interpretada correctamente por Rehm, “Hiparco” col. 1666, demuestra que Hiparco publicó un catálogo de sus propios trabajos con un sumario de los contenidos de cada uno. Un ejemplo de este tipo de publicación que nos ha llegado es [la obra] “Sobre sus propios Libros” de Galen (), “Scripto Minora” II 91 ff. En el trabajo de Galen, es aparente que para un escritor prolífico en monografías, como [lo fue] Hiparco, tal catálogo fuera necesario como prueba sobre la atribución de su trabajo (quizás circulando en versiones no autorizadas) para otros.
26. , que incluyen a los astrónomos. Uno podría también pensar desde "el tono" [o forma de expresarse] de Hiparco dando a entender como “astrólogos” (es un significado estándar en el griego tardío). Ptolomeo, sin embargo, no utiliza la palabra en este sentido (más tarde la he traducido como “astrónomos” en cf. en el Libro IV Capítulo 2 y en el Libro IX Capítulo 2).
27. Esta es una polémica implícita contraria al tipo de efemérides de la tabla astronómica que da la posición verdadera de los planetas (sus “posiciones aparentes”). A juzgar desde el papiro sobreviviente, el tipo de tabla planetaria más común fue aquella dando las entradas de los cuerpos celestes dentro de los signos zodiacales por un periodo de años (ver HAMA II 785 ff.). Ptolomeo quizás estaba pensando en una especie de "almanaque perpetuo" que daba las verdaderas posiciones de los planetas a intervalos regulares sobre un período planetario completo. Su argumento es que su aproximación (en las tablas del movimiento medio modificadas por las tablas de las ecuaciones) da una visión más verdadera de los movimientos actuales, que son uniformes y circulares.
28. A pesar de la clara explicación de Ptolomeo de su motivación por elegir el período de 18 años ha sido un tema en vano en muchos debates. Comenzando desde un tamaño estándar de 45 líneas (ver Libro I Capítulo 10 nota de referencia nro. 18), y permitiendo algún espacio para los encabezados, [Ptolomeo] establece la combinación de años simples sobre la misma hoja con horas hasta 18 líneas para esa tabla (18 + 24 = 42 = 12 + 30 [meses y días]). También esta es la razón por la cual la tabla de períodos de 18 años asciende a solo 810 años (45 * 18), aunque aún esto no alcance el tiempo propio de Ptolomeo dentro de su época. La época en la que comienza a componer las Tablas Prácticas, se ha dado cuenta del inconveniente de este arreglo, y cambió a períodos de 25 años y a una época más cercana a su tiempo (Era de Filipo, 12 de Noviembre del –323).