Almagesto: Libro XII - Capítulo 06

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{Demostración de los [Movimientos] Retrógrados de Mercurio]}

Nuevamente, en el caso de Mercurio [ver Fig. 12.12], de acuerdo a nuestros cálculos para la distancia media,

ΘZ / ZG = 1 / 3;9,8 [1],
EG / GZ = 5;9,8 / 3;9,8,
y EG * GZ = 16;14,27.
Además, GA / AH = 60 / 22 ½,
DG / GH = 82;30 / 37;30,
y DG * GH = 3093;45.

Fig. 12.12
Fig. 12.12

Dividiendo [3093;45 por 16;14,27], nos da 190;29,31, cuya raíz cuadrada es, 13;48,7, multiplicado por la proporción anterior de las líneas ΘZ / ZG, da, en términos de los tamaños de arriba de GA y AZ [por ej. 60 y 22;30],

ΘZ = 13;48,7p,
ZG = 43;30,24p,
y, por suma, GΘ = 57;18,31p.

Por consiguiente, donde las hipotenusas AZ y AG son cada una de 120p [respectivamente],

ZΘ = 73,36,37p,
y GΘ = 114;37,2p.

Los arcos correspondientes son:

arco ZΘ = 75;40,28º
y arco GΘ = 145;32,52º.
Por consiguiente el ^ ZAΘ = 37;50,14º
y el ^ ΘAG = 72;46,26º.

Y, por sustracción, el ^ ZGA, que representa la [cantidad del movimiento] Retrógrado debido a la velocidad del planeta, es de [90º - ^ ΘAG =] 17;13,34º, mientras el ^ ZAH, que representa el [movimiento en] anomalía media, es [^ ΘAG - ^ ZAΘ =] 34;56,12º. A este último le corresponde un movimiento en longitud [media] de 11;4,59º, de acuerdo a la proporción de arriba [de las velocidades] [2], y

la mitad del [movimiento] retrógrado es hallado por sustracción como de [17;13,34º - 11;4,59º =] 6;8,35º y alrededor de 11 ¼ días.
Y el [movimiento] retrógrado total es de 12;17,10º y 22 ½ días.

De acuerdo a nuestros cálculos para la próxima máxima distancia, por ej. cuando la longitud corregida es alrededor de 11º desde el apogeo (correspondiendo a una longitud media de alrededor de 11 ½º), la ecuación para la corrección de las [velocidades] correspondientes a 1º [de anomalía] es alrededor de 2 ⅓' [3]. Por consiguiente

ΘZ / ZG = 0;57,40 / 3;11,28,
EG / GZ = 5;6,48 / 3;11,28,
y EG * GZ = 16;19,2.
Además, GA / AH = 68;36 / 22;30 [4],
DG / GH = 91;6 / 46;6,
y DG * GH = 4199;42,36.

Dividiendo [4199;42,36 por 16;19,2], nos da 257;22,44, cuya raíz cuadrada es, 16;2,35, multiplicado por la proporción de ΘZ / ZG, da, en términos de los tamaños de arriba GA y AZ [por ej. 68;36 y 22;30],

ΘZ = 15;52,9p
ZG = 51;11,43p en las mismas unidades,
y, por adición, GΘ = 66;36,52p.

Por consiguiente, donde las hipotenusas ZA y AG son cada una de 120p [respectivamente],

ZΘ = 82;14,8p
y GΘ = 116;31,36p.

Los arcos correspondientes son:

arco ZΘ = 86;31,4º
y arco ΘG = 152;27,56º [5].
Por consiguiente el ^ ZAΘ = 43;15,32º
y el ^ ΘAG = 76;13,58º.

Y, por sustracción, el ^ ZGA, que representa la [cantidad del movimiento] retrógrado debido a la velocidad del planeta, es de [90º - ^ ΘAG =] 13;46,2º, mientras el ^ ZAH, que representa el [movimiento en] anomalía aparente, es de [^ ΘAG - ^ ZAΘ =] 32;52,26º [6]. A esto último le corresponden [movimientos de] 9;48,51º en longitud corregida y 10;16,51º en [longitud] media, de acuerdo a las razones [de las velocidades] en el apogeo [7]. Por lo tanto

la mitad del [movimiento] retrógrado es encontrado por sustracción como de [13;46,2º - 9;48,51º =] 3;57,11º y alrededor de 10 ½ días.
Y el [movimiento] retrógrado total es de 7;54,22 y 21 días.

De acuerdo a nuestros cálculos para la próxima mínima distancia (que ocurre cerca de las Elongaciones de 120º en movimiento medio desde el apogeo), la ecuación para la corrección de [las velocidades], derivada de la entrada [a la tabla] por alrededor de 11º a ambos lados del perigeo, es aproximadamente 1 ½' [8]. Por consiguiente

ΘZ / ZG = 1;1,30 / 3;7,38,
EG / GZ = 5;10,38 / 3;7,38,
y EG * GZ = 16;11,25.
Además, GA / AH ≈ 55;42 / 22;30 [9],
DG / GH = 78;12 / 33;12,
y DG * GH = 2596;14,24.

Dividiendo [2596;14,24 por 16;11,25], nos da 160;21,29, cuya raíz cuadrada es 12;39,48, multiplicado por cada miembro de la proporción anterior de ΘZ / ZG, da, en términos de los tamaños de arriba de GA y AZ [por ej. 55;42 y 22;30],

ΘZ = 12;58,47p
ZG = 39;36,4p en las mismas unidades,
y, por suma, GΘ = 52;34,51p.

Por lo tanto, donde las hipotenusas AZ y AG son cada una de 120p [respectivamente],

ΘZ = 69;13,31p
y ΘG = 113;16,48p.

Los arcos correspondientes son:

arco ΘZ = 70;27,44º
y arco ΘG = 141;28,14º.
Por consiguiente el ^ ΘAZ = 35;13,52º
y el ^ ΘAG = 70;44,7º.

Y, por sustracción, el ^ ZGA, que representa la [cantidad del movimiento] retrógrado debido a la velocidad del planeta, es de [90º - ^ ΘAG =] 19;15,53º, mientras el ^ ZAH, que representa el [movimiento en] anomalía aparente, es de [^ ΘAG - ^ ΘAZ =] 35;30,15º. A esto último le corresponden [movimientos de] 11;39,30º en longitud corregida, y 11;21,30º en [longitud] media, de acuerdo a las proporciones anteriores [de las velocidades cercanas al perigeo] [10]. Por lo tanto

la mitad del [movimiento] retrógrado es hallado por sustracción como de [19;15,53º - 11;39,30º =] 7;36,23º y alrededor de 11 ½ días.
Y el [movimiento] retrógrado total es de 15;12,46º y 23 días.

Las cantidades [de los movimientos retrógrados] que hemos demostrado están bastante de acuerdo con aquellas derivadas desde los fenómenos actuales asociados con cada planeta.

Utilizamos el método siguiente para hallar los movimientos en longitud en las máximas y en las mínimas distancias [11].

Fig. R
Fig. R

Por ejemplo, en el caso de Marte (a mitad del Libro XII Capítulo 4), demostramos que, cerca de la máxima distancia [12], el arco aparente del Epiciclo desde ambas [posiciones] estacionarias hasta la Oposición (por ej. el arco visto desde el centro de la eclíptica) es de 22;13,19º. Para esto último le corresponde (de acuerdo a la proporción 1 / 1;3,11) un movimiento en longitud media de alrededor de 21;10º [13]. Pero esto último no representa precisamente [el movimiento medio actual], ya que las proporciones de las velocidades que establecimos para las [posiciones] estacionarias no permanecen sin cambios a través de todo el período del [movimiento] retrógrado. Sin embargo, esto esta lo suficientemente cerca de la verdad así que la ecuación correspondiente a él (que es alrededor de 3;45º) [14] no es significativamente diferente [de la verdadera ecuación]. Entonces, sustraemos estos [3;45º] desde los 22;13,19º del epiciclo (dado que en la máxima distancia, el movimiento aparente sobre el epiciclo es mayor que el movimiento medio), y [por lo tanto] se encuentra que el correspondiente movimiento medio en anomalía desde ambas [posiciones] estacionarias hasta la oposición es de 18;28,19º. A esto, de acuerdo con la proporción de los movimientos medios [0;52,51 / 1] le corresponde un movimiento en longitud media de 20;58,21º [15]. Así que adoptamos a esto como valor exacto en cambio de [los previos] 21;10º, y sustraemos de él los 3;45º de la ecuación (que permanece casi inalterable en esta posición). [Lo restamos] dado que en la máxima distancia el movimiento aparente en longitud es menor que el medio. Por consiguiente encontramos el movimiento aparente en longitud como de 17;13,21º, [que es] el intervalo establecido anteriormente.

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Notas de referencia

  1. De los movimientos medios diarios tomados para 2 lugares sexagesimales (Libro IX Capítulo 4), 3;6,24 / 0;59,8 = 3;9,7,54 ≈ 3;9,8.
  2. 34;56,12 / 3;9,8 es incluso de 11;4,59 (con precisión de dos lugares).
  3. Para Mercurio en la Tabla de la Anomalía, para un argumento de 6º le corresponde una ecuación de 17', y para 12º, 32'. Por lo tanto para un incremento de 6º le corresponde un incremento de 15', o, para 1º, 2 ½'. No tengo una explicación para tal discrepancia.
  4. La distancia en el apogeo es de 69p; por consiguiente Ptolomeo asume que la distancia en una ubicación dada es menor que 24'. Para seg. κ = 11 ½º, la distancia (ρ) es de hecho de 68;37p. Esta es alrededor de 68;36p para seg. κ = 11;40º.
  5. Ptolomeo ha cometido aquí un considerable error de cálculo: el arco de la cuerda de 116;31,36p debería ser alrededor de 152;22º.
  6. Señalado por Heiberg y Manitius, 76;13,58 - 43;15,32 de hecho es igual a 32;58,26. Aunque el número erróneo de Ptolomeo esta confirmado por los siguientes cálculos y por H500,23. No vale la pena señalar que Ptolomeo ha utilizado el arco correcto de la cuerda de 116;31,36p (cf. nota de referencia anterior), él podría haber encontrado el ^ ΘAG ≈ 76;11º y el ^ ZAH ≈ 32;55º, que están muy próximos al texto, aunque aún no en perfecto acuerdo.
  7. Cf. Libro XII Capítulo 2, nota de referencia nro. 16. Cálculo: 32;52,26º * 1 / 3;11,28 ≈ 10;18º, para lo cuál le corresponde una ecuación de 0;28º [precisamente 0;27,45º]. [Cálculo:] 32;52,26º - 0;28º = 32;24,26º, que es dividido por 3;9,8 y da 10;16,51º. [Finamente:] 10;16,51 - 0;28º = 9;48,51º.
  8. De la Tabla de la Anomalía para Mercurio puede ser observado que 1 ½' es un arreglo entre los dos valores derivados a ambos lados del perigeo: para seg. = 108º le corresponde una ecuación de 2;56º, y para seg. κ = 111º, 2;53º. Aquí, entonces, un incremento de 1º produce 1'. Para seg. κ = 129º y 132º uno encuentra 2;24º y 2;18º respectivamente, y por consiguiente, para un incremento de 1º, 2'.
  9. Cf. nota de referencia nro. 4 (en este capítulo). Aquí, para una distancia de 11 ½º en movimiento medio desde el "perigeo" (en seg. κ = 120º), uno encuentra, para seg. κ = 131 ½º, ρ = 55;41,58p (texto 55;42p). No obstante, sobre el otro lado del perigeo para seg. κ = 108 ½º, ρ = 55;45,50p.
  10. Cf. Libro XII Capítulo 2, nota de referencia nro. 16. Cálculo: 35;30,15º * 1 / 3;7,38 = 11;21,11º, para lo cual le corresponde una ecuación de 18' [de hecho 11;21,11º] antes [que] el perigeo llegue a una ecuación de +15', y 11;21,11º después de él para -23', por ej. 18' es, nuevamente, un arreglo]. [Cálculo:] 35;30,15º + 0;18º = 35;48,15°, que dividido por 3;9,8 da 11;21,30º. [Finalmente:] 11;21,30º + 0;18º = 11;39,30º.
  11. No hay necesidad de asumir, con Neugebauer (nota en Manitius, en la edición revisada, p. 301) que el siguiente pasaje en la antigüedad ha sido desplazado (traspuesto) desde su lugar correcto en el Libro XII Capítulo 4. Porque el método se aplica a todos los planetas, no justamente para Marte. Se da bastante a menudo la manera de Ptolomeo de adjuntar una explicación o justificación de un método en particular en un apéndice al final de su tratado general. Cf. a mitad del Libro V Capítulo 19 y al final del Libro VI Capítulo 4.
  12. Ver Fig. R. El planeta esta en oposición (P) cuando el epiciclo esta en el apogeo, y en la segunda [posición] estacionaria (S) cuando el epiciclo esta en el centrum medio seg. κ desde el apogeo. Entonces "el arco aparente del (movimiento sobre) el epiciclo es XS, y "el movimiento medio sobre el epiciclo" (que difiere de él por la ecuación c) es ZS.
  13. Precisamente 21;6,8º.
  14. Precisamente 3;46,15º.
  15. Precisamente 20;58,15º.