Almagesto: Libro VI - Capítulo 10

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{Determinación de los Eclipses Solares}

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La correcta predicción de los eclipses Lunares puede ser meramente lograda según lo anterior, si los cálculos son precisamente llevados a cabo por el camino descrito. Sin embargo, los eclipses solares, con los que nos encargaremos próximamente, son mas complicados de predecir debido a la Paralaje Lunar. Haremos ello de la siguiente manera.

Determinamos el número de horas equinocciales por el cual el instante de la Sizigia Verdadera precede o continúa al mediodía en Alejandría.

Entonces, si la posición geográfica en cuestión, [por ej.] aquella la del lugar requerido, es diferente [de esa], por ej. si esta no se ubica por debajo del mismo Meridiano como el de Alejandría, sumamos o sustraemos la diferencia en longitud entre los dos meridianos, expresados en horas equinocciales, y [por lo tanto] decidir cuántas varias horas antes o después del mediodía la sizigia verdadera también ocurre en aquel lugar. Luego determinamos, primero, el tiempo de la sizigia aparente (que será aproximadamente la misma como en el eclipse medio) en el lugar geográfico requerido, aplicando el método de cálculo de las paralajes que explicamos previamente (Libro V Capítulo 19) [de la siguiente manera].

Entramos en la Tabla de los Ángulos y de los Arcos y en la Tabla de las Paralajes, utilizando [como argumentos] la latitud apropiada, la distancia en horas desde el meridiano, punto sobre la eclíptica donde la conjunción ocurrió, y también la distancia de la Luna. Por lo tanto encontramos, primero, la paralaje de la Luna a lo largo del gran círculo dibujado a través del Cenit y del centro de la Luna. Siempre sustraemos de ella esta paralaje solar que esta sobre la misma línea, y con el resultado determinamos, por el camino indicado, el componente de la paralaje en longitud por sí mismo, que es calculado por medio del ángulo que encontramos [en la tabla] entre la Eclíptica y el gran círculo a través del cenit. Siempre sumamos a esta [paralaje longitudinal] el incremento de la "Epiparalaje" [(diferencia entre la primera y la segunda paralaje)] correspondiente al número de horas equinocciales representadas por la paralaje longitudinal. Esta epiparalaje esta determinada de la siguiente manera.

Tomamos la diferencia (determinada desde la misma tabla) entre la paralaje correspondiente a la Distancia Cenital original y la paralaje correspondiente a la distancia cenital después del paso del número de horas equinocciales [representadas por la paralaje longitudinal]. Tomamos el componente longitudinal de esta por sí misma, más una cantidad adicional (si esta es significante) que es la misma fracción de la última como última la es de la paralaje [longitudinal] original. [2].

Para la paralaje total en longitud, calculada por este camino, le adicionamos la 1/12 ma. parte de sí misma, para tener en cuenta el movimiento adicional del Sol, y convertir el total a horas equinocciales dividiéndolo por el movimiento horario verdadero de la Luna en la Conjunción. Si la paralaje longitudinal que encontramos está hacia atrás [por ej. del orden] de los signos (lo explicamos previamente en el Libro V Capítulo 19 Fig. 5.16 como determinar esto), sustraemos la cantidad en grados que hemos convertido en horas equinocciales desde la posición de la Luna, como determinamos previamente, en el momento de la conjunción verdadera, en longitud, en latitud y en anomalía (cada una separadamente): esto nos da las posiciones verdaderas [correspondientes] de la Luna en el momento de la conjunción aparente, mientras el número de horas por sí mismo [resultantes de los cálculos anteriores] nos dice por cuanto la conjunción aparente precede a la verdadera. Pero si la paralaje longitudinal que encontramos esta hacia adelante [por ej. en el orden inverso] de los signos, contrariamente, sumamos la cantidad en grados a la posición, como la determinada previamente, en el momento de la conjunción verdadera, en longitud, en latitud y en anomalía (cada una separadamente); y el número de horas nos dará la cantidad por la cuál la conjunción aparente es posterior a la verdadera.

A continuación, utilizando los mismos métodos, determinaremos la distancia en horas equinocciales de la conjunción aparente desde el meridiano, primero, que la paralaje de la Luna esta medida a lo largo del gran círculo a través de la Luna y del cenit. Del resultado sustraemos la paralaje solar para el mismo argumento, y utilizamos este resultado para determinar, como antes, (por medio del ángulo formado entre los círculos [de la eclíptica y de altitud (altura)] en ese momento), la paralaje latitudinal [por ej. la paralaje] a lo largo de un círculo ortogonal a la eclíptica. Convertimos el resultado en una distancia a lo largo del círculo inclinado [de la Luna], por ej. lo multiplicamos por 12 [3]. Si el efecto de la paralaje latitudinal es hacia el Norte con respecto de la eclíptica, adicionamos el resultado a la posición verdadera en [el argumento de] la latitud determinada previamente en el momento de la conjunción aparente cuando la Luna esta cerca del nodo ascendente, sino lo sustraemos cuando la Luna esta cerca del nodo descendente. Contrariamente, si el efecto de la paralaje latitudinal es hacia el Sur con respecto de la eclíptica, sustraemos la distancia derivada de la paralaje desde la posición previamente determinada en [el argumento de] la latitud en el momento de la conjunción aparente, cuando la Luna esta cerca del nodo ascendente, pero la sumamos cuando la Luna esta cerca del nodo descendente.

De este modo obtenemos la cantidad del [argumento] de la latitud aparente en el momento de la conjunción aparente. Con esta como argumento, entramos en las Tablas de los Eclipses Solares, y si nuestro argumento cae dentro del rango de los números en la primera de las dos columnas, podemos decir que allí ocurrirá un eclipse solar, y que su mitad [eclipse medio] coincide aproximadamente con el momento definiendo la conjunción aparente. Entonces colocamos [escribimos] separadamente hacia abajo las cantidades de los dígitos [magnitudes] y de los minutos de inmersión y emersión (egreso) correspondientes al argumento de la latitud, derivado desde cada una de las dos tablas, luego entrar, con la distancia de la Luna en anomalía desde el apogeo (del Epiciclo) en la conjunción aparente, dentro de la Tabla de Corrección, tomamos el número correspondiente de minutos, y tomamos la fracción correspondiente de la diferencia entre cada [par de] resultados que escribimos hacia abajo. En cada caso adicionamos el resultado al número derivado de la primera tabla. Los dígitos encontrados por este procedimiento nos da, nuevamente, la cantidad, en duodécimas partes del diámetro del Sol, lo que aproximadamente será oscurecido en el eclipse medio. Incrementamos los minutos del recorrido [encontrado por este procedimiento] para ambos [tramos, por ej. el de inmersión y el de emersión] por 1/12 ma. parte, para tener en cuenta el movimiento adicional del Sol, y convertimos el resultado dentro de horas equinocciales [dividiéndolo] por el movimiento [horario] verdadero de la Luna. Por lo tanto tenemos la longitud de ambas inmersiones y emersiones (egresos); esto es, no obstante, sobre la asunción que el [cambio en] la paralaje no tiene un efecto sobre esos intervalos de tiempo.

De hecho ahora hay una desigualdad notable en estos intervalos, debido, no al movimiento anomalístico de las luminarias [4], sino a la paralaje de la Luna. El efecto de esto es hacer que cada uno de los dos intervalos [el de inmersión y el de emersión], separadamente, sean siempre mayores que la cantidad derivada por el método anterior, y, generalmente, desiguales entre sí. No obviaremos tomar esto en cuenta, incluso si este [efecto] es pequeño. Este fenómeno se debe al hecho que el efecto de la paralaje en el movimiento aparente de la Luna sea siempre generar la apariencia del movimiento que podría ser hacia adelante (si uno tuviera que pasar por alto el movimiento propio de la Luna hacia atrás). Supongamos, primero, que la posición aparente de la Luna esta antes [por ej. al Este] del meridiano: entonces, como ésta va saliendo gradualmente más alto (por encima del Horizonte), su paralaje hacia el Este continuamente llega a ser más pequeña con respecto al momento precedente, y por lo tanto su movimiento hacia atrás parece más lento. O supongamos, segundo, que su posición aparente esta después [por ej. hacia el Oeste del] meridiano: entonces, nuevamente, ésta descendiente gradualmente [hacia el horizonte], su paralaje hacia el Oeste continuamente llega a ser más grande con respecto [de aquellas] en el momento precedente, y por lo tanto, como antes, su movimiento hacia atrás parece más lento. Por esta razón los intervalos en cuestión son siempre mayores que aquellos derivados por el simple procedimiento descrito. Además, la diferencia entre las paralajes sucesivas [en intervalos iguales de tiempo] llega a ser mayores a medida que uno se acerca al meridiano: por consiguiente aquellos intervalos [de inmersión y emersión] los cuales están mas cerca del meridiano necesariamente deben llegan a ser mas extendidos. Por esta razón, la única situación en la cual el tiempo de la inmersión es aproximadamente igual al tiempo de emersión es cuando el eclipse medio ocurre precisamente al mediodía, para entonces la apariencia del movimiento hacia adelante resultante de la paralaje es alrededor de la misma a ambos lados [del eclipse medio]. Pero cuando el eclipse medio ocurre antes del mediodía, entonces el intervalo de la emersión esta mas cerca del meridiano y [por lo tanto] mayor, mientras que si el eclipse medio ocurre después del mediodía, entonces el intervalo de inmersión esta mas cerca del meridiano y es mas extenso.

Entonces con el fin de corregir los intervalos de tiempo para este efecto, [primero] determinamos, por el camino explicado, la longitud no corregida de cada uno de los intervalos en cuestión, y la distancia cenital en el eclipse medio. Supongamos, por ejemplo, que cada intervalo es de una hora equinoccial, y la distancia cenital es de 75°. En la Tabla de las Paralajes (V 18) buscamos los minutos de la paralaje correspondiente al argumento de 75° (por ej. la máxima distancia de la Luna, para lo cuál uno toma las entradas en la tercera columna). Encontramos [entonces] 52', correspondientes a los 75º. Dado que, por hipótesis, los intervalos de tiempo de ambas inmersión y emersión, en la media, es de 1 hora equinoccial, o de 15 grados de tiempo, sustraemos esos 15° de los 75° de la distancia cenital, y encontramos los minutos de la paralaje en la misma columna correspondiente al resultado 60°, [a saber], 47'. Por lo tanto el desplazamiento hacia adelante resultante de la paralaje en la posición (promedio) [5] más cercana al meridiano llega a los 5'. También sumamos los [15°] a los 75°, y encontramos los minutos de la paralaje total correspondiente a los 90° resultantes en la misma columna, [siendo de] 53 ½'. Por lo tanto el desplazamiento hacia adelante resultante de [la paralaje] en la posición más cercana al horizonte es de 1 ½'. Tomamos los componentes longitudinales de esos incrementos que hemos encontrado, y los convertimos [separadamente] cada uno dentro de una fracción de una hora equinoccial por medio del movimiento verdadero de la Luna, [ya] descrito, y luego sumamos cada resultado al intervalo medio apropiado, calculado simplemente, de la inmersión y de la emersión; esto es, adicionamos el mayor al intervalo limitado por la posición mas cercana al meridiano, y el menor al intervalo limitado por la posición mas cercana al horizonte. Es obvio que la diferencia entre los dos intervalos en el ejemplo de arriba es de 3 ½', o alrededor de 1/9 na. [parte] de una hora equinoccial, que es el tiempo tomado por la Luna en el movimiento medio en atravesar esta distancia [6].

Solo queda realizar la tarea fácil, si deseamos, de convertir el tiempo de las Horas Equinocciales de cada intervalo dentro de las Horas de Estación particularmente [según la latitud y la fecha dada], por [medio] del método explicado en la parte inicial de nuestro tratado (Libro II Capítulo 9).

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Notas de referencia

  1. Ver Cálculos, Ejemplo 12.
  2. Por ej. supongamos la paralaje longitudinal original sea l₁: esto nos da una corrección al tiempo de la conjunción (según el método de cálculo que vemos debajo), y por lo tanto una nueva distancia cenital, que conducirá a una nueva paralaje longitudinal l₂. La regla de Ptolomeo es: l₂ - l₁ = e. Entonces la "epiparalaje" e' está dada por e' = e + e * (e / l₁), y la paralaje longitudinal final por l = l₁ + e' = l₁ + (l₂ - l₁) + (l₂ - l₁)² / l₁.
  3. De la práctica inicial de Ptolomeo (por ej. en el Libro VI Capítulo 5 nota de referencia nro. 26) uno puede esperar '11 ½', y de hecho se encuentra en la tradición Árabe (en los manuscritos Q y Ger). Sin embargo, la tosca aproximación para 1 / Seno 5° es casi insignificante cuando uno considera que la paralaje latitudinal suele ser pequeña.
  4. Por ej. el hecho de que la velocidad verdadera de ambos, del Sol y de la Luna, no se mantienen constantes sobre el curso del eclipse. cf. al final del Libro VI Capítulo 9.
  5. . Si no hay una interpolación, esto debe significar, tomando la posición obtenida aplicando los 15° del movimiento de los cielos en 1 hora directamente a la distancia cenital. De hecho [estos] 15° es el máximo cambio posible en la distancia cenital en 1 hora equinoccial. Cf. nota de referencia siguiente.
  6. Aquí el procedimiento de Ptolomeo es, por decir poco, muy tosco. En cambio del cálculo de las presentes distancias cenitales de los cuerpos en el comienzo y al final del eclipse, simplemente aplica los 15° del movimiento de una hora de los cielos a la distancia cenital en el eclipse medio. Encontrando la paralaje total desde la distancia cenital, la aplica como si esta fuera la paralaje longitudinal. El procedimiento es quizás explicable ilustrando el máximo efecto posible de este factor: el eclipse solar más largo posible es de alrededor de 2 horas; para tomar la máxima diferencia paraláctica entre los dos intervalos tenemos que tomar la distancia cenital tan grande como sea posible. Permitiendo los 15° de movimiento horario (cf. nota de referencia anterior), los 75° es la máxima distancia cenital que permite que todo el Eclipse sea visible. La paralaje total es el máximo valor posible de la paralaje longitudinal. Para ser consistente, no obstante, Ptolomeo debería haber tomado la Luna en su mínima distancia (para lo cual la diferencia entre las paralajes es mayor), por ej. col. 3 + col. 4 en la Tabla de la Paralaje. Esto podría haberle dado correcciones de 6' y 2', con una diferencia de 4' (aún solamente con ⅛ ava. parte de una hora).