Almagesto: Libro IV - Capítulo 05

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{Que en la Hipótesis simple de la Luna, los mismos fenómenos también son producidos por ambas Hipótesis, la de la Excéntrica y la del Epiciclo}

[1]

Nuestra próxima tarea es demostrar el tipo y tamaño de la Anomalía de la Luna. Por el momento la trataremos como si fuera una sola e invariable [2]. Es evidente que esta anomalía, a saber, la que tiene un período correspondiente al período de una revolución arriba [descrito], es la única la cual nuestros predecesores (casi todos ellos) la han tratado. Más tarde, no obstante, demostraremos que la Luna también tiene una segunda Anomalía, vinculada con su distancia desde el Sol; esta [segunda anomalía] alcanza una máxima revolución cerca de ambas Medias Lunas [Crecientes y Menguantes], y va a través de su período de revolución dos veces en un mes, precisamente [siendo cero] en la conjunción y en la oposición [3] [(Sizigia)]. Adoptamos este orden de procedimientos en nuestra demostración porque que es imposible determinar la segunda [anomalía] aparte de la primera, que está siempre combinada con ella, mientras la primera puede ser hallada aparte de la segunda, dado que ésta está determinada desde los eclipses lunares, en los que no hay un efecto perceptible de la anomalía conectada con [la distancia desde] Sol.

En esta primera parte de nuestras demostraciones utilizaremos los métodos para establecer el teorema que, como vemos, Hiparco utilizó antes que nosotros [4]. También nosotros, utilizando tres eclipses lunares, derivaremos la diferencia máxima desde el movimiento medio y desde la época de la [posición de la Luna] en el apogeo, sobre la suposición de que solamente esta [primera] anomalía es tomada en cuenta, y que es producida por la Hipótesis del Epiciclo. Es válido que el mismo fenómeno resultará de la Hipótesis de la Excéntrica, pero esto último lo hallaremos más cómodamente para representar la segunda anomalía, que está ligada con la del Sol, cuando comencemos a combinar ambas anomalías. Sin embargo en todos los casos el mismo fenómeno resultará de ambas hipótesis que hemos descrito, sí, como en la situación descrita para el Sol, el período de una revolución en anomalía y el período de una revolución en la eclíptica [por ej. en longitud] son ambos iguales, o si, como en el caso de la Luna, ellas son distintas, siempre que solo las proporciones [del epiciclo con la deferente y de la excentricidad con la excéntrica] sean tomadas como idénticas. Podemos ver esto a partir de lo siguiente, en el que utilizamos para nuestro examen la anomalía simple de la Luna mencionada anteriormente.

Dado que la Luna completa su revolución con respecto a la eclíptica más temprano que su revolución referida a esta anomalía, es claro que, en la hipótesis del epiciclo, sobre un período de tiempo dado, el epiciclo atravesará [recorrerá] siempre un arco mayor [5] del círculo concéntrico a la eclíptica que el arco del epiciclo atravesado [recorrido] por la Luna en el mismo instante; [y] en la hipótesis de la excéntrica, el arco atravesado por la Luna sobre la excéntrica será similar al arco atravesado por ella sobre el epiciclo [en la hipótesis del epiciclo], mientras la excéntrica se moverá alrededor del centro de la eclíptica en la misma dirección como la Luna por una cantidad igual al incremento del movimiento en longitud sobre el movimiento en anomalía [en el mismo instante] (esto corresponde al incremento del arco de la deferente sobre el arco del epiciclo [en la hipótesis del epiciclo]). En este sentido podemos preservar la igualdad de los períodos de ambos movimientos [por ej. en longitud y en anomalía], tan bien como la igualdad de las proporciones, en ambas hipótesis.

Con lo anterior como base necesaria (como es obvio a partir de la lógica), sea ABG el círculo concéntrico [Fig. 4.1.] con la eclíptica, con centro en D y diámetro AD, y sea EZ el epiciclo con centro en G. Supongamos que cuando el epiciclo estuvo en A, la Luna estuvo en E, el apogeo del epiciclo, y que en el mismo tiempo que el epiciclo ha atravesado el arco AG, la Luna ha atravesado el arco EZ. Unir ED, GZ.

Fig. 4.1
Fig. 4.1

Entonces, dado que arco AG > arco EZ,
cortar el arco BG || arco EZ, y unir BD.

Entonces es claro que, en el mismo tiempo, la excéntrica se habrá movido a través del ^ ADB, que representa la diferencia entre los dos movimientos, y su centro y apogeo se ubicarán a lo largo de la línea BD.

Siendo esto así, sea DH = GZ. Unir ZH, y con centro H y radio HZ dibujar la excéntrica ZΘ.

Y digo, que

ZH / HD = DG / GZ,

y que en esta hipótesis también la Luna estará en el punto Z, por ej.

arco ZΘ || arco EZ.

[Demostración:] Dado que el ^ BDG = ^ EGZ, GZ es paralela a DH.

Pero GZ = DH [por construcción].
Por lo tanto ZH también es igual y paralela a GD [6].
En consecuencia ZH / HD = DG / GZ.
Además, dado que DG es paralela a HZ,
^ GDB = ^ ZHΘ;
y, por hipótesis, ^ GDB = ^ EGZ.
Por lo tanto arco ZΘ || arco ^ EZ.

Por lo tanto la Luna ha alcanzado el punto Z en el mismo intervalo de acuerdo a ambas hipótesis, dado que la Luna por si misma ha atravesado el arco EZ sobre el epiciclo y el arco ΘZ sobre la excéntrica, que ha [sido] demostrado ser similar, mientras el centro del epiciclo se ha movido a través del arco AG, y el centro de la excéntrica a través del arco AB, que es el incremento del arco AG sobre el arco EZ.

Lo que se ha requerido para examinar.

Por otra parte, incluso si [los miembros de] las proporciones son distintos, y la excéntrica no es del mismo tamaño como el de la deferente, resultará el mismo fenómeno, siempre que las proporciones sean similares, como quedará claro a partir de lo siguiente.

Dibujar cada una de las hipótesis en una figura por separado. Sea ABG [Fig. 4.2] el círculo concéntrico a la eclíptica, con centro en D y diámetro AD, y el epiciclo EZ con centro en G. Sea la Luna en Z. Sea HΘK [Fig. 4.3] la excéntrica con centro en L y diámetro ΘLM, con centro M de la eclíptica. Sea la Luna en K. En la primer figura unir DGE, GZ, DZ, y en la segunda figura unir HM, KM, KL.

Sea DG / GE = ΘL / LM.

Supongamos que en el mismo tiempo el epiciclo se ha movido a través del ^ ADG, la Luna se ha movido nuevamente a través del ^ EGZ, la excéntrica a través del ^ HMΘ, y la Luna, nuevamente, a través del ^ ΘLK.

Por lo tanto, dado que las relaciones asumidas entre los movimientos,

Fig. 4.2
Fig. 4.2

^ EGZ = ^ ΘLK,
y ^ ADG = ^ HMΘ + ^ ΘLK.

Siendo esto así, digo que la Luna parecerá nuevamente haber atravesado [recorrido] un arco igual en el mismo tiempo de acuerdo a ambas hipótesis, por ej.

^ ADZ = ^ HMK

(dado que en el comienzo del intervalo de tiempo la Luna estuvo en el apogeo y se apareció [se ubicó] a lo largo de las líneas DA y MH, mientras que al final [del intervalo] esta estuvo en los puntos Z y K y apareció a lo largo de las líneas ZD y MK).

[Demostración:] Nuevamente sea el arco BG similar al arco ΘK (o al arco EZ). Unir BD.

Entonces, ya que DG / GZ = KL / LM, y los ángulos en G y L son iguales,

Fig. 4.3
Fig. 4.3

el Δ GDZ ||| Δ KLM (lados proporcionales sobre ángulos iguales), y los ángulos opuestos a los lados correspondientes son iguales.

En consecuencia ^ GZD = ^ LMK.
Pero ^ BDZ = ^ GZD,

Porque GZ es paralela a BD, dado que, por hipótesis, ^ ZGE = ^ BDG.

Por lo tanto ^ ZDB = ^ LMK.

Pero, por hipótesis, el ^ ADB, [que es] la diferencia entre los movimientos [en longitud y en anomalía] es igual al ^ HMΘ, [siendo] el movimiento del [centro de] la excéntrica. Por lo tanto, por adición,

^ ADZ = ^ KMH.

Lo que se ha requerido para examinar.

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Notas de referencia

  1. Ver Pedersen 166-7.
  2. Leer  (en los manuscritos B y D) en cambio de  (“como si esta fuera única”) en H294,6. En el manuscrito Ar se lee .
  3. Referencia al Libro V Capítulo 2, 3 y 4.
  4. Sobre la determinación de los parámetros lunares de Hiparco ver más adelante en el Libro IV Capítulo 11, Toomer [8] y Toomer [2].
  5. “un arco mayor”: literalmente “un arco mayor que uno similar [al arco]”.
  6. Euclides I 33: "líneas rectas uniendo líneas iguales y paralelas son así mismas iguales y paralelas".