Almagesto: Libro II - Capítulo 05

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{Como uno puede derivar las Longitudes de las Sombras de un gnomon (reloj de Sol) en los mediodías de los Equinoccios y de los Solsticios según las cantidades arriba mencionadas}

[1]

Las proporciones requeridas de las sombras en un gnomon [2] simplemente pueden ser halladas una vez que a uno le es dado el arco entre los solsticios y el arco entre el horizonte y el polo; esto puede ser demostrado de la siguiente manera.

[Ver la Fig. 2.3] Sea el círculo meridiano ABGD, con centro en E. Sea A tomado como cenit, y dibujar el diámetro AEG. Para ello dibujar GKZN en ángulos rectos sobre el plano del meridiano: claramente, éste será paralelo a la intersección del horizonte con el meridiano. Ahora, dado que la Tierra en su totalidad tiene, para los sentidos, el tamaño de un punto y es centro en la esfera del Sol, de modo que el centro E pueda ser considerado como el puntero [del estilo] del gnomon, [entonces] imaginemos GE sea el [estilo del] gnomon, y la línea GKZN sea la línea sobre la cual la sombra del puntero se ubica [(se proyecta)] al mediodía. Dibujar a través de E el rayo [de sombra] equinoccial del mediodía y los [dos] rayos [de sombra] de los solsticios al mediodía: sea BEDZ que representa el rayo [de sombra] equinoccial, HEΘK el rayo [de sombra] del solsticio de verano, y LEMN el rayo [de sombra] del solsticio de invierno. En consecuencia GK será la sombra en el solsticio de verano, GZ la sombra del equinoccio, y GN la sombra en el solsticio de invierno.

Fig. 2.3
Fig. 2.3

Luego, dado que el arco GD, que es igual a la elevación del polo Norte desde el Horizonte, de 36º (Rodas), en la latitud en cuestión (donde el meridiano ABG es de 360º), y ambos arcos el ΘD y el arco DM son de 23;51,20º, por sustracción el arco GΘ = 12;8,40º, y por adición el arco GM = 59;51,20º.

Por lo tanto los ángulos correspondientes

^ KEG = 12;8,40º donde 4 ángulos rectos = 360º
^ SEG = 36º donde 4 ángulos rectos = 360º
^ NEG = 59;51,20º donde 4 ángulos rectos = 360º

y

^ KEG = 24;17,20ºº donde 2 ángulos rectos = 360ºº
^ ZEG = 72ºº donde 2 ángulos rectos = 360ºº
^ NEG = 119;42,40ºº donde 2 ángulos rectos = 360ºº

Por lo tanto los círculos alrededor de los triángulos rectángulos KEG, ZEG, NEG,

arco GK = 24;17,20º
y arco GE = 155;42,40º (suplementario),
arco GZ = 72º
y arco GE = 108º, similarmente [como suplementario],
arco GN = 119;42,40º
y arco GE = 60;17,20º (nuevamente como suplementario).

Por lo tanto donde Cuerda arco GK = 25;14,43p, Cuerda arco GE = 117;18,51p,
y donde Cuerda arco GZ = 70;32,4p [3], Cuerda arco GE = 97;4,56p,
y donde Cuerda arco GN = 103;46,16p, Cuerda arco GE = 60;15,42p.

Por lo tanto, el [estilo del] gnomon GE tiene 60^p, en las mismas unidades,

la sombra [del solsticio] de verano, GK ≈ 12;55p, la sombra del equinoccio, GZ ≈ 43;36p, y la sombra [del solsticio] de invierno, GN ≈ 103;20p.

Inmediatamente esta claro que es posible el proceso contrario. Es decir, dadas solamente dos de las tres proporciones anteriores del gnomon GE sobre la sombra dada, son determinados la elevación del polo y los arcos entre los solsticios. Porque si son dados algunos de los dos ángulos en E, entonces se dará el tercero, dado que los arcos ΘD y DM son iguales. Sin embargo, en lo que respecta a la precisión de la observación, las cantidades anteriores [de la elevación del polo y de 2ε] pueden ser exactamente determinadas por el camino que [ya] explicamos; aunque las proporciones de las sombras del gnomon en cuestión no pueden ser determinadas con igual precisión, dado que los instantes de los Equinoccios son, propiamente dicho, algo indeterminados, y la sombra del puntero en el Solsticio de invierno es difícil de discernir.[4]

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Notas de referencia

  1. Ver Pedersen 105-6.
  2. Ir hacia atrás, referencia [3] en el Libro II Capítulo 1. Son las sombras en los mediodías de los Equinoccios y de los Solsticios.
  3. La Tabla de las Cuerdas da, para 72º = 70;32,3p (erróneamente cambiado a 70;32,4p por Heiberg sobre la base de este pasaje). Todos los manuscritos (incluyendo el de tradición árabe, excepto el de Gerardo de Cremona, que tiene 3) tienen 4 como aquí. Probablemente la inconsistencia sea anterior a Ptolomeo. Esto no tiene efecto sobre el resultado final. Cf. Libro II Capítulo 7, Fig. 2.6.
  4. Ver Relojes de Sol para su diseño y construcción.