Almagesto: Libro II - Capítulo 03

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{Como encontrar la Altura del Polo, y viceversa, si las mismas cantidades son dadas}

Sea [nuestro] próximo problema, dada nuevamente la misma cantidad [por ej. la longitud del día más largo], encontrar la elevación del polo, esto es el arco BZ del meridiano [en la Fig. 2.1]. Ahora, en la misma figura,

Cuerda arco 2 * EΘ / Cuerda arco 2 * ΘA = (Cuerda arco 2 * EH / Cuerda arco 2 * HB) * ( Cuerda arco 2 * BZ / Cuerda arco 2 * ZA). [M.T.II] Configuración de Menelao.

Pero arco 2 * EΘ = 37;30º,
entonces Cuerda arco 2 * EΘ = 38;34,22p,
y arco 2 * ΘA = 142;30º,
entonces Cuerda arco 2 * ΘA = 113;37,54p.
Además arco 2 * EH = 60º,
entonces Cuerda arco 2 * EH = 60p,
y arco 2 * HB = 120º,
entonces Cuerda arco 2 * HB = 103;55,23p.

en consecuencia

Cuerda arco 2 * BZ / Cuerda arco 2 * ZA = (38;34,22 / 113;37,54) / (60 / 103;55,23) ≈ 70;33 / 120.

Y nuevamente, Cuerda arco 2 * ZA = 120p,
entonces Cuerda arco 2 * BZ = 70;33p.
en consecuencia arco 2 * BZ = 72;1º
y arco BZ ≈ 36º.

Para hacerlo [de manera] contraria, sea BZ nuevamente en la misma figura [Fig. 2.1], sea dado el arco de la elevación del polo, habiendo sido observado de 36º (Rodas). Sea el problema hallar la diferencia entre el día más corto o el más largo con el día equinoccial, por ej. el arco 2 * EΘ.

Ahora, desde las mismas consideraciones,

Cuerda arco 2 * ZB / Cuerda arco 2 * BA = (Cuerda arco 2 * ZH / Cuerda arco 2 * HΘ) * (Cuerda arco 2 * ΘE / Cuerda arco 2 * EA). [M.T.II] Configuración de Menelao.

Pero arco 2 * ZB = 72º
entonces Cuerda arco 2 * ZB = 70;32,3p,
y arcos 2 * BA = 108º,
entonces Cuerda arco 2 * BA = 97;4,56p.
Además arco 2 * ZH = 132;17,20º, entonces Cuerda arco 2 * ZH = 109;44,53p,
y arco 2 * HΘ = 47;42,40º,
entonces Cuerda arco 2 * HΘ = 48;31,55p.

en consecuencia

Cuerda arco 2 * ΘE / Cuerda arco 2 * EA = (70;32,3 / 97;4,56) / (109;44,53 / 48;31,55)

= 31;11,23 / 97;4,56
≈ 38;34 / 120.
Pero Cuerda arco 2 * EA = 120p,
por lo tanto Cuerda arco 2 * EΘ = 38;34p.
en consecuencia Cuerda arco 2 * EΘ ≈ 37;30º, o 2 ½ horas equinocciales [1].

Lo que se ha requerido para examinar.

Del mismo modo el arco EH del horizonte puede ser determinado. Para

Cuerda arco 2 * ZA / Cuerda arco 2 * AB = (Cuerda arco 2 * ZΘ / Cuerda arco 2 * ΘH) * (Cuerda arco 2 * HE / Cuerda arco 2 * EB), [M.T.I] Configuración de Menelao,

y (Cuerda arco 2 * ZA / Cuerda arco 2 * AB) es una proporción dada,
y entonces (Cuerda arco 2 * ZΘ / Cuerda 2 * ΘH),

entonces, ya que el arco EB es dado, entonces es la cantidad del arco EH.

Es obvio si suponemos que H esté, en cambio de la ubicación del Solsticio de invierno, en algún otro grado de la eclíptica, por un razonamiento similar ambos arcos EΘ y EH serán dados, dado que ya hemos establecido, en la “Tabla de la Inclinación (de la Eclíptica)”, el arco del meridiano intersecado entre la Eclíptica y el Ecuador para cada grado de la eclíptica: éste arco [2] corresponde al HΘ [en Fig. 2.1].

Inmediatamente continúa que esos puntos sobre la eclíptica cortada por el mismo círculo paralelo, por ej. los puntos equidistantes desde el mismo solsticio, cortan arcos del horizonte [entre la Eclíptica y el Ecuador] que son iguales y sobre el mismo lado del Ecuador. También estos hacen [que] la longitud del día [sea] igual a la de aquel día [en el punto correspondiente], y la longitud de la noche [sea] igual a la de aquella noche [correspondiente].

Del mismo modo sigue que los puntos sobre [la eclíptica] cortan por igual círculos paralelos, esto es puntos equidistantes desde el mismo equinoccio, arcos cortados del horizonte que son iguales, pero sobre lados opuestos del Ecuador. Estos hacen también que la longitud del día sea igual a la longitud de la noche en el punto opuesto [correspondiente], y la longitud de la noche sea igual a aquella del día [correspondiente].

En la figura ya dibujada [ver Fig. 2.1], ponemos K como el punto en donde el círculo paralelo es igual a la paralela a través de H que corta el semicírculo BED del horizonte; dibujamos los arcos HL y KM de los círculos paralelos: estos serán, claramente, iguales y opuestos. Dibujamos a través de K y del polo Norte el cuadrante [del gran círculo] NKX. Luego

arco ΘA = arco XG (arco ΘA // arco LH, y arco XG // arco MK).

Por lo tanto

arco EΘ = arco EX (complementarios [del arco ΘA y arco XG]).

Luego, en los dos triángulos esféricos similares [3] EHΘ y EKX tenemos dos pares de lados iguales correspondientes, EΘ a EX, y HΘ a KX [4], y ambos ángulos Θ y X son rectos, entonces la base EH es igual a la base KE.

Fig. 2.2
Fig. 2.2
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Notas de referencia

  1. Para lograr este hermoso resultado ha habido un redondeo selectivo en diferentes etapas de este cálculo. Un cálculo preciso del arco 2 * E podría dar (al minuto más cercano) 37;29º.
  2. Leer  (en el manuscrito D) en cambio de  en H95,18, y  (en los manuscritos D y L, adoptado por Manitius), en cambio de  en H95,22.
  3. La palabra que Ptolomeo utiliza para “triángulo esférico”, , fue utilizada [previamente] por Menelao, de acuerdo con Papo Synagoge VI 2, Hultsch p. 476, 16-7.
  4. El arco HΘ = arco KX dado que ellos son las declinaciones de los puntos equidistantes desde un Equinoccio.