Los fundamentos de la teoría de la gravitación de Einstein/III

III

Referente al cumplimiento de ambos postulados.

Una ley física se expresa en lenguaje matemático por medio de una fórmula. Esta abarca y reemplaza, por una ecuación, el resultado de un conjunto de medidas que reproducirían la marcha del fenómeno numéricamente. Entonces nosotros no sólo aplicamos tales fórmulas, si disponemos de medios para comprobar el resultado de los cálculos con medidas reales, sino también sólo con que las medidas se consideren posibles, aunque no las podamos realizar. Así, por ejemplo, cuando se habla de la distancia de la Luna a la Tierra y se la expresa en metros, como si fuese realmente factible medirla por colocación sucesiva de la unidad metro.

Con este medio auxiliar del Análisis hemos extendido el dominio de la investigación exacta más allá de las medidas realmente accesibles en la práctica, tanto por encima de los límites de las cantidades inaccesibles por su gran magnitud como por debajo de las inaccesibles por su pequeñez. En una tal fórmula para la explicación de un fenómeno, aparecen ahora símbolos para aquellas cantidades que, en cierta manera, son los elementos fundamentales de las medidas, con cuyo auxilio nosotros intentamos comprender el fenómeno; por lo tanto, por ejemplo, en todas las medidas de espacio, símbolos para la longitud de una barra, el volumen de un cubo, etc. En la formación de estos elementos fundamentales de las medidas de espacio, nos guiaba hasta ahora el concepto de cuerpo rígido que podía moverse libremente sin que alteraran las relaciones de sus dimensiones. Por colocación repetida de una unidad de medida rígida junto al cuerpo que se ha de medir, nos enteramos de sus relaciones de magnitud en el espacio. Esta noción de la unidad de medida ideal, rígida, libremente móvil, en la práctica sólo realizable hasta un cierto grado, a causa de toda clase de influencias perturbadoras, como, por ejemplo, de la dilatación por el calor, representa la noción fundamental de la Geometría métrica. La formación de las expresiones matemáticas que se han de introducir como símbolos para estos elementos fundamentales de las medidas, por ejemplo, longitud de una barra, volumen de un cubo, etc. (para abandonar luego, por decirlo así, al Análisis todas las responsabilidades de las consecuencias), es ahora un problema fundamental de la Física teórica y está en estrecha relación con los dos postulados de que nosotros hablamos al principio. Para verlo es preciso volver a los fundamentos de la Geometría y analizarlos desde los puntos de vista adoptados por Helmholtz en distintas Memorias y por Riemann en su trabajo de Habilitación (1854) «Sobre las hipótesis en que se funda la Geometría». Riemann indica casi proféticamente el camino que Einstein ha emprendido ahora.

a) El elemento lineal de la variedad-espacio de tres dimensiones expresado en forma compatible con ambos postulados.

Todo punto del espacio queda determinado sin ambigüedad por tres números x₁, x₂, x₃ que podemos asignarle como coordenadas, por ejemplo, de un sistema cartesiano rectangular; cuando variamos estos tres números de una manera continua, podemos ir especificando cada uno de los puntos del espacio. El sistema de puntos del espacio representa, según frase de Riemann, una «magnitud múltiplemente extensa» (Multiplicidad o Variedad), entre cuyos elementos individuales (Puntos), es posible una transición continua. Conocemos todavía otras variedades continuas, por ejemplo, el sistema de los colores, el sistema de los sonidos, etcétera. Es cualidad común a todas ellas que para fijar un elemento dentro de la variedad (un punto, un color, o un sonido determinado), es preciso determinar un cierto número característico de magnitudes, que constituye lo que se llama el número de dimensiones de la variedad de que se trate. Así, el espacio tiene «tres» dimensiones, la superficie «dos», la línea «una». El sistema de los colores es, por ejemplo, una variedad continua de «tres» dimensiones, correspondientes al número de «colores fundamentales», rojo, verde, violeta, por cuya mezcla se puede obtener cualquier color.

Pero aceptando la continuidad del paso de un elemento a otro dentro de una variedad y fijando su número de dimensiones, todavía nada se dice sobre la posibilidad de comparar entre sí partes limitadas de esta variedad, por ejemplo, dos sonidos o dos colores; es decir, nada todavía se ha dicho sobre las «relaciones de magnitud» en la variedad, por ejemplo, sobre la índole de las reglas con las cuales se pueden tomar medidas dentro de la variedad. Más bien, necesitamos para esto primeramente que la experiencia nos enseñe a conocer hechos con los cuales podamos establecer las leyes de medida válidas en las distintas condiciones físicas para la variedad de la cual nos ocupamos (puntos del espacio, colores, sonidos); estas leyes de medida podrán resultar distintas según y conforme qué hechos de experiencia para ello traigamos a colación⁶.

Para la variedad de los puntos del espacio la experiencia nos ha enseñado a conocer el hecho de que sistemas rígidos de puntos a distancia finita pueden moverse libremente en el espacio, sin que varíen su forma y sus dimensiones; y la noción de «congruencia», deducida de este hecho, ha sido un factor de capital importancia para una determinación de medidas⁷. Ella nos plantea el problema de formar, con los números x₁, x₂, x₃ e y₁, y₂, y₃ que corresponden a dos puntos determinados del espacio y que podemos imaginar como los extremos de una reglita rígida, una expresión matemática que se pueda considerar como medida de su distancia mutua, esto es, por lo tanto, como expresión de la longitud de la reglita, y se pueda introducir como tal en las fórmulas de las leyes físicas.

Ahora contienen las ecuaciones de las leyes físicas, si ellas (para cumplir la condición de continuidad) son leyes diferenciales, sólo las distancias ds de puntos infinitamente próximos, los llamados elementos lineales. Es preciso que preguntemos para ello si nuestros dos postulados influyen en la expresión analítica del elemento lineal ds y, en caso afirmativo, qué expresión es compatible con los dos. Riemann exige primero de un elemento lineal sólo que pueda ser comparado, en cuanto a su longitud, con otro cualquiera, independientemente de lugar y tiempo. Esta es una marca característica de la métrica del espacio y significa, prácticamente, la libre movilidad de las unidades de medida; en la variedad de los sonidos y en la de los colores, por ejemplo, no existe esta marca (véase nota 6). Riemann formula esta condición por medio de las siguientes palabras: «que las líneas deben poseer una longitud independiente de la posición y toda línea debe ser medible por otra». Luego él halla que, si designamos por x₁, x₂, x₃ y por x₁ + dx₁, x₂ + dx₂, x₃ + dx₃ dos puntos del espacio infinitamente próximos y los números variables continuamentex₁, x₂, x₃ originan cualquier correspondencia de números con los puntos del espacio (coordenadas), la raíz cuadrada de una función entera, homogénea, de segundo grado, constantemente positiva, de las diferenciales dx₁, dx₂, dx₃ posee todas las propiedades ⁸ que es preciso que tenga el elemento lineal como expresión de la longitud de una reglita rígida infinitamente pequeña. Se tendrá, por consiguiente, en la fórmula

$ds={\sqrt {g_{11}dx_{1}^{2}+g_{12}dx_{1}dx_{2}+\dots +g_{33}dx_{3}^{2}}}$,

en la cual los coeficientes g_μν son funciones continuas de las tres variables x₁, x₂, x₃ una expresión para el elemento lineal en el punto x₁, x₂, x₃.

En esta expresión no se hace ninguna hipótesis sobre la clase de coordenadas que están representadas por las tres variables x₁, x₂, x₃, por consiguiente, sobre propiedades métricas especiales de la variedad, que resultan de la condición de la libre movilidad de las unidades de medida. Pero si se exige especialmente que todo punto en la variedad pueda ser determinado por coordenadas cartesianas rectangulares x, y, z porque se hacen hipótesis particulares sobre la posibilidad de colocación de las unidades de medida, toma el elemento lineal, en estas variables especiales, la forma

$ds={\sqrt {dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}}}$.

Esta expresión de la longitud del elemento lineal ha sido, hasta ahora, siempre introducida en todas las leyes físicas; ella está contenida en la expresión general del elemento lineal ds de Riemann, como caso especial correspondiente a los valores $g_{\mu \nu }{\begin{cases}=1\ \mu =\nu \\=0\ \mu \neq \nu \end{cases}}$.

La reducción a esta forma especial del elemento lineal hace posible en todas las medidas de espacio la aplicación de las leyes de la Geometría métrica euclídea. Pero el admitir esta naturaleza métrica particular del espacio implica, como Helmholtz ha discutido con todo detalle, entre otras, la hipótesis de que sistemas rígidos finitos de puntos, por consiguiente, distancias rígidas finitas pueden moverse libremente en el espacio y coincidir, por superposición, con otros sistemas de puntos (congruentes). Con respecto al postulado de continuidad, parece esta hipótesis inconsecuente, en cuanto ella introduce implícitamente afirmaciones sobre distancias finitas, en pura ley diferencial, en la cual sólo aparecen elementos lineales; pero no está en contradicción con él.

Por otra parte, se dispone el postulado de la Relatividad de todos los movimientos para poder dar al elemento lineal la forma especial euclídea ^[1] y esto se efectúa fundándose en lo siguiente:

Según el principio de Relatividad de todos los movimientos es preciso que todos los sistemas de referencia que resultan unos de otros por movimientos relativos de los cuerpos puedan regir por completo como igualmente autorizados. Por consiguiente, es preciso que las leyes naturales conserven su forma al pasar de uno de tales sistemas a otro, esto es, las transformaciones de las variables x₁, x₂, x₃ que correspondan a dicho paso, no pueden variar la expresión analítica de la ley física considerada.

Esto conduce a establecer un principio de Relatividad que debe ser denominado en lo sucesivo principio de Relatividad general, el cual exige la invariancia de las leyes físicas con respecto a sustituciones arbitrarias de las cuatro variables. También el elemento lineal que aparece en ellas es preciso que conserve su forma por una transformación arbitraria de las variables. A esta condición se ajusta, en efecto, el elemento lineal

$ds={\sqrt {g_{11}dx_{1}^{2}+g_{12}dx_{1}dx_{2}+\dots +g_{33}dx_{3}^{2}}}$,

en el cual no se ha hecho ninguna clase de reserva restrictiva sobre la índole de la métrica del espacio, es decir, sobre lo que deben significar como coordenadas las variables x₁, x₂, x₃. El elemento lineal euclídeo

$ds={\sqrt {dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}}}$

conserva su forma solamente con respecto a las transformaciones de la teoría de la Relatividad especial, la cual se limita a sistemas que se mueven rectilínea y uniformemente. A consecuencia de esto es preciso que el elemento de arco se acomode a las ulteriores condiciones de una teoría de Relatividad general, de modo que conserve su forma con respecto a sustituciones arbitrarias. Pero esto conduce al elemento lineal de Riemann, no al euclídeo.

La elección de la expresión

$ds^{2}=\sum _{1}^{3}g_{\mu \nu }dx_{\mu }dx_{\nu }$

para el elemento lineal en las leyes físicas se ha de considerar, a pesar de su gran generalidad, sin embargo, como una hipótesis, como ya Riemann hizo notar. Pues también otras funciones de las diferenciales dx₁, dx₂, dx₃, por ejemplo, la raíz cuarta de una expresión diferencial homogénea de cuarto grado, podrían dar una medida para la longitud del elemento lineal ⁹. Pero no se presenta en la actualidad ningún motivo para abandonar la expresión general más sencilla del elemento lineal, es decir, la de segundo grado, y adoptar funciones más complicadas. En el marco de los dos postulados que nosotros imponemos a la explicación de los fenómenos físicos, ella cumple todas las exigencias. Sin embargo, nunca se puede olvidar que en la elección de la expresión analítica para el elemento lineal siempre hay encerrado algo hipotético y que es deber del físico darse cuenta, en todo tiempo, de este hecho, sin prejuicios. Riemann concluye, a propósito de esto, también su trabajo ^[2] con las siguientes proposiciones que ahora adquieren especial importancia:

«La cuestión de la validez de las hipótesis de la Geometría en los infinitamente pequeños se relaciona con la cuestión del fundamento interno de la métrica del espacio. En esta cuestión, que bien puede ser contada todavía en la teoría del espacio, viene a aplicarse la advertencia hecha anteriormente de que en una variedad discreta ¹⁰ el principio o carácter de sus relaciones métricas ya está contenido en la noción de esta variedad, pero en una continua es preciso que venga de otra parte. Por consiguiente, es necesario, o que la realidad que constituye el fundamento del espacio forme una variedad discreta, o que busquemos fuera el fundamento de sus relaciones métricas, en fuerzas de enlace que actúen en ella.

»La decisión de estas cuestiones sólo puede hallarse cuando se parte del concepto de los fenómenos acreditado hasta ahora por la experiencia, cuyos fundamentos puso Newton, y se va retocando éste paulatinamente a medida que lo requieren los hechos que por él no se pueden explicar; investigaciones como las aquí indicadas, que parten de nociones generales, pueden sólo servir para que este trabajo no sea estorbado por la excesiva limitación de los conceptos y el progreso en el conocimiento de las relaciones de las cosas no sea detenido por prejuicios tradicionales.

»Esto conduce al terreno de otra ciencia, la Física, en el cual la índole de la ocasión actual no nos permite entrar.»

Por lo tanto, según la idea de Riemann, vienen a decidirse estas cuestiones, si se parte del concepto de Newton acerca de los fenómenos y éste se va retocando paulatinamente a medida que lo requieren los hechos que hasta ahora no se pueden explicar por él. Esto es lo que Einstein ha hecho. Las «fuerzas de enlace» que Riemann indicaba nosotros las hallaremos de nuevo, en efecto, en la teoría de Einstein. Pues, como veremos en el capítulo V, la teoría de la Gravitación de Einstein se apoya en la idea de que las fuerzas de Gravitación son las «fuerzas de enlace», es decir, representan el «fundamento interno de las relaciones métricas» del espacio.

b) El elemento lineal de la variedad espacio-tiempo de cuatro dimensiones expresado en forma compatible con ambos postulados.

Las relaciones métricas que debemos poner como fundamento al formular las leyes físicas se habrían podido tratar inmediatamente con respecto a la variedad de cuatro dimensiones espacio-tiempo. Pues la teoría de la Relatividad especial ha conducido al importante conocimiento de que la variedad espacio-tiempo posee las mismas relaciones métricas en sus cuatro dimensiones. Me gusta, sin embargo, tratar separadamente la medida del tiempo, por una parte, porque justamente este resultado de la Teoría de la Relatividad ha encontrado en los partidarios de la Mécanica clásica la mayor oposición, y por otra, porque también la Mecánica clásica es preciso que llegue a fijar conceptos acerca de la medida del tiempo, pero nunca en este asunto ha llegado a un completo acuerdo. Las dificultades con las cuales la Mécanica clásica ha de luchar están ya escondidas en sus primeras nociones fundamentales. Especialmente la ley de inercia dió siempre ocasión a la crítica de los fundamentos de la Mécanica, y puesto que también los fundamentos de la medida del tiempo habían sido puestos en estrecha relación con dicha ley, estas críticas afectaban siempre también a los fundamentos de la medida del tiempo.

En esta ley de la inercia que dice: Un cuerpo no sometido a influencias exteriores se mueve con velocidad constante siguiendo una trayectoria rectilínea: hace falta determinar dos elementos esenciales, la referencia del movimiento a un sistema de coordenadas determinado y una medida determinada del tiempo; sin medida del tiempo no se puede hablar de una velocidad constante, es decir, de movimiento uniforme.

Según una idea propuesta por C. Neumann se ha empleado la misma ley de inercia para dar una definición de la medida del tiempo, formulándola así ¹¹: «Dos puntos materiales, de los cuales cada uno se abandona a sí mismo, se mueven de tal manera que, a longitudes iguales de trayectoria recorridas por uno de ellos, corresponden siempre longitudes iguales de trayectoria del otro». Fundándonos en este principio, en el cual la medida del tiempo no entra explícitamente, nosotros podemos «definir intervalos iguales de tiempo como aquéllos, dentro de los cuales un punto abandonado a sí mismo recorre longitudes iguales de trayectoria».

Han adoptado también este punto de vista en investigaciones posteriores sobre la ley de inercia, por ejemplo, L. Lange y H. Seeliger. También Maxwell (en «Matter and Motion», «Materia y Movimiento») ha escogido esta definición. En cambio, especialmente H. Streintz ¹² (siguiendo a Poisson y d'Alembert) ha exigido desligar la medida del tiempo de la ley de inercia, puesto que las hipótesis en que radica el concepto de tiempo tenían un fundamento más profundo y general que el principio de inercia. Según su opinión, todo fenómeno físico, que se puede repetir realmente en condiciones idénticas, puede servir para fijar una unidad de medida del tiempo, puesto que todo fenómeno idéntico es preciso que reclame igual duración; de otro modo quedaría excluída toda descripción legítima de los fenómenos físicos. En efecto, en este principio se funda el reloj; él conduce a un observador, por lo menos para su lugar de observación, a una medida del tiempo. En cambio, relacionando la medida del tiempo con la ley de inercia, se tiene, a la verdad, una definición de transcursos iguales de tiempo, libre de dificultades, pero la medida de longitudes iguales de trayectoria recorridas por un cuerpo que se mueve uniformemente, y con ello la fijación de una unidad de tiempo, sólo es entonces físicamente posible para un lugar de observación si el observador y el cuerpo están en constante relación, por ejemplo, por medio de señales luminosas. Y no se está autorizado, sin ulteriores hipótesis, para suponer que dos observadores que se consideran en traslación uniforme el uno con respecto al otro, y que, por consiguiente, son equivalentes según la ley de inercia, lleguen de esta manera, utilizando el mismo cuerpo móvil, a idénticas medidas del tiempo. La idea de Poisson hacía posible, por consiguiente, en un mismo lugar dado de observación, una medida satisfactoria del tiempo, en cierto modo, la construcción de un reloj, pero de ninguna manera tocaba la cuestión de las relaciones de los tiempos de distintos lugares de observación entre sí; en cambio, la idea de Neumann propone justamente esta cuestión, sobre la cual ha habido tantas discusiones, desde que Einstein estableció el principio de Relatividad.

Por la aspiración de reducir la Mecánica clásica al menor número posible de principios, sin contradicción unos con otros, se recurrió a construcciones ideales y experimentos imaginarios. Con esto no se llegó a la conjetura de que el estado de movimiento del observador podía influir en la fijación de una unidad de tiempo, fundándose en la ley de inercia, por lo tanto, en la medida de una longitud (porción de trayectoria). Se admitió que los datos obtenidos por las observaciones necesarias para establecer una simultaneidad y la evaluación de la longitud de una porción de trayectoria tenían una significación absoluta enteramente independiente de las condiciones de observación. Sin embargo, no ocurre así, como Einstein ha demostrado. Antes bien, justamente este nuevo conocimiento de la Relatividad del tiempo y de las medidas de longitud ha formado su punto de partida para establecer el principio de Relatividad especial ¹³. Ella es una consecuencia necesaria de la significación universal de la velocidad de la luz, de la cual nosotros hablamos en el capítulo I. Su conocimiento nos ha suministrado primeramente las ecuaciones exactas de transformación para relacionar entre sí las medidas de espacio-tiempo en sistemas que se mueven el uno con respecto al otro rectilínea y uniformemente, con lo cual se llega a la idea de Neumann de establecer una medida de tiempo por medio de la ley de inercia. Pero en las nuevas ecuaciones de transformación no es idénticamente t' = t, sino

$t'={\frac {t-{\frac {v}{c^{2}}}x}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}$.

Las medidas del tiempo en el segundo sistema que está en movimiento relativamente al primero dependen esencialmente, por lo tanto, de la velocidad v de uno de los dos sistemas con respecto al otro. A consecuencia de esto, establecer una medida de tiempo fundándose en la ley de inercia, como propuso Neumann, no conduce, de ningún modo, al resultado de que las medidas del tiempo sean enteramente independientes del estado de movimiento de los sistemas que se mueven uno con respecto a otro, como se supone en la Mecánica clásica. Sólo las investigaciones de Einstein referentes a la teoría de la Relatividad especial, han puesto enteramente en claro los principios hipotéticos de nuestras medidas del tiempo, y por esto han llenado un vacío sensible de la Mecánica clásica.

Que ciertamente sólo hasta después de tantos años se hayan reconocido estos defectos en las hipótesis sobre las medidas del tiempo, se explica por el hecho de que incluso las velocidades que aparecen en Astronomía son tan pequeñas en comparación con la de la luz, que no se podían presentar, entre las observaciones y la teoría, discrepancias que llamaran la atención. A consecuencia de esto no se manifestaron sensiblemente los puntos débiles de la teoría, hasta que el estudio de los movimientos de los electrones, en los cuales aparecen velocidades del orden de magnitud de la velocidad de la luz, demostró que la teoría existente era inadmisible.

De las particularidades que se deducen de la Relatividad de las medidas de espacio-tiempo, se ha hablado tanto en los últimos años, que muchas veces sólo se lee lo mismo repetido. De las consideraciones de este capítulo es esencial la idea a la cual se llega, de que espacio y tiempo representan una variedad única de cuatro dimensiones con relaciones de medida únicas ¹⁴. Por efecto de esto se han de aplicar, a manera de consecuencia, las reflexiones del párrafo precedente a), sobre las relaciones métricas de una variedad, a la variedad de cuatro dimensiones espacio-tiempo, y en atención a los dos postulados fundamentales—de continuidad y de relatividad—se ha de poner, cuando se adopta el tiempo como cuarta dimensión, para el elemento lineal, la expresión

$ds^{2}=g_{11}dx_{1}^{2}+g_{12}dx_{1}dx_{2}+\dots +g_{34}dx_{3}dx_{4}+g_{44}dx_{4}^{2}$,

en la cual las $g_{\mu \nu }\ (\mu ,\nu =1,2,3,4)$ son funciones de las variables x₁, x₂, x₃, x₄

A tomar esta posición mucho más general con respecto a las cuestiones de las leyes de medida en las fórmulas físicas nos ha conducido, hasta ahora, sólo la necesidad de no introducir desde el principio, para formular las leyes físicas, más hipótesis que las compatibles con los dos postulados y procurar admitir las ideas a las cuales ha conducido la teoría de la Relatividad especial. Resumiendo, podemos decir: la suposición de la validez de las relaciones de medida euclídeas es ciertamente compatible con el postulado de continuidad, si bien aparecen en ella hipótesis especiales restrictivas que no era necesario hacer. Pero el segundo postulado: reducción de todos los movimientos a movimientos relativos nos obliga a abandonar dicha métrica euclídea (página 35). Una descripción de las dificultades todavía subsistentes en la Mecánica, hará aún más comprensible la necesidad de este paso.

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1. En rigor yo necesitaría aquí dejar sentado que las anteriores reflexiones claramente son válidas también al generalizarlas a la variedad de cuatro dimensiones espacio-tiempo, en la cual suceden, en realidad, todos los fenómenos y refiriéndose las transformaciones entonces a las cuatro variables. Sin embargo, en las reflexiones generales expuestas, el prescindir de la cuarta dimensión nada significa. Esto se razonará en el párrafo 3 b).
2. B. Riemann: Über die Hypothesen, welche der Geometrie zugrunde liegen. Sobre las hipótesis en que se funda la Geometría. Nuevamente redactado y aclarado por H. Weyl. Berlín, Casa editorial de Julius Springcr, 1919.