Los fundamentos de la teoría de la gravitación de Einstein/Notas

APÉNDICE

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Nota 1 (pág. 10). Acerca de la cuestión de si un movimiento del manantial de luz se hace sensible en la velocidad de propagación de la misma, mientras no se conocía la significación universal de la velocidad de la luz, había dos hipótesis posibles. O se podía suponer que la velocidad del foco luminoso se añade a la velocidad con que se propaga la luz cuando procede de un manantial en reposo, o se podía suponer que el movimiento del foco luminoso no tiene influencia alguna en la velocidad de propagación de la luz que de él sale. En este segundo caso, uno se imaginaba que el foco luminoso sólo provoca los estados que cambian periódicamente, a partir del reposo, en el llamado éter luminoso, que no participa del movimiento de la materia (manantial de luz), y que estos estados se propagan entonces con una velocidad característica del éter, observable para nosotros como onda luminosa. Este concepto, en esencia, había predominado en definitiva. Sólo la teoría de la Relatividad especial y la hipótesis de los quanta han hecho esta idea imposible. La teoría de la Relatividad especial, haciendo perder a la expresión «el éter luminoso en reposo» su significado, toda vez que se puede definir a discreción todo sistema como en reposo en el éter luminoso (dentro del marco de las traslaciones uniformes), y quitando al éter luminoso su existencia, les quitó a las ondas luminosas el vehículo. Y la hipótesis de los quanta, elevando los quanta de luz a la categoría de individuos independientes, quitó a la velocidad de la luz el carácter de una constante característica del éter luminoso. La idea de los quanta de luz conduce, por consiguiente, de nuevo, a una especie de teoría de emisión de la luz. En una teoría de emisión, según la Mecánica clásica, la velocidad del foco luminoso se tenía que añadir a la velocidad de la luz procedente del manantial en reposo. Nosotros volvemos, por lo tanto, a la primera hipótesis antes citada. Ahora era preciso dar lugar a una tal superposición de velocidades en los notables fenómenos de las estrellas dobles espectroscópicas (de Sitter-Phys. Zeitschrift, 14, 429). Pues si se mueven dos estrellas en trayectorias circulares Keplerianas, una alrededor de otra, y se coloca nuestra visual en el plano común de las trayectorias, debíamos nosotros observar lo siguiente: Si es 2T la duración de la revolución del sistema, u la velocidad de una de las dos componentes (la más brillante) en su trayectoria, Δ la distancia del sistema total a la Tierra y, finalmente, c la velocidad de la luz en el vacío, procedente de un manantial luminoso en reposo, la velocidad de la luz en la época de máxima velocidad positiva en la dirección de la visual sería c + u y en la de mínima c - u. A consecuencia de esto, el intervalo de tiempo entre dos de estas épocas consecutivas, para el observador terrestre, tomaría alternativamente los valores

$T+{\frac {2u\Delta }{c^{2}}}$ y  $T-{\frac {2u\Delta }{c^{2}}}$,

como un sencillo cálculo demuestra. Puesto que a la distancia colosal de las estrellas, el término ${\tfrac {2u\Delta }{c^{2}}}$ puede ser tan grande, que hasta llegue a ser mayor que T, debíamos poder observar en las estrellas dobles espectroscópicas anomalías enteramente determinadas, pues era preciso que el intervalo de tiempo entre dos de dichas épocas de la trayectoria, pudiese reducirse a cero y llegar a ser negativo, y que nosotros no pudiésemos interpretar el efecto Doppler medido por simples fenómenos de movimiento en elipses Keplerianas. Pero estas anomalías nunca se presentan en la realidad. La experiencia enseña en estos objetos de prueba muy sensibles (las estrellas dobles espectroscópicas) que el movimiento del foco luminoso no se hace perceptible en el de la propagación de la luz. Con esto se ha hecho también insostenible la primera idea. Sólo la teoría de la Relatividad especial, con el postulado de la constancia de la velocidad de la luz y su nuevo teorema de adición de las velocidades, nos ha conducido a adoptar una posición en este asunto que no encierra en sí contradicción y es compatible con la experiencia (véase nota 2).

Nota 2 (pág. 15). Dos son esencialmente las experiencias de Óptica fundamentales, que sirven de base a la idea de la significación privilegiada de la velocidad de la luz en la Naturaleza: el experimento de Fizeau sobre la velocidad de la luz en el agua en movimiento, y el experimento de Michelson. La aberración, en cambio, no tiene nada que ver directamente con la cuestión de si se puede por experiencias ópticas de Laboratorio comprobar un movimiento de la Tierra relativamente al éter luminoso. La aberración de las estrellas solamente dice que el movimiento relativo de la Tierra, con respecto a la estrella considerada, varía periódicamente en el transcurso del año. Si nos colocamos en el punto de vista de que hay un éter luminoso que lo invade todo, vehículo de la propagación de la luz, para poder explicar satisfactoriamente el fenómeno de la aberración, se ha de suponer que este éter luminoso no participa del movimiento de la Tierra.

Ahora, el experimento de Fizeau debía decidir definitivamente la cuestión de si el movimiento de la materia influye en el éter luminoso y decirnos cuánto vale, para el observador en reposo, la velocidad de la luz en la materia en movimiento. El experimento, repetido, con las correcciones debidas, por Michelson y Morley, fué dispuesto de la siguiente manera: Un haz de luz de un foco luminoso terrestre penetra por ambos lados en un tubo en forma de U, por el cual circula agua. Los dos haces luminosos, después de haber atravesado el agua, el uno en el sentido de la corriente y el otro en el contrario, se hacen interferir. Por consiguiente, en una rama del tubo, la velocidad de la luz y la del agua están dirigidas en el mismo sentido, en la segunda rama en sentido contrario. Ahora, por de pronto, parece que hay dos cosas posibles: o el agua, circulando por el tubo con la velocidad v, arrastra el vehículo de la propagación de la luz, es decir, el éter luminoso; entonces la velocidad de la luz en una rama es ${\tfrac {c}{n}}+v$ y en la otra ${\tfrac {c}{n}}-v$ pues ${\tfrac {c}{n}}$ es, siendo n el índice de refracción del agua, la velocidad de la luz en el agua en reposo; o el movimiento del agua no tiene influencia alguna en el éter luminoso que propaga la luz; entonces sería en ambos lados la velocidad de la luz ${\tfrac {c}{n}}$.

Según cuál de estas dos hipótesis fuera la válida, era preciso que, al conmutar el sentido de la corriente del agua, las franjas de interferencia se corriesen o permaneciesen quietas. La experiencia no se decidió en favor de ninguna de las dos. Verdad es que se corrieron las franjas de interferencia, pero no la cantidad esperada, sino solamente como si el éter luminoso hubiese tomado en el agua la velocidad $v\left(1-{\tfrac {1}{n^{2}}}\right)$ y no el valor total v. A este valor $1-{\tfrac {1}{n^{2}}}$ se le llama coeficiente de arrastre de Fresnel. Sin embargo, esta designación es equivocada, por cuanto que en la Electrodinámica complicada de Lorentz, al interpretar el experimento de Fizeau, se habla justamente de un éter absoluto en reposo, y el llamado coeficiente de arrastre sólo es una consecuencia de la estructura de la materia, especialmente de la acción recíproca entre electrones y materia, sobre lo cual nosotros aquí no podemos entrar en más detalles. En todo caso, aparecían en el estadio de la Ciencia, antes del experimento de Michelson, la aberración y la experiencia de Fizeau, ambas favorables a la idea de hablar de un éter absoluto en reposo.

El experimento de Michelson debía ahora afirmar la existencia de la corriente de éter, a través de la cual la Tierra constantemente pasa, ya que el éter nunca toma parte en su movimiento. (Véase el esquema de este experimento en la pág. 84.)

Un rayo luminoso que sale de L recorre la distancia

$LP+PS_{1}+S_{1}P+PF$,

donde S₁ y S₂ son dos espejos, en los que el rayo incide normalmente; P, una lámina de vidrio que refleja una parte de la luz y refracta otra parte, y F, el anteojo del observador. Otro rayo luminoso recorre la distancia LP + PS₂ + S₂P + PF. Sea aquí PS₁ = PS₂ = l; además, FS₁ está en la dirección del movimiento de la Tierra. Se supone que el éter luminoso no participa del movimiento de la Tierra; sea q el valor de la velocidad de la Tierra. Entonces la velocidad relativa de la luz con respecto al instrumento (Tierra) es,

En la dirección

$\left\{{\begin{aligned}&PS_{1}=c-q;\ {\text{y el tiempo invertido por la luz}}&{\frac {l}{c-q}}\\&S_{1}P=c+q;\ {\text{y el tiempo invertido por la luz}}&{\frac {l}{c+q}}\\&\left.{\begin{aligned}PS_{2}={\sqrt {c^{2}-q^{2}}};\ {\text{y el tiempo invertido por la luz}}\\S_{2}P={\sqrt {c^{2}-q^{2}}};\ {\text{y el tiempo invertido por la luz}}\end{aligned}}\right\}&{\frac {l}{\sqrt {c^{2}-q^{2}}}}\end{aligned}}\right.$

A consecuencia de esto, la distancia PS₁ + S₁P es recorrida en el tiempo

$t_{1}=l\left({\frac {1}{c-q}}+{\frac {1}{c+1}}\right)={\frac {2l}{c}}\left(1+{\frac {q^{2}}{c^{2}}}\right)$

y PS₂ + S₂P en el tiempo

$t_{2}={\frac {2l}{\sqrt {c^{2}-q^{2}}}}={\frac {2l}{c}}\left(1+{\frac {1}{2}}{\frac {q^{2}}{c^{2}}}\right)$

. La diferencia embre ambos es $(t_{1}-t_{2})_{1}={\frac {l}{c}}\cdot {\tfrac {q^{2}}{c^{2}}}$.

Si se permutan S₁ y S₂, cuando se hace girar todo el aparato 90°, es $(t_{1}-t_{2})_{2}=-{\frac {l}{c}}\cdot {\tfrac {q^{2}}{c^{2}}}$.

Si se hacen interferir ambos rayos luminosos en F, era preciso que las rayas de interferencia se corrieran por la rotación de 90° del aparato. El valor de este corrimiento se puede fácilmente calcular. Si se designa por τ el período de vibración, correspondiente al rayo luminoso utilizado en el experimento, la longitud de onda es c ⋅ τ = λ. Entonces el corrimiento que era de esperar, dado en partes fraccionarías de la distancia entre las rayas, es igual a

${\frac {(t_{1}-t_{2})_{1}-(t_{1}-t_{2})_{2}}{\tau }}={\frac {2l}{\lambda }}\cdot {\frac {q^{2}}{c^{2}}}$.

Por repetidas reflexiones de la luz, fué 2l aumentado, de modo que ${\tfrac {2l}{\lambda }}$ se hizo del orden de magnitud de 10⁷; por ejemplo; si 2l = 30 m. = 30⋅10² cm., λ = 6⋅10^-5 cm. = la longitud de onda de la luz de sodio; es ${\tfrac {2l}{\lambda }}$ = 5⋅10⁷ centímetros; por otra parte, es ${\tfrac {q^{2}}{c^{2}}}$ del orden de magnitud $\left({\frac {30{\text{ km.}}}{300000{\text{ km.}}}}\right)^{2}$ o sea de 10^-8. El corrimiento esperado de 300000 km. / las rayas era preciso entonces que fuese de unas 0,56 de anchura de franja. Fué observado un valor del orden de magnitud de 0,02 de anchura de franja. Por lo tanto, no se hizo ópticamente perceptible la corriente de éter por efecto del movimiento de la Tierra. Por este medio, ya que el experimento fué realizado en distintas épocas del año, salió al encuentro de la objeción posible de que hubiese el movimiento de traslación de todo el sistema solar compensado eventualmente el movimiento de la Tierra en su trayectoria alrededor del Sol.

El experimento de Michelson ha demostrado en definitiva que, físicamente, no tiene sentido hablar de un espacio absoluto o de una traslación con relación al espacio absoluto, puesto que todos los sistemas que se mueven rectilínea y uniformemente, unos respecto a otros, son equivalentes para la descripción de los fenómenos físicos. Es, por lo tanto, cuestión de convenio considerar un sistema en reposo y otro en movimiento. A la velocidad de la luz se le puede atribuir, en todos los sistemas, el mismo valor. Una teoría concluyente de estos experimentos fundamentales se halla en todas las exposiciones detalladas de la teoría de la Relatividad especial. Yo menciono solamente el trabajo original de A. Einstein (Annalen der Physik Bd. 17, 1905, S. 891) y la «Introducción a la teoría de la Relatividad» del Dr. W. Bloch, de la colección «Aus Natur und Geisteswelt», Leipzig, 1918.

Nota 3 (pág. 16). Abandonar las transformaciones del principio de Relatividad de Newton y reemplazarlas por las llamadas transformaciones de Lorentz-Einstein significaba un paso de extraordinario alcance. Este se justificaba porque la nueva teoría de la Relatividad, que de él procedía, confirmaba fácilmente los resultados de todos los experimentos fundamentales de Óptica y Electrodinámica. En cuanto al experimento de Michelson, Lorentz, para explicar dentro de su Electrodinámica su resultado negativo, había necesitado establecer la hipótesis de que las dimensiones de todos los cuerpos se acortaban en la dirección de su movimiento. Pero ahora demostró Einstein que, dando una definición rigurosa de la noción de simultaneidad, teniendo en cuenta el postulado de la constancia de la velocidad de la luz, las empíricamente halladas transformaciones de Lorentz resultan ahora ser necesariamente las ecuaciones de transformación que deben relacionar entre sí las coordenadas de dos sistemas que se mueven uno con respecto a otro rectilínea y uniformemente. Y como consecuencia inmediata de estas transformaciones resulta, sin más hipótesis, aquella contracción de las longitudes que Lorentz había ideado para la interpretación del experimento de Michelson. Pero esta contracción de una longitud l, en la dirección de su movimiento, hasta $l{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}$, es, dentro de la nueva teoría, expresión del hecho general, de que las dimensiones de un cuerpo sólo tienen una significación relativa, esto es, en cuanto a su valor, dependen del estado de movimiento del observador. Esto rige, tanto en la extensión (espacio) como también en la duración (tiempo) de las cosas. Desde el punto de vista del nuevo principio de Relatividad, el resultado negativo del experimento de Michelson era cosa evidente. ¿Pero cómo quedaba con los otros hechos fundamentales de la Óptica y Electrodinámica? Ahora el resultado del experimento de Fizeau sobre la velocidad de la luz en el agua en movimiento llegó a ser como piedra de toque de la Cinemática deducida de las nuevas fórmulas. Según las transformaciones de Lorentz, no se añaden sencillamente las dos velocidades q y v, por ejemplo, de dos locomotoras que se encuentran, de modo que q + v sea la velocidad relativa de ambas una con respecto a otra; antes bien hallará cada uno de los maquinistas como velocidad de su marcha relativa, según las nuevas fórmulas, el valor

${\frac {q+v}{1+{\frac {q\cdot v}{c^{2}}}}}$.

Este es el teorema de la adición de las velocidades en la nueva teoría; él suministra inmediatamente, como velocidad de la luz en el agua en movimiento, la cantidad observada según el experimento de Fizeau. Lo mismo resultan sin dificultad la aberración y el efecto Doppler en su verdadera magnitud. Una discusión detallada de estas cuestiones se halla en toda exposición de la teoría de la Relatividad «especial» (véanse datos bibliográficos en la nota 2).

Nota 4 (pág. 19). Ph. Frank y H. Rothe, Ann. d. Phys, 4ª serie, tomo 34, pág. 825.

Las hipótesis para las ecuaciones generales de transformación, por las cuales dos sistemas S y S', que se mueven uno con respecto a otro rectilínea y uniformemente con la velocidad q, se relacionan entre sí, son:

1. Las ecuaciones de transformación forman un grupo lineal homogéneo con el parámetro variable q, es decir, por lo tanto, el resultado de dos ecuaciones de transformación sucesivas, de las cuales la una refiere el sistema S a S' y la segunda S' a S'' (S debe tener, con respecto a S', la velocidad constante q, S' respecto a S'' la velocidad constante q'), conduce de nuevo a una ecuación de transformación de igual forma que la que tienen las ecuaciones de partida; el parámetro q'' que aparece en la nueva ecuación depende de una manera determinada de q' y q.
2. Las contracciones de las longitudes dependen sólo del valor del parámetro q. Es preciso, naturalmente, contar, desde el principio, con la posibilidad de que la longitud de una barra medida desde el sistema en reposo resulte distinta de la medida en el sistema móvil. La condición 2 exige ahora que, si se manifiestan contracciones (es decir, variaciones de las longitudes, en estas distintas maneras de determinación), éstas deben depender, en cuanto al valor, sólo de la magnitud de la velocidad relativa de ambos sistemas y no de la dirección de su movimiento en el espacio. Esta condición da, por consiguiente, al espacio la propiedad de la isotropía, y corresponde próximamente a aquella condición del capítulo III a) de que todo elemento lineal pueda ser comparado, en cuanto a la longitud, con cualquier otro, independientemente del lugar y de la dirección.

Es esencial ver que en las dos hipótesis, 1 y 2, no se exige la constancia de la velocidad de la luz. Antes bien, la propiedad singular de una velocidad determinada, de conservar su valor en todos los sistemas deducidos unos de otros por tales transformaciones, es una consecuencia rigurosa de estas dos condiciones generales, y el resultado del experimento de Michelson es sólo la determinación del valor de esta velocidad singular, el cual, naturalmente, sólo podía ser obtenido por la experiencia.

Nota 5 (pág. 22). Einstein ha demostrado, en un ejemplo sencillo, que, fundándose en las fórmulas de la teoría de la Relatividad especial, un punto material, por emisión de energía, pierde en masa inerte.

Supongamos que un punto material emita, en una dirección, una onda luminosa de energía ${\tfrac {L}{2}}$, y en la dirección contraria, una onda luminosa de igual energía ${\tfrac {L}{2}}$. Entonces, en atención a la simetría del fenómeno de la radiación, el punto material permanecerá en reposo con respecto al sistema de referencia primitivamente elegido de coordenadas x, y, z, t. Sea E₀ la energía total del punto material referida a este sistema, en cambio sea H₀ la referida a un segundo sistema que se mueva relativamente al primero con la velocidad uniforme v. Nosotros queremos aplicar a este fenómeno el principio de la energía. Si son ν y A la frecuencia y la amplitud de la onda luminosa en el sistema de partida, ν', A', x', y', z', t' la frecuencia, la amplitud y las coordenadas en el segundo sistema móvil, además φ el ángulo formado por la normal a la onda y la recta de unión, punto material observador, el principio de Doppler da como frecuencia de la onda luminosa medida en el sistema móvil

$\nu '=\nu \cdot {\frac {1-{\frac {v}{c}}\cdot \cos {\varphi }}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}$.

Análogamente, las fórmulas de la teoría de la Relatividad especial dan como amplitud en el sistema móvil

$A'=A\cdot {\frac {1-{\frac {v}{c}}\cdot \cos {\varphi }}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}$.

Según la teoría de Maxwell, la energía de la onda luminosa, por unidad de volumen, es ${\tfrac {1}{8\pi }}\cdot A^{2}$. Nosotros queremos ahora también calcular la densidad de energía correspondiente con respecto al sistema móvil. Aquí es preciso que nosotros tengamos en cuenta que, a consecuencia de la contracción de las longitudes, según las fórmulas de transformación de Lorentz-Einstein, el volumen V de una esfera, en el sistema en reposo, se transforma en el de un elipsoide, medido desde el sistema móvil, y este volumen del elipsoide es

$V'=V\cdot {\frac {\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}{1-{\frac {v}{c}}\cos {\varphi }}}$.

Por consiguiente, las densidades de energía en el sistema acentuado y en el no-acentuado están, una con respecto a la otra, en la relación

${\frac {L'}{L}}={\frac {{\frac {1}{8\pi }}\cdot A'^{2}\cdot V'}{{\frac {1}{8\pi }}\cdot A^{2}\cdot V}}={\frac {1-{\frac {v}{c}}\cos {\varphi }}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}$.

Si llamamos ahora E₁ a la cantidad de energía del punto material después de la emisión de la onda luminosa, H₁ a la magnitud correspondiente referida al sistema móvil, se tiene

$E_{1}=E_{0}-\left[{\frac {L}{2}}+{\frac {L}{2}}\right]\$ ó $\ E_{0}=E_{1}+\left[{\frac {L}{2}}+{\frac {L}{2}}\right]$,

en cambio

$H_{0}=H_{1}+\left[{\frac {L}{2}}{\frac {1-{\frac {v}{c}}\cos {\varphi }}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}+{\frac {L}{2}}{\frac {1+{\frac {v}{c}}\cos {\varphi }}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}\right]$.

aquí se obtiene inmediatamente

$[H_{0}-E_{0}]-[H_{1}-E_{1}]=L\left[{\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}-1\right]$.

¿Qué expresa ahora esta ecuación?

Toda vez que H y E son los valores de la energía del mismo punto material, una vez referido a un sistema, con respecto al cual el punto material se mueve y en segundo lugar referido a un sistema en el cual está en reposo, es preciso que la diferencia H ⋅ E sea igual, prescindiendo de una constante aditiva, a la energía cinética del punto material, referida al sistema móvil. Por consiguiente, nosotros podemos escribir

$H_{0}-E_{0}=K_{0}+C,\quad H_{1}-E_{1}=K_{1}+C$;

aquí C significa una constante, la cual no varía durante la emisión de luz del punto material, puesto que, por la simetría del fenómeno, el punto material permanece en reposo con respecto al sistema de partida. Nosotros llegamos con esto a la relación

$K_{0}-K_{1}=L\left[{\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}-1\right]={\frac {1}{2}}{\frac {L}{c^{2}}}\cdot v^{2}\dots$

Interpretada esta ecuación dice lo siguiente: Puesto que el punto material, por emisión de luz, irradia la energía L, baja su energía cinética, referida a un sistema móvil, de K₀ al valor K₁, correspondiendo a una pérdida en masa inerte, cuyo valor es ${\tfrac {L}{c^{2}}}$; pues, según la Mecánica clásica, la expresión ${\tfrac {1}{2}}m\cdot v^{2}$, donde m es la masa inerte del cuerpo observado, mide la energía cinética de este cuerpo referida a un sistema con respecto al cual él se mueve con la velocidad v. Por lo tanto, ha de regir, como masa inerte de una cantidad de energía L, el valor ${\tfrac {L}{c^{2}}}$.

Nota 6 (pág. 31). Que para todo par de puntos en el espacio exista una misma relación cuantitativa, a saber, la distancia mutua, y que, con auxilio de esta relación, todo par de puntos pueda ser comparado con otro cualquiera, es el sello característico que distingue el espacio de las restantes variedades continuas conocidas. Nosotros medimos la distancia entre dos puntos situados en el suelo y la distancia entre dos puntos colocados verticalmente, uno encima de otro, en la pared de la habitación, con la misma unidad de medida, que podemos poner arbitrariamente en cualquier dirección. Por esto podemos comparar la distancia mutua del par de puntos en el suelo con la distancia mutua de cualquier otro par de puntos en la pared.

En el sistema de los sonidos, al contrario, las relaciones referentes a esto son enteramente distintas. El sistema de los sonidos representa una variedad de dos dimensiones, si se determina cada sonido, en conjunto, por su altura y su intensidad. Si embargo, no es posible comparar la «distancia» de dos sonidos de igual altura pero distinta intensidad (análogos a los dos puntos en el suelo), con la «distancia» de dos sonidos de distinta altura pero de igual intensidad (análogos a los dos puntos en la pared). Las relaciones métricas son, por lo tanto, en esta variedad, enteramente distintas.

También, en el sistema de los colores, tienen las relaciones métricas su carácter especial. La variedad de los colores tiene igual número de dimensiones que el espacio, puesto que todo color puede ser obtenido por mezcla de los tres «colores fundamentales». Pero entre dos colores arbitrarios no existe ninguna relación que corresponda a la distancia de dos puntos del espacio. Solamente, si se deduce por mezcla de dos colores, un tercero, se llega a una ecuación entre estos tres colores semejante a aquélla que enlaza a tres puntos del espacio que están en línea recta.

Estos ejemplos, sacados de las Memorias de Helmholtz, demuestran que las relaciones métricas de una variedad continua no vienen ya dadas al definirla como tal variedad y fijar su número de dimensiones. Una variedad continua es, en general, susceptible de distintas relaciones métricas. Sólo por la experiencia se pueden deducir las leyes métricas que rigen en una variedad particular. El hecho de experiencia de que las dimensiones de los cuerpos son independientes de su posición especial y de su movimiento condujo a las leyes de la Geometría euclídea, donde la congruencia es el factor decisivo en la comparación de distintas porciones del espacio. Helmholtz ha tratado hasta la saciedad, en diversos trabajos, estas cuestiones.

Bibliografía: Riemann, Über die Hypothesen, welche der Geometrie zugrunde liegen. Sobre las hipótesis en que se funda la Geometría (1854). Nuevamente redactado y aclarado por H. Weyl. Berlín, 1919.

Helmholtz, Über die tatsächlichen Grundlagen der Geometrie. Sobre los verdaderos fundamentos de la Geometría. Trabajos científicos de este autor, tomo 2, pág. 610.

Helmholtz, Über die Tatsachen, welche der Geometrie zugrunde liegen. Sobre los hechos en que se funda la Geometría. Trabajos científicos, tomo 2, pág. 618.

Helmholtz, Über den Ursprung und die Bedeutung der geometrischen Axiome, Vorträge und Reden. Sobre el origen y la significación de los axiomas geométricos. Explicaciones y conversaciones, tomo 2, pág. 1.

Nota 7 (pág. 32). La condición de la libre movilidad de cuerpos rígidos finitos se puede explicar, con la mayor claridad, en el dominio de dos dimensiones. Si imaginamos dibujado, en una esfera y en un plano, un triángulo, en la primera limitado por arcos de circunferencia máxima y en el plano por líneas rectas, se pueden correr estos triángulos arbitraria, mente a lo largo de las dos superficies y se los puede hacer coincidir con otros, sin que por ello varíen las longitudes de los lados ni los ángulos. Esto es posible, como Gauss ha demostrado, porque la curvatura, en todos los lugares de la esfera (o plano), tiene el mismo valor. Y, sin embargo, la Geometría de la esfera es distinta de la del plano, puesto que estas dos configuraciones no se pueden desarrollar la una sobre la otra, sin rasgarse (véase nota 27). Pero en las dos pueden moverse libremente las figuras planimétricas y, a consecuencia de esto, rigen, en ambas, teoremas de congruencia. Si, en vez de esto, determinásemos, en cualquier superficie ovalada, un triángulo por medio de las tres líneas más cortas que unan tres puntos en ella, hallaríamos que, en distintos lugares de esta superficie, se pueden verdaderamente construir triángulos con lados de longitudes respectivamente iguales, pero éstos no formarían los mismos ángulos que los lados correspondientes del triángulo inicial y, a consecuencia de esto, tales triángulos no serían congruentes. Por lo tanto, en una superficie ovalada las figuras no se pueden correr sin alteración de sus dimensiones, y por el estudio de sus relaciones geométricas no se llega a los teoremas conocidos de congruencia. Consideraciones totalmente análogas se pueden establecer en tres y cuatro dimensiones; pero naturalmente no disponemos, en estos casos, de representaciones adecuadas. Si nosotros exigimos que en el espacio los cuerpos deban poderse mover libremente, sin alteración de sus dimensiones, es preciso que la curvatura del espacio sea igual en todas partes. La noción de curvatura de una variedad de más de dos dimensiones se puede, para ello, formular matemáticamente con rigor; el nombre solamente indica su significación análoga a la noción de curvatura de una superficie. También en tres dimensiones se pueden distinguir diversos casos como los de la esfera o del plano en dos dimensiones. La esfera corresponde a un espacio no-euclídeo de curvatura constante positiva, el plano al espacio euclídeo de curvatura nula. En los dos espacios los cuerpos se pueden mover libremente sin alteración de sus dimensiones; pero el espacio euclídeo es, al mismo tiempo, infinitamente extenso, mientras que el espacio «esférico» es ciertamente ilimitado, como la superficie de la esfera, pero no es infinitamente extenso. Estas cuestiones se hallan expuestas magistralmente y con detalle en la conocida Memoria de Helmholtz «Sobre el origen y la significación de los axiomas geométricos». (Explicaciones y conversaciones, tomo 2, pág. 1.

Nota 8 (pág. 33). Las propiedades, que es preciso que tenga la expresión analítica de la longitud del elemento lineal, se pueden ver de la siguiente manera:

En cualquier variedad continua, por ejemplo, una superficie, pueden los números x₁, x₂ designar cualquier punto. Luego se da, al mismo tiempo, un cierto entorno alrededor del punto, el cual contiene puramente puntos de la superficie. D. Hilbert ha definido rigurosamente, en sus «Grundlagen der Geometrie» (Fundamentos de la Geometría), pág. 177, la noción de magnitud múltiplemente extensa (variedad) sobre la base de la teoría de conjuntos. En esta definición, la noción de «entorno» de un punto da, al postulado de Riemann de la dependencia continua entre los elementos de la variedad, un concepto riguroso. Se puede ahora, saliendo del punto x₁, x₂ marchar continuamente dentro de su entorno y en todo lugar, por ejemplo, en un lugar x₁ + dx₁, x₂ + dx₂, preguntar por la «distancia» de este punto al punto inicial. La función que mide esta distancia dependerá de los valores x₁, x₂, dx₁, dx₂ y en todo punto intermedio del camino que nos ha conducido de x₁, x₂ al punto x₁ + dx₁, x₂ + dx₂ variará de una manera continua y podemos suponer que tome valores continuamente crecientes. En el punto x₁, x₂ mismo se anulará; para cualquier otro punto del entorno es preciso que sea positiva. Además es de esperar que en un punto intermedio, caracterizado por los números x₁ + dξ₁, x₂ + dξ₂ en que $d\xi _{1}={\tfrac {1}{2}}dx_{1},\ d\xi _{2}={\tfrac {1}{2}}dx_{2}$, la función buscada queha de medir la distancia tomará un valor que sea la mitad del correspondiente al punto x₁ + dx₁, x₂ + dx₂. Bajo estas hipótesis, la función buscada será homogénea y de 1.^er grado en las dx; su valor aparecerá entonces multiplicado por el factor en el cual se aumenten eventualmente las dx. Además, si todas las dx son nulas, ella también debe anularse, y si todas las dx cambian de signo, su valor siempre positivo no debe variar. Se comprende, sin más, que la función

$ds={\sqrt {g_{11}dx_{1}^{2}+g_{12}dx_{1}dx_{2}+g_{22}dx_{2}^{2}}}$

se ajusta a todas estas condiciones; pero no es en modo alguno la única función de esta clase.

Nota 9 (pág. 36). Pero, por ejemplo, la expresión de cuarto grado para el elemento lineal no permitiría ninguna interpretación geométrica de las fórmulas, como es posible con la expresión

$ds^{2}=g_{11}dx_{1}^{2}+g_{12}dx_{1}dx_{2}+\dots +g_{33}dx_{3}^{2}$,

que se puede considerar como una generalización del teorema de Pitágoras.

Nota 10 (pág. 37). Se dice que una variedad es discreta, cuando entre sus distintos elementos no es posible una transición continua, sino que todo elemento en cierta manera representa un individuo independiente. Son variedades discretas, por ejemplo, el conjunto de todos los números enteros, el de todos los planetas del sistema solar, etc.; en general, los llamados conjuntos numerables, en la teoría de conjuntos, son variedades discretas. En una variedad discreta las «medidas» se realizan sencillamente «contando» y no nos plantean ningún problema especial, puesto que todas las variedades de esta clase se someten a este mismo principio de medida. Cuando Riemann entonces continúa: «por lo tanto, es preciso, o que la realidad que constituye el fundamento del espacio forme una variedad discreta, o que se busque fuera el fundamento de sus relaciones métricas, en fuerzas de enlace que actúen en ella», él quiere con esto sólo indicar una posibilidad, la cual ciertamente en la actualidad es todavía remota, pero que, en principio, es preciso siempre dejarla de manifiesto. Justamente en estos últimos años se ha verificado realmente una alteración análoga en el concepto de otra variedad que en Física juega un gran papel, a saber, la «energía», y en este ejemplo se entenderá más fácilmente el sentir de de la indicación anterior.

Hasta hace pocos años, se consideraba la energía que un cuerpo emite por radiación como una magnitud continuamente variable y se procuraba por esto medir sus distintos valores por una sucesión de números variables continuamente. Sin embargo, las investigaciones de M. Planck han conducido a la idea de que esta energía se emite por quanta, y por esto la «medida» de su importe sale inmediatamente de un «recuento» de los quanta. La realidad que, según esto, constituye el fundamento de la energía de radiación sería, por lo tanto, una variedad discreta, no una continua. Si suponemos ahora que el concepto arraigase cada vez más, por una parte que todas las medidas del espacio se refiriesen sólo a distancias entre átomos de éter y, por otra parte, que éstas sólo pudiesen tomar determinados valores, todas las distancias en el espacio se obtendrían «contando» estos valores y habría de considerarse el espacio como una variedad discreta.

Nota 11 (pág. 39). C. Neumann, Über die Prinzipien der Galilei-Newtonschen Theorie. Sobre los principios de la teoría de Galileo-Newton. Leipzig, 1870, pág. 18.

Nota 12 (pág. 39). H. Streintz, Die physikalischen Grundlagen der Mechanik. Los fundamentos físicos de la Mecánica. Leipzig, 1883.

Nota 13 (pág. 41). A. Einstein, Annalen der Physik, 4.ª serie, tomo 17, pág. 891.

Nota 14 (pág. 43). Minkowski ha sido el primero en llamar especialmente la atención sobre esta consecuencia del principio de Relatividad especial.

Nota 15 (pág. 45). La denominación de «sistema de inercia» no se aplicaba primitivamente al sistema que Neumann asoció al cuerpo hipotético Alfa. Pero ahora se entiende, en general, por sistema de inercia un sistema de coordenadas rectilíneas, con respecto al cual, un punto material sometido sólo a su inercia se mueve rectilínea y uniformemente. Así como C. Neumann ideó, para formular la ley de inercia, el cuerpo Alfa como una creación absolutamente hipotética, investigaciones siguientes, especialmente las de L. Lange, obedecieron a la idea de que, fundándose en reflexiones cinemáticas rigurosas, podía deducirse un sistema de coordenadas que poseyese las propiedades de un tal sistema de inercia. Pero, como C. Neumann y J. Petzoldt han demostrado, estos desarrollos contenían hipótesis defectuosas y no daban a la ley de inercia fundamento mejor cimentado que el cuerpo Alfa introducido por Neumann. Por lo demás, un tal sistema de inercia está determinado por las líneas rectas que unen tres puntos materiales infinitamente distantes unos de otros, los cuales, por consiguiente, no ejercen entre sí influencias mutuas ni tampoco, por otra parte, están sometidos a fuerza alguna. Se ve por esta definición por qué en la Naturaleza no se hallará un sistema de inercia y por qué, a consecuencia de esto, nunca podrá ser formulada la ley de inercia de una manera científica satisfactoria.

Bibliografía: C. Neumann, Sobre los principios de la teoría de Galileo-Newton. Leipzig, 1870.

L. Lange, Ber. der Kgl. Sächs. Ges. d. Wis., math, phil. Klasse. Memorias de la Real Sociedad Científica de Sajonia, Sección Filosófico-Matemática, 1885.

L. Lange, Die Geschichte der Entwickelung des Bewegungsbegriffes. La historia del desarrollo de la noción de movimiento. Leipzig, 1886.

H. Seeliger, Ber. der Bayr. Akad. Memorias de la Academia de Baviera, 1906. Fascículo 1.°

C. Neumann, Ber. der. Kgl. Sächs. Ges. d. Wiss., math, phys. Klasse. Memorias de la Real Sociedad Científica de Sajonia, Sección Físico-Matemática, 1910, tomo 62, páginas 69 y 383.

J. Petzoldt, Ann. der Naturphilosophie, tomo 7.

Nota 16 (pág. 45). E. Mach, Die Mechanik in ihrer. Entwickelung. La Mecánica en su desarrollo. 4.ª edición, pág. 244.

Nota 17 (pág. 47). Los nuevos puntos de vista sobre la esencia de la inercia provienen del estudio de los fenómenos de radiación electro-magnética. La teoría de la Relatividad especial, por el teorema de la inercia de la energía, los ha incorporado orgánicamente a todo el edificio de la Física teórica. La dinámica de la radiación en el vacío, esto es, la dinámica de un espacio limitado por paredes sin masa y lleno de radiación electromagnética, enseñaba que un tal sistema opone a toda variación de movimiento una resistencia, como un cuerpo móvil pesado. El estudio de los electrones (cargas eléctricas libres), en estado de poderse mover libremente, por ejemplo, en un tubo de rayos catódicos, enseñaba análogamente que estas minúsculas partículas se portan como cuerpos inertes, pero su inercia no es consecuencia de materia, a la cual su carga estuviese ligada, sino de las acciones del campo electromagnético a las cuales el electrón móvil está sometido. De esto resultó la noción de masa aparente (electromagnética) de un electrón. La teoría de la Relatividad especial condujo, finalmente, a la conclusión de que a toda energía se ha de atribuir la propiedad de la inercia.

Todo cuerpo contiene energía (por ejemplo, en su interior una cantidad determinada en forma de radiación calorífica). La inercia que él manifiesta es debida, por consiguiente, en parte, a esta cantidad de energía. Puesto que esta parte, según la teoría de la Relatividad especial, representa una magnitud relativa, esto es, dependiente de la elección del sistema de referencia, la cantidad total de masa inerte de un cuerpo no tiene tampoco un valor absoluto, sino sólo relativo. Si esta cantidad de energía en calor radiante se reparte ahora por todo el cuerpo en todo su volumen, se podrá, por lo tanto, hablar de la cantidad de energía de la unidad de volumen, y de esto deducir la noción de densidad de energía. Esta densidad de energía es, entonces, también una magnitud que, en cuanto a su valor, depende del sistema de referencia.

Bibliografía: M. Planck, Ann. der Phys., 4.ª serie, tomo 26.

M. Abraham, Elektromagnetische Theorie der Strahlung. Teoría electromagnética de la radiación. 2.ª edición, 1908.

Nota 18 (pág. 47). La determinación de la masa inerte de un cuerpo, por la medida de su peso, es sólo posible fundándose en el hecho de experiencia de que todos los cuerpos, en el campo gravitatorio que hay en la superficie de la Tierra, caen con igual aceleración. Si se designan por p y p' las presiones que dos cuerpos ejercen en el mismo soporte (es decir, sus pesos respectivos), por g la aceleración en el campo gravitatorio de la Tierra en el lugar de observación de que se trate, se tiene

$p=m\cdot g\ {\text{dinas}}\quad {\text{y}}\quad p'=m'\cdot g\ {\text{dinas}}$,

donde m y m' son los dos factores de proporcionalidad que se denominan las masas de los dos cuerpos en cuestión. Puesto que en las dos ecuaciones entra el mismo valor g, se tiene

${\frac {p'}{p}}={\frac {m'}{m}}$

y se pueden, según esto, medir las masas de los cuerpos, en el mismo lugar, por sus pesos.

Aunque ya Newton había demostrado que todos los cuerpos, en el mismo lugar de la Tierra, caen con igual aceleración (si se elimina la acción de la resistencia del aire), sin embargo, a este hecho tan notable no se le ha asignado ningún lugar entre los fundamentos de la Mecánica. Sólo el «principio de la equivalencia» de Einstein (véase capítulo V, pág. 55). le otorga la posición que indudablemente le corresponde.

Nota 19 (pág. 49). B. y J. Friedländer han propuesto un experimento sacado de las mismas reflexiones para demostrar la relatividad de los movimientos de rotación y, por consiguiente, la reversibilidad de los fenómenos centrífugos («Absolute und relative Bewegung». Movimiento absoluto y relativo, Berlín.— Leonardo Simion, 1896). A causa de la pequeñez del efecto, el experimento no puede ejecutarse con éxito en la actualidad, pero es absolutamente adecuado para facilitar la inteligencia del contenido físico de este postulado.

«El más sensible de todos los instrumentos es, como es sabido, la balanza de torsión. Ahora bien, las mayores masas en rotación, con que nosotros podemos realizar experiencias, son los grandes volantes que hay en los laminadores y en otras grandes máquinas. Las fuerzas centrífugas se manifiestan, como es sabido, por una presión que tiende hacia fuera del eje de rotación. Por lo tanto, si colocamos una balanza de torsión a una distancia, que no sea excesivamente grande, de un gran volante, de modo que el punto de suspensión de la parte giratoria de la balanza de torsión (es decir, de la aguja), esté, exacta o aproximadamente, en la prolongación del eje del volante, era preciso que la aguja, si ella no era de antemano paralela al plano del volante, tendiese a aproximarse a esta posición y diese una correspondiente sacudida; pues en todo elemento material, que no está en el eje de rotación, actúa la fuerza centrífuga tendiendo a alejarle del eje. Se ve enseguida que se alcanza la mayor distancia posible, cuando la aguja está paralela.»

El experimento propuesto por B. y J. Friedländer representa sólo una variante de aquel experimento que guió a Newton a su idea sobre el carácter absoluto de la rotación. Newton suspendía de un cordel una vasija cilíndrica llena de agua, la hacía girar alrededor del eje definido por el cordel, hasta que éste estuviese enteramente tieso; cuando la vasija y el líquido quedaban por completo en reposo, él dejaba que el cordel se destorciese de nuevo, con lo cual la vasija y el líquido entraban en rotación rápida, y observaba entonces lo siguiente: inmediatamente después de haber soltado el cordel, sólo la vasija tomaba parte en la rotación, puesto que el rozamiento del agua en las paredes de la misma no bastaba para comunicar en seguida al líquido la rotación; mientras esto ocurría, permanecía la superficie libre del agua plana y horizontal; pero cuanto más el agua era arrastrada por las paredes en rotación, tanto más claramente aparecían las fuerzas centrífugas y empujaban el agua hacia arriba en las paredes, de modo que finalmente su superficie libre tomaba la forma de un paraboloide de revolución. De esta observación dedujo Newton que la rotación relativa de las paredes de la vasija con respecto al agua no produce en la misma ninguna fuerza. Sólo, si el agua misma toma parte en la rotación, se hacen perceptibles las fuerzas centrífugas. De esto él dedujo el carácter absoluto de las rotaciones.

Este experimento ha sido posteriormente discutido muchas veces, y ya E. Mach alzó, contra la consecuencia de Newton, la objeción de que no se podía, sin más, afirmar que la rotación relativa de las paredes de la vasija con respecto al agua, en general, no tenga influencia en la misma. Se puede muy bien imaginar que, si la masa de la vasija fuese bastante grande, por ejemplo, sus paredes de muchos kilómetros de espesor, entonces, en una vasija en rotación, la superficie libre del agua en reposo no permanecería plana. Esta objeción está absolutamente de acuerdo con la idea de la teoría de la Relatividad general. Según ésta, las fuerzas centrífugas pueden ser consideradas también como las fuerzas de gravitación que la totalidad de las masas en rotación alrededor del agua ejerce en la misma. La acción de gravitación de las paredes de la vasija en el líquido encerrado es naturalmente pequeña y despreciable con respecto a la de toda la masa del Universo. Sólo si el agua se halla en rotación con respecto a ésta, hay que esperar fuerzas centrífugas perceptibles. El experimento de los hermanos B. y J. Friedländer había ahora de perfeccionar el experimento establecido por Newton, poniendo, en vez del agua, una balanza de torsión sensible, la cual ya cede a fuerzas muy pequeñas y en lugar de la vasija la masa de un poderoso volante. Pero esta disposición tampoco puede conducir a ningún resultado positivo, puesto que aun el volante mayor posible, que pudiese utilizarse en la actualidad, representa sólo una masa pequeña despreciable en comparación de la masa del Universo.

Nota 20 (pág. 49). Se habla de campos de fuerza, cuando, la fuerza de que se trate, varía continuamente de un lugar a otro, y en todo lugar está dada por el valor de una función del lugar. Las fuerzas centrífugas, en el interior y en la superficie de un cuerpo en rotación, tienen una tal repartición en forma de campo sobre todo el volumen del cuerpo, y nada se opone a imaginar este campo continuado también hacia fuera sobre la superficie del cuerpo; por ejemplo, sobre la superficie de U Tierra hacia fuera en su atmósfera. Por lo tanto, se puede hablar abreviadamente del campo centrífugo de la Tierra; y puesto que las fuerzas centrífugas, según las ideas precedentes, sólo dependen de la inercia del cuerpo y no de su peso, este campo es un campo de inercia, en oposición al campo de la gravedad, bajo cuya influencia, todos los cuerpos que no están suspendidos o apoyados caen en la Tierra.

En la Tierra se superponen, según esto, las acciones de varios campos de fuerza; la acción del campo de la gravedad, el cual procede de la atracción mutua de los elementos materiales de la Tierra y que está dirigido hacia el centro de la Tierra; la acción del campo centrífugo, el cual puede ser considerado, según Einstein, también como un campo gravitatorio y cuya acción está dirigida paralelamente al plano del ecuador hacia fuera; y, finalmente, la acción del campo gravitatorio de los diversos cuerpos celestes, en primera línea, del Sol y de la Luna.

Nota 21 (pág. 49). Eötvös ha publicado el resultado de sus medidas en los «Mathematischen und Naturwissenschaftlichen Berichten aus Ungarn». Memorias de Ciencias matemáticas, físicas y naturales de Hungría, tomo 8, pág. 64, 1891.

D. Pekdr da una exposición detallada: «Das Gesetz der Proportionalität von Trägheit und Gravität». La ley de la proporcionalidad entre la inercia y la gravedad. (Die Naturwissenschaft, 1919, 7, pág. 327.)

Mientras que las anteriores investigaciones de Newton y Bessel acerca de la atracción de la Tierra sobre diversas substancias (Astr. Nachr. 10, pág. 97, y Trabajos de Bessel, tomo 3, pág. 217.) se fundaban en observaciones del péndulo, Eötvös ha trabajado con balanzas de torsión sensibles.

La fuerza, por efecto de la cual todos los cuerpos caen, resulta de dos componentes: de la fuerza de atracción de la Tierra, la cual (prescindiendo de desviaciones que por de pronto se pueden despreciar) está dirigida hacia el centro de la Tierra; y de la fuerza centrífuga, la cual está dirigida paralelamente al ecuador, hacia fuera. Si la fuerza de atracción de la Tierra sobre dos cuerpos de igual masa, pero de distinta substancia, fuese distinta, sería preciso que la resultante de la atracción y de la fuerza centrífuga tuviese en ellos distintas direcciones. Eötvös escribe luego: «Por cálculo hallamos que si la diferencia entre las atracciones de la Tierra sobre dos cuerpos, de igual masa, pero de distinta substancia, fuese de una milésima, las direcciones de la gravedad en ambos cuerpos formarían entre sí un ángulo de 0,356 segundos, esto es, aproximadamente, de un tercio de segundo; y si dicha diferencia importase un veinteavo de millonésima, sería preciso que este ángulo fuese de ³⁵⁶/₂₀ de millonésima de segundo, esto es, algo más de un sesentavo de milésima de segundo»; y más adelante:

«Yo fijaba en mis balanzas de torsión, en los extremos de una cruz de 25-50 cm. de larga, la cual colgaba de un delgado alambre de platino, distintos cuerpos de 30 g. de peso, próximamente. Después de colocada la cruz perpendicularmente al meridiano, yo determinaba exactamente su posición por medio de un espejo móvil unido a ella y otro fijo en la caja del instrumento. Entonces yo giraba 180° el instrumento, junto con la caja, de modo que el cuerpo, que antes se hallaba en el extremo Este de la cruz, ahora venía al extremo Oeste y ahora determinaba de nuevo la posición de la cruz con respecto al instrumento. Si los pesos de los cuerpos colocados en ambos lados tuviesen distinta dirección, sería preciso que resultase una torsión del alambre de suspensión. Pero, colocando constantemente en un lado una esfera de latón, y en el otro, vidrio, corcho o antimonio cristalizado, dicha torsión no aparecía, siendo así que una desviación de ¹/₆₀₀₀₀ de segundo en la dirección de la gravedad había de producir una torsión de un minuto, la cual es observable con exactitud.»

Eötvös alcanza, por lo tanto, una exactitud próximamente como la que se alcanza en las balanzas, y éste era su objeto, pues el método de determinar la masa de los cuerpos por balanzas se apoya en el teorema fundamental de que la atracción de la Tierra sobre diversos cuerpos sólo depende de su masa y no de la naturaleza de su substancia. Era preciso, por consiguiente, que este teorema fundamental fuese demostrado con un grado de exactitud igual al que se alcanza en las pesadas. Si, en general, existe una tal diferencia en el peso de cuerpos distintos de igual masa, pero de substancias diversas, debe ser, según Eötvös, para latón, vidrio, antimonita y corcho, menor que un veinteavo de millonésima; para aire y latón, menor que una cienmilésima.

'Nota 22 (pág. 51). Véase también: A. Einstein, «Grundlagen der allgemeinen Relativitätstheorie». Fundamentos de la teoría general de la Relatividad. Ann. d. Phys. 4.ª serie, tomo 49, pág. 769.

Nota 23 (pág. 53). La ecuación $\delta \{\textstyle \int ds\}$ dice que la variación de la longitud de trayectoria entre dos puntos de la misma suficientemente próximos se anula para la trayectoria realmente seguida; esto es, de todas las trayectorias posibles entre dos puntos, el movimiento verdadero escoge la más corta. Si primero uno permanece en el terreno de la Mecánica antigua, el siguiente ejemplo aclarará el sentido de este teorema fundamental. Siendo la recta siempre la línea de unión más corta entre dos puntos del espacio, un punto material que se pueda mover libremente recorrerá esta línea recta de un punto a otro, si no hay, por otra parte, influencias perturbadoras (ley de inercia). Si el punto material está obligado a moverse sobre cualquier superficie curva, pasará de un punto a otro a lo largo de una línea geodésica de esta superficie, puesto que las líneas geodésicas representan las líneas de unión más cortas entre los puntos de la superficie. En la teoría de Einstein rige ahora un principio que corresponde del todo a éste, sólo que es mucho más general. Bajo la influencia de la inercia y de la gravitación todo punto material avanza a lo largo de las líneas geodésicas de la variedad espacio tiempo. El que estas líneas, en general, no sean líneas rectas depende de que el campo gravitatorio somete al punto material en cierta manera a una ligadura, así por el estilo como la superficie curva restringía la libertad de movimiento del punto material. Enrique Hertz, en su Mecánica, había ya elevado a la categoría de principio fundamental para todos los movimientos un principio que corresponde enteramente al anterior.

Nota 24 (pág. 55). Véase A. Einstein, Ann. d. Phys. 4.ª serie, tomo 35, pág. 898.

Nota 25 (pág. 56). La expresión «transformación de aceleración» significa que la transformación, que se considera como fundamental, de las variables x, y, z, t, en un sistema de variables x₁, x₂, x₃, x₄, puede ser concebida como la relación de dos sistemas de referencia entre sí, que se hallan uno relativamente a otro en movimiento acelerado. La índole del estado de movimiento de dos sistemas de referencia uno con respecto a otro halla su expresión en la forma analítica de las ecuaciones de transformación de sus coordenadas.

Nota 26 (pág. 59). A continuación: 1.°, se escribirán explícitamente las ecuaciones fundamentales de la nueva teoría; y 2.°, se ejecutará el paso a las ecuaciones fundamentales de la Mecánica de Newton.

De la ecuación de variación $\delta \textstyle \int ds=0$, donde es

$ds^{2}=\sum _{1}^{4}g_{\mu \nu }dx_{\mu }dx_{\nu }$

resultan, desarrollando la variación, las cuatro ecuaciones diferenciales ordinarias

${\frac {d^{2}x_{\sigma }}{ds^{2}}}=\sum _{\mu \nu }\Gamma _{\mu \nu }^{\alpha }{\frac {dx_{\mu }}{ds}}{\frac {dx_{\nu }}{ds}}\ (\sigma =1,2,3,4)$.[1]

Estas son las ecuaciones del movimiento de un punto material en el campo gravitatorio de las g_μν.

Aquí, el símbolo $\Gamma _{\mu \nu }^{\alpha }$, representa la expresión

$-{\tfrac {1}{2}}\sum _{\alpha }g^{\sigma \alpha }\left({\frac {\delta g_{\mu \alpha }}{\delta x_{\nu }}}+{\frac {\delta g_{\nu \alpha }}{\delta x_{\mu }}}-{\frac {\delta g_{\mu \nu }}{\delta x_{\alpha }}}\right)$.

El símbolo g^σα representa el menor adjunto de g_σα en el determinante

${\begin{vmatrix}g_{11}&\dots &g_{14}\\\dots &\dots &\dots \\g_{41}&\dots &g_{44}\end{vmatrix}}$,

dividido por este determinante.

Las diez ecuaciones diferenciales para los «potenciales gravitatorios» g_μν son

$\sum _{\alpha }{\frac {\delta \Gamma _{\mu \nu }^{\alpha }}{\delta x_{\alpha }}}+\sum _{\alpha \beta }\Gamma _{\mu \alpha }^{\alpha }\Gamma _{\nu \alpha }^{\beta }=x\left(T_{\mu \nu }-{\tfrac {1}{2}}g_{\mu \nu }T\right)$.[2]

Las cantidades T_μν y T son expresiones que están en una relación sencilla con los componentes del tensor Tensión-Energía (el cual en la nueva teoría aparece, en lugar de la densidad de masa, como magnitud generadora del campo), x es, en esencia, igual a la constante de gravitación de la teoría de Newton.

Las ecuaciones diferenciales [1] y [2] son las ecuaciones fundamentales de la nueva teoría. Una deducción detallada de las mismas se halla en la obra de A. Einstein, «Die Grundlage der allgemeinen Relativitätstheorie». Los fundamentos de la teoría general de la Relatividad. J. A. Barth, Leipzig, 1916.

2. Para obtener el ajuste de estas ecuaciones con la teoría de Newton, es necesario hacer diversas hipótesis simplificadoras. En primer lugar, supondremos que las g_μν, y sólo discrepan, en cantidades pequeñas con respecto a la unidad, de los valores dados por el esquema

${\begin{Bmatrix}g_{11}&g_{12}&g_{13}&g_{14}\\g_{21}&g_{22}&g_{23}&g_{24}\\g_{31}&g_{32}&g_{33}&g_{34}\\g_{41}&g_{42}&g_{43}&g_{44}\end{Bmatrix}}={\begin{Bmatrix}-1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&+1\end{Bmatrix}}$

Estos valores de las g_μν caracterizan el caso de la teoría de la Relatividad especial, es decir, el caso del estado libre de gravitación. También admitiremos que, a distancia infinita, las g_μν se convierten en los valores anteriores, esto es, que la materia no se extiende hasta el infinito.

En segundo lugar, admitiremos que las velocidades de la materia son pequeñas con respecto a la velocidad de la luz y pueden ser consideradas como cantidades infinitamente pequeñas de primer orden. Entonces las cantidades

${\frac {dx_{1}}{ds}},\quad {\frac {dx_{2}}{ds}},\quad {\frac {dx_{3}}{ds}}$

son infinitamente pequeñas de primer orden, y ${\tfrac {dx_{4}}{ds}}$, prescindiendo de cantidades de segundo orden, es igual a 1. Por la ecuación de definición de las $\Gamma _{\mu \nu }^{\sigma }$ se reconoce entonces que estas cantidades son infinitamente pequeñas de primer orden. Si se desprecian cantidades de segundo orden y se admite, finalmente, que en las pequeñas velocidades de la materia las variaciones del campo gravitatorio con el tiempo son pequeñas, esto es, que las derivadas de las g_μν con respecto al tiempo pueden ser despreciadas al lado de las que se refieren a las coordenadas de espacio, el sistema de ecuaciones [1] toma la forma

${\frac {d^{2}x_{\tau }}{dt^{2}}}=-1{\tfrac {1}{2}}{\frac {\delta g_{\mu }}{\delta x_{\tau }}}(\tau =1,2,3)$.[1a]

Esta sería ya la ecuación del movimiento de un punto material según la Mecánica de Newton, si ${\tfrac {1}{2}}g_{44}$representase el potencial gravitatorio general. Por consiguiente, es preciso que nosotros veamos ahora lo que viene a ser de la ecuación diferencial de g₄₄ en la nueva teoría bajo las hipótesis simplificadoras aquí escogidas.

El tensor Tensión-Energía generador del campo se reduce, por nuestras hipótesis enteramente especiales, a la densidad de masa ρ

$T=T_{44}=\rho$.

En las ecuaciones diferenciales [2], el segundo término del primer miembro es el producto de dos cantidades, que se han de considerar, según las anteriores reflexiones, como infinitamente pequeñas de primer orden. Por lo tanto, podemos prescindir del segundo término, como infinitamente pequeño de segundo orden. El primer término, en cambio, da para μ = ν = 4, si, como antes, se desprecian los términos diferenciados con respecto al tiempo y, por consiguiente, se considera el campo gravitatorio como «estacionario»

$-{\tfrac {1}{2}}\left({\frac {\delta ^{2}g_{44}}{\delta x_{1}^{2}}}+{\frac {\delta ^{2}g_{44}}{\delta x_{2}^{2}}}+{\frac {\delta ^{2}g_{44}}{\delta x_{3}^{2}}}\right)=-{\tfrac {1}{2}}\Delta g_{44}$.

Por lo tanto, degenera la ecuación diferencial de g₄₄ en la ecuación de Poisson

$\Delta g_{44}=x\cdot \rho$.[2a]

En primera aproximación, es decir, si se considera la velocidad de la luz como infinitamente grande, lo cual ciertamente, como se explicó con detalle en el párrafo 3 b), es una marca característica de la teoría clásica, y se hacen ciertas hipótesis sencillas sobre el proceder de las g_μν en el infinito, y se desprecian las variaciones del campo gravitatorio con el tiempo, las ecuaciones diferenciales de la teoría de Einstein, obtenidas fundándose en principios enteramente generales, se convierten en las conocidas ecuaciones de la Mecánica de Newton.

Nota 27 (pág. 61). La teoría de superficies, esto es, el estudio de la Geometría en una superficie, conduce inmediatamente a la conclusión de que los teoremas adquiridos para una superficie son válidos también para cualquier otra que se pueda engendrar doblando la primera sin rasgarla. Es decir, si se pueden relacionar una con otra dos superficies, punto a punto, de modo que, en puntos correspondientes, los elementos lineales sean iguales, también lo son los arcos finitos correspondientes, los ángulos, áreas de figuras, etc. Por lo tanto, se llega en ambas superficies a los mismos teoremas planimétricos. Tales superficies se dice que son aplicables una sobre otra. La condición necesaria y suficiente para tal cualidad es que la expresión del elemento lineal de una superficie

$ds^{2}=g_{11}dx_{1}^{2}+g_{12}dx_{1}dx_{2}+g_{22}dx_{2}^{2}$,

pueda ser transformada en la de la otra

$d{s'}^{2}=g'_{11}d{x'}_{1}^{2}+g'_{12}dx'_{1}dx'_{2}+g'_{22}d{x'}_{2}^{2}$

Según un teorema de Gauss, es necesario para ello que las dos superficies tengan igual curvatura. Si ella es, al mismo tiempo, constante a lo largo de toda la superficie, como ocurre, por ejemplo, en una superficie cilíndrica o en un plano, se satisfacen todas las condiciones para que las superficies sean aplicables. En otro caso, ecuaciones especiales aclaran la cuestión de si las superficies, o pedazos de las mismas, pueden ser aplicadas una sobre otra. Los numerosos problemas parciales que resultan en estos asuntos son resueltos con todos sus pormenores en todos los libros de Geometría diferencial (por ejemplo, Bianchi-Lukat). Esta disciplina, que hasta ahora sólo era de interés para los matemáticos, adquiere ahora también gran importancia en las ciencias físicas.

Nota 28 (pág. 70). Tampoco hay que dejarse engañar por la idea de considerar de alguna manera la ley fundamental de la gravitación de Newton como una explicación de la Gravitación. La noción de fuerza de atracción la adquirimos por medio de nuestra sensación muscular, y por esto transportarla a la materia inanimada no tiene ningún sentido. C. Neumann, que se ha afanado mucho por establecer la Mecánica de Newton sobre una base sólida, ha glosado también este punto de una manera ejecutiva, al principio de su trabajo antes citado a menudo, por medio de una narración, la cual aclara mucho los defectos del concepto que hasta ahora se tenía.

«Supongamos que un explorador del Polo Norte nos hablara de aquel enigmático mar; que él hubiese logrado penetrar en el mismo y se le hubiese presentado un espectáculo no table; que él hubiera visto dos montañas de hielo flotando en medio del mar, a bastante distancia una de otra, una grande y otra pequeña; que del interior de la montaña grande hubiera sonado una voz que en tono imperativo gritase: «¡diez pies más acá!», y en seguida, la montaña de hielo pequeña haya obedecido la orden y se haya corrido diez pies aproximándose hacia la grande; y de nuevo haya la grande mandado «¡seis pies más acá!», y en seguida la otra haya ejecutado de nuevo la orden; y así hubiesen resonado órdenes sucesivas, y la pequeña montaña de hielo hubiese estado en perpetuo movimiento, esforzándose solícita en ejecutar instantáneamente toda orden con la mayor exactitud posible.

»Seguramente nosotros relegaríamos un tal relato al reino de las fábulas. ¡Sin embargo, no nos burlemos tan pronto! Las ideas que aquí nos parecen extrañas son las mismas que sirven de fundamento a la parte más acabada de las ciencias físicas, y a las que el más célebre de entre los investigadores debe la fama de su nombre.

»Pues en los ámbitos del Universo resuenan continuamente tales órdenes, procedentes de los distintos cuerpos celestes del Sol, planetas, Luna y cometas. Cada astro da oídos a las órdenes de los restantes que le llaman, esforzándose continuamente en ejecutar tales órdenes con la mayor puntualidad posible. Nuestra Tierra se precipitaría en línea recta a través del espacio, si ella no estuviese gobernada y guiada por la voz de mando que suena en cada instante procedente del Sol, a la cual se mezclan las órdenes menos perceptibles de los demás cuerpos del Universo.

»Ciertamente estas órdenes se dan en silencio y asimismo en silencio son ejecutadas. También Newton ha designado este juego recíproco de orden y obediencia con otro nombre. Él habla sin más ni más de la fuerza de atracción mutua que tiene lugar entre los astros. Pero la cosa es la misma. Pues esta acción mutua consiste en esto, en que un cuerpo da órdenes y otro las obedece.»