Justo analitica
HISTORIA
Tras la publicación de los Principia en 1687, el marco conceptual de la mecánica parecía definitivamente establecido. El mundo material estaba compuesto por distribuciones de masas que interaccionaban entre sí mediante fuerzas cuyo comportamiento estaba gobernado por las tres leyes de Newton. La mecánica celeste constituía el campo de aplicación más adecuado para esta teoría que explicó satisfactoriamente el movimiento de los planetas del sistema solar. En su forma más natural, la mecánica newtoniana presupone el conocimiento de las fuerzas (de contacto o a distancia) que intercambian sistemas materiales de forma que conocida la posición y la velocidad inicial de dichos sistemas, las ecuaciones diferenciales, escritas a partir de la segunda ley de Newton, aplicadas a cada elemento de masa, determinan la evolución futura de dicho sistema. Por primera vez se disponía de un marco conceptual que reducía el comportamiento físico a un sistema de ecuaciones diferenciales capaz de dar cuenta de la evolución de todo el universo. Todo lo que la Física necesita realizar es encontrar el conjunto de fuerzas que actúan sobre la materia y las leyes que rigen sus módulos, direcciones y sentidos. Las consecuencias filosóficas de este marco conceptual que parecía confirmado por su aparentemente perfecta comunión con las observaciones astronómicas tuvieron su punto culminante en el mecanicismo cartesiano.
En muchos sistemas materiales existen ciertas relaciones entre las evolución de sus puntos tales que pequeñas violaciones de las mismas originan fuerzas restauradoras cuyas leyes pueden ser complicadas o incluso desconocidas, pero tan grandes, que puede asegurarse que dichas relaciones siempre se satisfacen prácticamente de forma perfecta. En este caso, la consideración de las fuerzas mediante las leyes que rigen su valor es impracticable y estas leyes pueden sustituirse por la consideración de sus efectos, es decir, las relaciones que fuerzan a cumplir. Estas relaciones se denominan ligaduras. Al plantear las ecuaciones diferenciales del movimiento aparecen fuerzas de valor desconocido que aportan nuevas incógnitas, a la vez que pueden añadirse las ecuaciones impuestas por las ligaduras. El sistema resultante puede resultar determinado o indeterminado, pero quebrando, en cualquier caso, la elegancia del planteamiento newtoniano inicial. La existencia de ligaduras y el desconocimento inicial de los valores de las fuerzas que las imponen plantea un problema que puede solventarse mediante la producción de un sistema de ecuaciones determinado como se ha comentado antes. Sin embargo, si se pudiese enunciar un principio similar a la segunda ley de Newton en el que la evolución de los sistemas quedase determinada al margen de las fuerzas de ligadura, se dispondría de una herramienta más práctica para abordar los problemas de la Mecánica. Un amplio grupo de ligaduras obedece a un modelo, llamado ligadura ideal, para cuyas fuerzas de ligadura puede enunciarse una notable característica: sus trabajos evaluados para un cierto tipo de desplazamientos de los puntos del sistema son nulos. A partir de aquí puede desarrollarse un nuevo principio, conocido como principio de los trabajos virtuales , formulado por D'Alembert en su Traité de Dynamique publicado en 1743, que determina la evolución de los sistemas sometidos a ligaduras ideales, sin la necesidad de considerar las fuerzas que las imponen (aunque permite el cálculo de aquéllas componentes que se desee obtener). El gráfico cuadro newtoniano empieza a volverse más analítico.
En 1788 Joseph Louis Lagrange publica su Mecanique Analytique en Paris. Un tratamiento matemático sistemático conduce a una nueva y elegante elaboración de la mecánica, que desde el tratado de Lagrange ha recibido el nombre de Mecánica Analítica. Se dispone de herramientas para producir muy ágilmente las ecuaciones del movimiento de los sistemas, cuyo tratamiento posterior se basa en el análisis matemático. La mecánica lagrangiana, además se ha mostrado capaz de incluir la dinámica de los campos que aparecen en Física, así como un tratamiento simple de la dinámica de medios continuos. Ya en el siglo XiX, el irlandés William Rowan Hamilton, que había apreciado la potencia y elegancia con que Lagrange había dotado a la mecánica, emprende el trabajo de sistematización de la Óptica, con objeto de someterla a un esquema parecido al de la Mecánica. No sólo consiguió su objetivo, sino que además apreció que los sistemas ópticos y los sistemas mecánicos obedecen a un mismo principio variacional. La concepción sintética de Hamilton produjo una nueva visión de la mecánica, más intrínseca que la lagrangiana. La formulación hamiltoniana, desarrollada posteriormente por Jacobi, Poisson, etc, introdujo de nuevo una geometría en el espacio de fases de los sistemas mecánicos, en la que las normas euclídeas tradicionales de los espacios ordinarios se sustituyen por las formas simplécticas; los productos escalares, por los corchetes de Poisson, etc. Gracias al estudio de esta nueva geometría, científicos del siglo XX, como Poincaré y Burns lograron resolver problemas de mecánica celeste que habían permanecido sin resolver durante mucho tiempo.
La formulación hamiltoniana sirvió de base para el desarrollo de la mecánica cuántica a comienzos del siglo XX, principalmente en los modelos de De Broglie, Schrödinger, Heisenberg, etc. Aunque no pueden deducirse las leyes de la mecánica cuántica a partir de la formulación clásica hamiltoniana, el principio de correspondencia proporciona información muy valiosa para inferir el hamiltoniano cuántico a partir del clásico (en ambos casos el hamiltoniano determina la evolución del sistema). En este trabajo se realiza una exposición de la mecánica lagrangiana en los aspectos más interesantes para su aplicación en ingeniería, así como una breve exposición de la visión analítica. En este contexto, junto a la evolución del sistema material los valores de algunas acciones de ligadura desempeñan un papel fundamental. Por ello se desarrolla una teoría en la que las coordenadas de posición y las fuerzas de ligadura seleccionadas aparecen juntas en los sistemas de ecuaciones producidos. Dada la importancia concedida a las ligaduras, se incluyen herramientas pocas veces presentadas en tratados de mecánica para ingenieros, como son el teorema de Fröbenius y los lemas de Poincaré. Con ellos se dispone de los recursos matemáticos necesarios para la determinación de la integrabilidad de sistemas de ligaduras cinemáticas o de sistemas de fuerzas que dependen de las velocidades. Además, se introducen los temas típicos de la formulación hamiltoniana como los corchetes de Poisson o la ecuación de Hamilton-Jacobi y su relación con la ecuación de eikonal, preparando la transición de la mecánica clásica a la ecuación de Schroedinger.
DEFINICION
La mecánica analítica es una formulación abstracta y general de la mecánica,1 que permite el uso en igualdad de condiciones de sistemas inerciales o no inerciales sin que, a diferencia de las leyes de Newton, la forma básica de las ecuaciones de movimiento cambie. Algunos autores identifican la mecánica analítica con la teórica.2 Otros consideran que el rasgo determinante es considerar la exposición y planteamiento de la misma en términos de coordenadas generalizadas.3 Lo característico de la formulación de la mecánica analítica es que, a diferencia de la mecánica newtoniana, se toman como fundamento primero principios generales diferenciales e integrales,4 y que a partir de estos principios se obtengan analíticamente las ecuaciones de movimiento.5 La exposición de los principios generales, la deducción a partir de ellos de las ecuaciones diferenciales de movimiento y los métodos de integración de éstas, constituye el contenido principal de la mecánica analítica.
La mecánica analítica tiene, básicamente dos formulaciones: la formulación lagrangiana y la formulación hamiltoniana. Las dos describen el mismo fenómeno natural, independientemente de aspectos formales y metodológicos, y llegan a las mismas conclusiones. La formulación lagrangiana está más orientada a una utilidad práctica y la hamiltoniana es idónea para una formulación teórica.
La mecánica analítica sigue los tres supuestos básicos de la mecánica clásica, es decir: 1. el Principio de Hamilton o principio de mínima acción. Podemos tomarlo como principio fundamental de toda la dinámica de los sistemas holónomos. 2. la existencia de un tiempo y espacio absolutos, cuyas medidas son iguales para cualquier observador con independencia de su grado de movimiento. 3. el determinismo científico, que viene a decir que el estado de un sistema mecánico queda completamente determinado si se conoce el conjunto de cantidades de movimientos y posiciones que lo constituyen, siendo estas simultáneamente medibles.
ENFOQUES
La mayoría de manuales generales sobre mecánica analítica pueden agruparse en dos tipos de enfoques: Enfoque analítico que en cierto modo es heredero de la Mecánique analitique de J. L. Lagrange de 1788 y la igualmente elegante formulación de W. R. Hamilton de 1833. Estas dos formulaciones en última instancia se basan en el principio diferencial introducido por D'Alembert en 1743. En este enfoque se presentan en detalle aplicaciones astronómicas y las leyes básicas de la física. En este enfoque la fuerza casi siempre es una fuerza conservativa y muchas veces también central. Por esa última razón los principios conservativos están generalmente muy enfatizados en este enfoque.6 Enfoque general de los sistemas dinámicos general es el enfoque más reciente surgido de los trabajos de Poincaré y A. Liapunov en la última década del siglo XIX y del libro Dynamical Systems del norteamericano G. D. Birhoff de 1927. En los manuales más sencillos este enfoque está poco representado, aunque es muy común en los trabajos de investigación. Este enfoque está actualmente muy relacionado con la teoría del caos y propiedades complejas de los sistemas mecánicos más complicados.7
FORMULACIONES
Mecánica lagrangiana La mecánica lagrangiana tiene la ventaja de ser suficientemente general como para que las ecuaciones de movimiento sean invariantes respecto a cualquier cambio de coordenadas. Eso permite trabajar con sistema de referencia inerciales o no-inerciales en pie de igualdad. Para un sistema de n grados de libertad, la mecánica lagrangiana proporciona un sistema de ecuaciones diferenciales de segundo orden llamadas ecuaciones del movimiento que permiten conocer como evolucionará el sistema. Aunque en general la integración de ese sistema de ecuaciones no es sencilla, resulta de gran ayuda reducir el número de coordenadas del problema buscando magnitudes conservadas, es decir, magnitudes físicas asociadas al sistema, que no varían a lo largo del tiempo. Las magnitudes conservadas también se suelen llamar integrales del movimiento y suelen estar asociadas a leyes de conservación comunes. En su forma más avanzada se formula sobre el fibrado tangente de una variedad diferenciable y en su forma más sencilla se formula usando coordenadas de un conjunto abierto de igual dimensión igual al número de grados de libertad.
Mecánica hamiltoniana La mecánica hamiltoniana se suele formular sobre supuestos variacionales de un modo similar a los usados para la mecánica lagrangiana. Sin embargo, el enfoque hamiltoniano permite transformaciones de coordenadas más generales lo cual le da mayor flexibilidad para resolver las ecuaciones del movimiento. Otra ventaja es que las ecuaciones de evolución temporal en el enfoque hamiltoniano son ecuaciones diferenciales de primer orden, lo cual permite integrar más fácilmente las ecuaciones de movimiento. Nótese que, tanto una formulación como la otra, nos da la misma cantidad de información: n ecuaciones de segundo orden y 2n ecuaciones de primer orden. De todos los enfoques de la mecánica clásica, el enfoque hamiltoniano es el más cercano al enfoque general de la teoría de sistemas dinámicos. No es extraño por tanto que partes importantes de teoría del caos aparecieran por primera vez dentro del enfoque hamiltoniano.
Producto Punto
El producto escalar de dos vectores en un espacio euclídeo se define como el producto de sus módulos por el coseno del ángulo que se forma. Asi:
Producto Punto
Es útil en aplicaciones físicas. Es también llamado producto interno. El producto interno de dos vectores es una cantidad escalar.
Sean V= <a,b> y W=<c,d> Definimos producto punto como la operación de un producto entre el vector V y el vector W, cual el resultado de dicho producto es un escalar.
El producto escalar de dos vectores en un espacio euclídeo se define como el producto de sus módulos por el coseno del ángulo que se forma.
\vec{a} \cdot \vec{b}=\left | \vec{a} \right | \cdot \left | \vec{b} \right |cos \theta
Definición
Si
, entonces el producto punto de a y b es el número a.b dado por:
Propiedades
\vec{a}\cdot\vec{a} = \left | \vec{a} \right |^2
\vec{a}\cdot\vec{b} = \vec{b}\cdot\vec{a}
\vec{a}\cdot(\vec{b}+\vec{c}) = \vec{a}\cdot\vec{b} + \vec{a}\cdot\vec{c}
(c\vec{a})\cdot\vec{b}=c(\vec{a}\cdot\vec{b})=\vec{a}\cdot(c\vec{b})
\vec{a}\cdot\vec{0}=0
BIBLIOGRAFIA • Fernádez Rañada, Antonio (2005). Fondo de Cultura Económica, ed. Dinámica Clásica (1ª edición). México DF. pp. 545-600. ISBN 84-206-8133-4. • Gantmájer, Feliks Ruvímovich (2003). Domingo Marín Ricoy, ed. Mecánica Analítica (2ª en español edición). Moscú: URSS. p. 342. ISBN 5-88417-162-5.