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Los fundamentos de la teoría

La elección de la expresión

$ds^{2}=\sum _{1}^{3}g_{\mu \nu }dx_{\mu }dx_{\nu }$

para el elemento lineal en las leyes físicas se ha de considerar, a pesar de su gran generalidad, sin embargo, como una hipótesis, como ya Riemann hizo notar. Pues también otras funciones de las diferenciales dx₁, dx₂, dx₃, por ejemplo, la raíz cuarta de una expresión diferencial homogénea de cuarto grado, podrían dar una medida para la longitud del elemento lineal ⁹. Pero no se presenta en la actualidad ningún motivo para abandonar la expresión general más sencilla del elemento lineal, es decir, la de segundo grado, y adoptar funciones más complicadas. En el marco de los dos postulados que nosotros imponemos a la explicación de los fenómenos físicos, ella cumple todas las exigencias. Sin embargo, nunca se puede olvidar que en la elección de la expresión analítica para el elemento lineal siempre hay encerrado algo hipotético y que es deber del físico darse cuenta, en todo tiempo, de este hecho, sin prejuicios. Riemann concluye, a propósito de esto, también su trabajo ^[1] con las siguientes proposiciones que ahora adquieren especial importancia:

«La cuestión de la validez de las hipótesis de la Geometría en los infinitamente pequeños se relaciona con

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1. B. Riemann: Über die Hypothesen, welche der Geometrie zugrunde liegen. Sobre las hipótesis en que se funda la Geometría. Nuevamente redactado y aclarado por H. Weyl. Berlín, Casa editorial de Julius Springcr, 1919.