continuamentex1, x2, x3 originan cualquier correspondencia de números con los puntos del espacio (coordenadas), la raíz cuadrada de una función entera, homogénea, de segundo grado, constantemente positiva, de las diferenciales dx1, dx2, dx3 posee todas las propiedades 8 que es preciso que tenga el elemento lineal como expresión de la longitud de una reglita rígida infinitamente pequeña. Se tendrá, por consiguiente, en la fórmula
en la cual los coeficientes gμν son funciones continuas de las tres variables x1, x2, x3 una expresión para el elemento lineal en el punto x1, x2, x3.
En esta expresión no se hace ninguna hipótesis sobre la clase de coordenadas que están representadas por las tres variables x1, x2, x3, por consiguiente, sobre propiedades métricas especiales de la variedad, que resultan de la condición de la libre movilidad de las unidades de medida. Pero si se exige especialmente que todo punto en la variedad pueda ser determinado por coordenadas cartesianas rectangulares x, y, z porque se hacen hipótesis particulares sobre la posibilidad de colocación de las unidades de medida, toma el elemento lineal, en estas variables especiales, la forma
Esta expresión de la longitud del elemento lineal ha sido, hasta ahora, siempre introducida en todas las leyes físicas; ella está contenida en la expresión general del
