y sus dimensiones; y la noción de «congruencia», deducida de este hecho, ha sido un factor de capital importancia para una determinación de medidas7. Ella nos plantea el problema de formar, con los números x1, x2, x3 e y1, y2, y3 que corresponden a dos puntos determinados del espacio y que podemos imaginar como los extremos de una reglita rígida, una expresión matemática que se pueda considerar como medida de su distancia mutua, esto es, por lo tanto, como expresión de la longitud de la reglita, y se pueda introducir como tal en las fórmulas de las leyes físicas.
Ahora contienen las ecuaciones de las leyes físicas, si ellas (para cumplir la condición de continuidad) son leyes diferenciales, sólo las distancias ds de puntos infinitamente próximos, los llamados elementos lineales. Es preciso que preguntemos para ello si nuestros dos postulados influyen en la expresión analítica del elemento lineal ds y, en caso afirmativo, qué expresión es compatible con los dos. Riemann exige primero de un elemento lineal sólo que pueda ser comparado, en cuanto a su longitud, con otro cualquiera, independientemente de lugar y tiempo. Esta es una marca característica de la métrica del espacio y significa, prácticamente, la libre movilidad de las unidades de medida; en la variedad de los sonidos y en la de los colores, por ejemplo, no existe esta marca (véase nota 6). Riemann formula esta condición por medio de las siguientes palabras: «que las líneas deben poseer una longitud independiente de la posición y toda línea debe ser medible por otra». Luego él halla que, si designamos por x1, x2, x3 y por x1 + dx1, x2 + dx2, x3 + dx3 dos puntos del espacio infinitamente próximos y los números variables
