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El principio especial de la relatividad.

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En el sistema S' valdrá, pues, la ley dinámica fundamental en la forma habitual (II, 10, pág. 48. Fórmula [7]).

$m_{0}b'=K'$[71]

en esta fórmula es m₀ una constante característica de la resistencia de inercia que tiene el cuerpo, la masa medida en el sistema en reposo S' o, más brevemente, la masa en reposo; b' es la aceleración con respecto a S', y K' es la fuerza que ésta produce, referida igualmente a S'.

Trátase ahora de trasladar esta ley del sistema de referencia especial S' atenido al movimiento del cuerpo, a un sistema de referencia cualquiera S. Realizaremos la transformación primero para la aceleración b' y luego para la fuerza K'.

Tenemos que distinguir también entre velocidad longitudinal y velocidad transversal, que designaremos por los índices p (paralela) y s (perpendicular).

Sea v la velocidad del sistema S' relativamente a cualquier otro determinado S. Como S' en el momento de la validez de la fórmula [71] tiene la misma velocidad que el cuerpo K y será para éste u_p = v y u_s = 0; entonces el teorema de la adición de las velocidades [70] (pág. 287) da el resultado trivial de u'_p = 0, u'_s = 0, que expresa la quietud de K relativamente a S'.

En un momento después, empero, ha recibido el cuerpo por la fuerza un aumento de velocidad longitudinal w_p y uno transversal w_s, de suerte que sus componentes de velocidad en el sistema S son:

$u_{p}=v+w_{p},\quad u_{s}=w_{s}$

Calculemos éstos, según el teorema de la adición [70], en el sistema S':

$u'_{p}={\frac {w_{p}}{1-{\frac {v}{c^{2}}}(v+w_{p})}},\quad u'_{s}=w_{s}{\frac {\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}{1-{\frac {v}{c^{2}}}(v+w_{p})}}.$

Como antes de la impulsión era u'_p = 0 y u'_s = 0, son éstas