Diferencia entre revisiones de «Almagesto: Libro I - Capítulo 13»

=='''{Preliminares para las pruebas esféricasEsféricas}'''==

Nuestra próxima tarea es demostrar las longitudes de los arcos individuales cortados entre el ecuador[https://es.wikipedia.org/wiki/Ecuador_celeste '''Ecuador'''] y la eclíptica[https://es.wikipedia.org/wiki/Eclíptica '''Eclíptica'''] a lo largo del gran círculo a través de los polos del ecuadorEcuador. De manera preliminar, comenzaremos con breves teoremas breves y útiles que nos permitirán derivar muchas demostraciones involucrando '''teoremas sobre esféricas''' en el sentido más simple y en lo más metódico posible.

[Ver Fig. 1.8.] Sean dos líneas rectas, BE y GD, las cuales son dibujadas para encontrar dos líneas rectas. AB y AG, se cortadancortarán una con la otra en el punto Z.

[Demostración:] Eliminar las perpendiculares AZ y GH desde los puntos A y G haciahasta DB. LuegoEntonces, dado que AZ es paralela a GH, y se encuentran con la línea AEG,

Es obvio que, si el arco AG es dado, el ^ ADZ, que subtiende la mitad del arco AG, será dado, y por lo tanto íntegramente el triángulo ADZ <ref name="Referencia 078"></ref>. Ahora, ya que la cuerda AG está dada en su totalidad, y (AG / EG) está dado (siendo igual a (Cuerda arco 2 * AB / Cuerda arco 2 * BG)), AE será dado <ref name="Referencia 079"></ref>, y entonces será ZE, substracciónsustracción [ de AZ desde AE].

Por lo tanto, DZ también está dado, en el triángulo rectángulo EDZ, el ^ EDZ será dado, y por lo tanto la totalidad del ángulo ADB. Por lo tanto el arco AB será dado y (por substracciónsustracción) el arco BG.

Con un argumento similar al teorema previo, si eliminamos las perpendiculares BZ y GH desde B y G haciahasta DA, siendo [BZ y GH] paralelas,

En esteéste caso, inmediatamente sigue también, que si justamente tenemos dado el arco GB y la relaciónrazón (Cuerda arco 2 * GA / Cuerda arco 2 * AB), el arco AB también será dado.

Para ello, si repetimos la misma figura [ver Fig. 1.13], y unimos DB y eliminamos la perpendicular DZ haciahasta BG, luegoentonces el ^ BDZ, que subtiende medio arco BG, será dado. Por lo tanto el ángulo rectángulo en su totalidad <ref name="Referencia 081"></ref> BDZ estará dado. Ahora, dado que la relaciónrazón (GE / EB) y la línea GB son dadas, EB será dada, y por lo tanto, por adición, la línea EBZ. Entonces, dado que DZ es dada, en el triángulo rectángulo EDZ, el ^ EDZ [también] es dado, y por substracciónsustracción es dado el ^ EDB [desde el ^ BDZ dado]. Por lo tanto el arco AB será dado.

Habiendo establecido estos primeros teoremas, dibujemos [Fig. 1.14] <ref name="Referencia 082"></ref> los siguientes arcos de grandes círculos de una esfera: BE y GD son dibujados para intersecarseintersectarse en AB y AG, y cortar a cada uno en Z. Sea cada uno de ellos menor que un semicírculo (y que la misma condición sea entendida para ser aplicada en todas las figuras).

[Demostración:] Tomemos el centro de la esfera, H, y dibujemos desde él las líneas HB, HZ, HE, haciahasta las intersecciones de los círculos, B, Z y E. Unir AD y prolongarla hasta encontrarse con HB, en Θ. De igual manera, unir DG con AG, y sean ellos HZ y HE cortados en los puntos <ref name="Referencia 083"></ref> K y L.

<ref name="Referencia 076">Sobre la trigonometría esférica explicada en este capítulo ver ''HAMA'' 26-30, [https://en.wikipedia.org/wiki/Olaf_Pedersen Pedersen] 72-8.</ref>

<ref name="Referencia 077">Literalmente, (aquí y en general), este tipo de relaciónrazón es expresada como “la relaciónrazón de GA / AE es combinada desde (<span style="font-family: Symbol"></span>) la relación GD / DZ y la relación de ZB / BE”.</ref>

<ref name="Referencia 079">[https://es.wikipedia.org/wiki/Euclides Euclides] ''“Data” 7'' (si una magnitud dada esestá dividida en una proporción dada, cada parte esestá dada).</ref>

<ref name="Referencia 080">Omitiendo (en el manuscrito D, y Is), en H72, 13-15, <span style="font-family: Symbol"></span> AB, A<span style="font-family: Symbol"></span>, que es una repetición supérfluasuperflua de H70, 21-5.</ref>

<ref name="Referencia 081">Aquí (en H74,3) y en otras partes (por ej. H74,7), el manuscrito D tiene la forma completa <span style="font-family: Symbol"></span> para la <span style="font-family: Symbol"></span> de [https://es.wikipedia.org/wiki/Johan_Ludvig_Heiberg Heiberg]. Esto quizás sea cierto, pero no lo he registrado como una corrección, siguiendo el principio enunciado en la [[Almagesto:_Introducción|Introducción]].</ref>

<ref name="Referencia 082">Ver ''HAMA'' Fig. 17 p. 1213 para una adaptación de estaésta figura útil figura en la visualización de varios planos involucrados.</ref>

<ref name="Referencia 083">Leer <span style="font-family: Symbol"> ... </span> (con el manuscrito D) en H75,2 paraen cambio de <span style="font-family: Symbol"> ... </span>. Corregida por [https://en.wikipedia.org/wiki/Karl_Manitius Manitius].</ref>

<ref name="Referencia 084">El teorema uniendo seis arcos de un gran círculo sobre la superficie de una esfera en la ''Configuración de [https://es.wikipedia.org/wiki/Menelao_de_Alejandría Menelaus]'' (ver la [[Almagesto:_Introducción|Introducción]]), en la cualque son ejemplificados los enunciados 13.5 y 13.6, es debido a Menelaus, quien Ptolomeo menciona en el Almagesto sólo como un observador (ver índice s.v.). EsteÉste aparece (en ambas formas) como Prop. III 1 en su ''“Esféricas”'' (ed. Krause pp, 194-7). EstasÉstas dos formas han sido etiquetadas por [https://es.wikipedia.org/wiki/Otto_Neugebauer Neugebauer] (''HAMA'' 28) como el Teorema I (= 13.6), donde cuatro partes internas de la ''Configuración de Menelaus'' están relacionadas con las dos partes externasexteriores, y el Teorema II (= 13.5), donde cuatro partes externas están relacionadas con las dos partes internasinteriores. Usaremos esta terminología del siguiente modo (abreviadas como '''M.T.I.''' y '''M.T.II.''').</ref>