Diferencia entre revisiones de «Almagesto: Libro XI - Capítulo 01»

Por calculo encontramos el movimiento medio en longitud

 

Para el primer intervalo: 99;55º

Para el segundo intervalo: 33;26º.

 

Luego, desde que el arco BG de la excéntrica es dado como subtendiendo 36;29º de la eclíptica, el ángulo en el centro de la eclíptica,

^ BDG (= ^ EDH) = 36;29º donde 4 ángulos rectos = 360º

^ BDG (= ^ EDH) = 72;58ºº donde 2 ángulos rectos = 360ºº.

 

<center>Fig. 11.1</center>

 

Por lo tanto, en el circulo alrededor del triángulo rectángulo EDH,

 

Arco EH = 72;58º

y EH = 71;21p donde la hipotenusa DE = 120p.

Similarmente, desde que

Arco BG = 33;26º,

El ángulo [subtendido por él] en la circunferencia,

^ BEG = 33;26ºº donde 2 ángulos rectos = 360ºº;

Por lo tanto, en el circulo alrededor del triángulo rectángulo BEH,

 

Arco EH = 39;32º

y EH = 40;35p donde la hipotenusa BE = 120p.

Por lo tanto donde EH, como mostramos, es de 71;21p, y ED = 120p,

BE = 210;58p.

 

Además, desde que el arco total ABG de la excéntrica es dado como subtendiendo 141;12º de la eclíptica (la suma de ambos intervalos [104;43 y 36;29º]), el ángulo en el centro de la eclíptica,

 

^ ADG = 141;12º donde 4 ángulos rectos = 360º

^ ADG = 282;24ºº donde 2 ángulos rectos = 360ºº,

Por lo tanto, en el circulo alrededor del triángulo rectángulo DEZ,

 

Arco EZ = 77;36º

y EZ = 75;12p donde la hipotenusa DE = 120p.

Similarmente, desde que el arco ABG de la excéntrica es, por adición [de 99;55º + 33;26º], 133;21º, al ángulo [subtendido por el] en la circunferencia,

 

^ AEG = 133;21ºº donde 2 ángulos rectos = 360ºº.

 

Pero ^ ADE fue encontrado ser de 77;36ºº en las mismas unidades.

Por lo tanto el ángulo restante [en el triángulo EAD], ^ EAZ = 149;3ºº en las mismas unidades.

Por lo tanto, en el circulo alrededor del triángulo rectángulo AEZ,

Arco EZ = 149;3º

y EZ = 115;39p donde la hipotenusa EA es de 120p.

Por consiguiente donde EZ, como fue mostrado, es de 75;12p, y ED es dado como de 120p,

 

EA = 78;2p.

 

Por lo tanto, desde que el arco AB de la excéntrica es de 99;55º, el ángulo [subtendido por él] en la circunferencia,

 

^ AEB = 99;55ºº donde 2 ángulos rectos = 360ºº.

 

Por lo tanto, en el circulo alrededor del triángulo rectángulo AE,

 

Arco A = 99;55º

y Arco E = 80;5º (suplemento).

Por lo tanto las cuerdas correspondientes

 

A = 91;52p donde la hipotenusa EA = 120p

Y E = 77;12p donde la hipotenusa EA = 120p.

Por lo tanto donde AE, como fue mostrado, es de 78;2p, y DE = 120p,

 

A = 59;44p

Y E = 50;12p.

Pero la línea total EB fue mostrada ser de 210;58p en las mismas unidades.

 

Entonces, por sustracción, B = 160;46p donde A = 59;44p.

Y Arco B ^2 = 25845;55

Además, donde le diámetro de la excéntrica es de 120p,

 

AB = 91;52p (para este subtiende un arco de 99;55º).

Por lo tanto donde AB = 91;52p y el diámetro de la excéntrica es de 120p,

Luego, donde el diámetro LM = 120p, la línea total EG fue mostrada ser de 119;50p, y ED ser de 64;17p; entonces por sustracción, GD = 555;33p en las mismas unidades.

 

 

Entonces, desde que ED * DG = LD * DM,

LD * DM = 3570;56p donde el diámetro LM = 120p.

Por lo tanto, si sustraemos (LD * DM), ej. 3570;56, desde la escuadra sobre la mitad del diámetro, ej. 3600, el resto será la escuadra sobre DK,

 

Ej. DK ^2 = 29;4.

 

 

Además, desde que

 

GN = 1/2 * GE = 59;55p donde el diámetro LM = 120p,

Y GD fue mostrado ser de 55;33p en las mismas unidades,

por sustracción, DN = 4;22p donde DK = 5;23p.

Por lo tanto donde la hipotenusa [del triángulo rectángulo DKN] DK = 120p,

DN = 97;20p,

Y, en el circulo en el triángulo rectángulo DKN,

 

En consecuencia ^ DKN 108;24ºº donde 2 ángulos rectos = 360ºº

En consecuencia ^ DKN 54;12º donde 4 ángulos rectos = 360º.

Y desde que DKN es un ángulo en el centro de la excéntrica,

 

Arco MX = 54;12º también.

 

Por lo tanto, por sustracción, el arco desde el perigeo a la tercer oposición,

 

Arco MG = 32;51º <ref name="Referencia 003"></ref>.

Y claramente, desde que el intervalo BG es dado como de 33;26º, por sustracción, encontramos el arco desde la segunda oposición al perigeo,

 

Arco BM = 0;35º <ref name="Referencia 004"></ref>;

 

Y desde que el intervalo AB es dado como de 99;55º, por sustracción [de (arco AB + arco BM) desde 180º], encontramos el arco desde el apogeo hacia la primer oposición,

 

Arco LA = 79;30º.

 

Ahora si este fuera esta excéntrica sobre la cual el centro del epiciclo es transportado, las cantidades de arriba podrían ser suficientemente precisas para usar. De cualquier modo, ya que, de acuerdo a nuestra hipótesis, [el centro del epiciclo] se mueve en un circulo diferente, a saber el circulo descrito con centro en el punto bisecando DK y con el radio KL, debemos una vez mas, como dijimos para Marte, primero calcular las diferencias cuales resultan en los intervalos aparentes [ej. los arcos de la eclíptica entre las oposiciones]: deben mostrar que los tamaños de esas diferencias pueden ser (tomando las relaciones de arriba para la excentricidad como la aproximadamente la correcta), si el centro del epiciclo fuera transportado, no sobre la segunda excéntrica, sino sobre la primer excéntrica [ej. la ecuante], cuales produce la anomalía eclíptica, ej. la dibujada en el centro K.

 

 

Luego [ver Fig. 11.3] sea LM la excéntrica transportando el centro del epiciclo en el centro D, y la excéntrica del movimiento medio del planeta NX en el centro Z, es igual a LM. Dibujar el diámetro a través de los centros, NLM, y tomar sobre el centro de la eclíptica E. Sea el centro del epiciclo situado, primero, en A, para la primer oposición. Dibujar DA, EA, ZAX y EX, y eliminar las perpendiculares DH y E desde D y E hacia AZ producida.

Luego, ya que el ángulo del movimiento medio en longitud, ^ NZX, fue mostrado ser de 79;30º donde 4 ángulos rectos = 360º, el ángulo opuesto verticalmente a el,

 

^ DZH = 79;30º donde 4 ángulos rectos = 360º

^ DZH = 159ºº donde 2 ángulos rectos = 360ºº.

Por lo tanto, en el circulo alrededor del triángulo rectángulo DZH,

 

Arco DH = 159º

Y Arco ZH = 21º (suplemento).

Por lo tanto las cuerdas correspondientes

 

DH = 117;59p donde la hipotenusa DZ = 120p

y ZH = 21;52p donde la hipotenusa DZ = 120p.

Por lo tanto donde DZ (= 1/2 * EZ) ≈ 2;42p y el radio de la excéntrica, DA = 60p,

 

DH = 2;39p

y ZH = 0;30p.

Y, en el circulo alrededor del triángulo rectángulo AE,

 

Arco E ≈ 10;1º.

En consecuencia ^ EA = 10;1ºº donde 2 ángulos rectos = 360ºº.

Entonces encontramos la hipotenusa [del triángulo rectángulo EX] EX como de 61;14p en las mismas unidades.

 

Arco E = 9;55º.

En consecuencia ^ EX = 9;55ºº donde 2 ángulos rectos = 360ºº.

Por lo tanto, por sustracción, el ángulo de la diferencia en cuestión,

 

^ AEX = 0;6ºº donde 2 ángulos rectos = 360ºº

^ AEX = 0;3º donde 4 ángulos rectos = 360º.

Pero en la oposición del planeta, vista a lo largo de la línea EA, tuvo una longitud aparente de 23;11º. Por lo tanto esto es claro que, si el centro del epiciclo fue transportado, no sobre la excéntrica LM, sino sobre [la excéntrica] NX, esta podría haber estado en el punto X sobre aquella excéntrica, y el planeta podría habrá aparecido a lo largo de la línea EX, difiriendo por 0;3º [desde la posición actual], y por lo tanto podría haber tenido una longitud de 23;14º.

 

 

Sea el diagrama para la segunda oposición dibujada, nuevamente con una figura similar [Fig. 11.4] <ref name="Referencia 005"></ref>, [con el centro del epiciclo] descripto como un poso hacia delante del perigeo.

 

Luego, ya que el arco XN de la excéntrica fue vista [p. 510, arco BM] sea de 0;35º,

^ XZN = 0;35º donde 4 ángulos rectos = 360º

^ XZN = 1;10ºº donde 2 ángulos rectos = 360ºº.

Por lo tanto, en el circulo alrededor del triángulo rectángulo DZH,

 

Arco DH = 1;10º

Y Arco ZH = 178;50º (suplemento).

Por lo tanto las cuerdas

 

DH = 1;13p donde la hipotenusa DZ = 120p

Y ZH ≈ 120p donde la hipotenusa DZ = 120p.

Por lo tanto donde DZ = 2;42p y el radio de la excéntrica, DB = 60p,

 

DH = 0;2p

Y ZH = 2;42p.

Y HB = 60p en las mismas unidades (para esto es insignificantemente más pequeña que la hipotenusa [del triángulo rectángulo HBD] BD).

 

Además, desde que H = HZ, y E = 2 * DH,

Por sustracción, B = 57;18p donde E = 0;4p.

Por lo tanto la hipotenusa [del triángulo rectángulo EB] EB = 57;18p en las mismas unidades.

 

Por lo tanto, donde EB = 120p, E ≈ 0;8p,

Y, en el circulo alrededor del triángulo rectángulo BE,

también Arco E = 0;8º.

En consecuencia ^ EB = 0;8ºº donde 2 ángulos rectos = 360ºº.

Por lo tanto la hipotenusa [del triángulo rectángulo EX] EX = 54;36p en las misas unidades.

 

Por lo tanto, donde EX = 120p, E ≈ 0;10p, y, en el circulo alrededor del triángulo rectángulo EX,

En consecuencia ^ EX = 0;10ºº donde 2 ángulos rectos = 360ºº,

Y, por sustracción [de ^ EB], ^ BEX = 0;1º donde 4 ángulos rectos = 360º.

 

 

Aquí, luego, esto es claro que el planeta, desde su longitud aparente en la oposición segunda, cuando esta fue vista a lo largo de la línea EB, estuvo en 7;54º, podría, si este ha sido visto a lo largo de la línea EX, ha tenido una longitud de solo 7;53º.

Luego, desde que NX de la excéntrica es dada como de 32;51º,

 

^ NZX = 32;51º donde 4 ángulos rectos = 360º

^ NZX = 65;42ºº donde 2 ángulos rectos = 360ºº.

Por lo tanto, en el circulo alrededor del triángulo rectángulo DZH,

 

Arco DH = 65;42º

y Arco ZH = 114;18º (suplemento).

Por lo tanto las cuerdas correspondientes

 

DH = 65;6p donde la hipotenusa DZ = 120p

y ZH = 100;49p donde la hipotenusa DZ = 120p.

Por lo tanto donde DZ = 2;42p y el radio de la excéntrica, DG = 60p,

 

DH = 1;28p

y ZH = 2;16p.

Y, en el circulo alrededor del triángulo rectángulo GE,

 

Arco E ≈ 5;48º.

En consecuencia ^ EG = 5;48ºº donde 2 ángulos rectos = 360ºº.

Por lo tanto la hipotenusa [del triángulo rectángulo EX] EX = 55;33p en las mismas unidades.

 

Por lo tanto, donde EX = 120p, E = 6;20p,

Y, en el circulo alrededor del triángulo rectángulo EX,

 

En consecuencia ^ EX = 6;2ºº donde 2 ángulos rectos = 360ºº,

Y, por sustracción [de ^ EG], ^ GEX = 0;14ºº en las mismas unidades

 

Por lo tanto, desde que el planeta en la 3er. Oposición, cuando es visto a lo largo de la línea EG, tuvo una longitud de 14;23º, esto es claro de que, si este ha estado sobre la línea EX, este podría haber tenido una longitud de 14;30º. Y mostramos que sus longitudes [correctas] [podrían haber sido]

En la primer oposición 23;14º

En la segunda oposición 7;53º.

Por consiguiente calculamos los intervalos aparentes [en longitud] del plantea, tomado, no con respecto a la excéntrica transportando el centro del epiciclo, sino con respecto a la excéntrica produciendo el movimiento medio [ej. la ecuante] <ref name="Referencia 007"></ref>, como

 

Desde la primera a la segunda oposición 104;39º

Desde la segunda a la tercer oposición 36;37º.

Comenzando desde esos datos, por medio del teorema previamente demostrado encontramos la distancia entre los centros de la eclíptica y la excéntrica produciendo el movimiento medio del epiciclo como alrededor de 5;30p donde le diámetro de la excéntrica es de 120p; y, para los arcos de la excéntrica,

 

Desde el apogeo hacia la primer oposición: 77;15º

Desde la segunda oposición hacia el perigeo 2;50º

Las cantidades de arriba han sido determinadas precisamente por este método, para las diferencias en los intervalos [como medidos a lo largo de la deferente y ecuante], cuando calculado desde esos datos, están muy cerca de las mismas como los conjuntos previos <ref name="Referencia 008"></ref>. Esto es [también] claro desde el hecho de que los intervalos aparentes [en longitud] del planeta derivado desde los valores tenemos encontrado por consiguiente la vuelta para ser las mismas como aquellas observadas; podemos mostrar esto como sigue.

 

 

Una vez mas, sea dibujado el diagrama de la primer oposición [Fig. 11.6], pero conteniendo solo la excéntrica transportando el centro del epiciclo. Luego, desde que ^ LZA fue mostrado ser de 77;15º donde 4 ángulos rectos = 360º, ^ LZA = ^ DZH (opuesto verticalmente) = 154;30ºº donde 2 ángulos rectos = 360ºº.

Por lo tanto, en el circulo alrededor del triángulo DZH,

 

Arco DH = 154;30º

y Arco ZH = 25;30º (suplemento).

Por lo tanto las cuerdas correspondientes

 

DH = 117;2p donde la hipotenusa DZ = 120p

y ZH = 26;29p donde la hipotenusa DZ = 120p.

Por lo tanto donde ZD = 2;45p y el radio de la excéntrica DA = 60p,

 

DH = 2;41p

y ZH = 0;36p.

Por consiguiente, por el mismo argumento como en la prueba previa,

 

AH [= (AD ^2 - DH ^2) ^.5] = 59;56p en las mismas unidades,

 

Y, por adición [de H = ZH], A = 60;32p donde E (= 2 * DH) = 5;22p.

Por lo tanto la hipotenusa [del triángulo rectángulo AE] AE viene a ser de 60;46p en las mismas unidades.

 

Por lo tanto, donde AE = 120p, E = 10;36p,

Y, en el circulo alrededor del triángulo rectángulo AE,

 

En consecuencia ^ EA = 10;8ºº donde 2 ángulos rectos = 360ºº,

 

Y, por sustracción [de ^ EA desde ^ LZA],

^ LEA = 144,22ºº en las mismas unidades

^ LEA = 72;11º donde 4 ángulos rectos = 360º.

Nuevamente, sea dibujado el diagrama [correspondiente] para la segunda oposición [Fig. 11.7]. [Luego,] desde que

 

^ BZM es dado como 2;50º donde 4 ángulos rectos = 360º

^ BZM es dado como 5;40ºº donde 2 ángulos rectos = 360ºº,

En el circulo alrededor del triángulo rectángulo DZH,

 

Arco DH = 5;40º

 

 

y Arco ZH = 174;20º (suplemento).

Por lo tanto las cuerdas correspondientes

 

DH = 5;55p donde la hipotenusa DZ = 120p

y ZH = 119;51p donde la hipotenusa DZ = 120p.

Por lo tanto donde DZ = 2;45p y el radio de la excéntrica, DB = 60p,

 

DH = 0;8p

y ZH ≈ 2;45p.

Y, por el mismo [argumento como el previo],

 

BH ≈ 60p en las mismas unidades,

 

Por lo tanto, donde EB= 120p, E = 0;33p,

 

Y, en el circulo alrededor del triángulo rectángulo BE,

 

 

Arco E = 0;32º.

En consecuencia ^ EB = 0;32ºº donde 2 ángulos rectos = 360ºº.

Entonces sea dibujado el diagrama [correspondiente] para la tercer oposición [Fig. 11.8]. [Luego,] desde que

 

^ MZG fue mostrado ser 30;36º donde 4 ángulos rectos = 360º

^ MZG fue mostrado ser 61;12º donde 2 ángulos rectos = 360ºº,

En el circulo alrededor de4l triángulo rectángulo DZH,

 

Arco DH = 61;12º

y Arco ZH = 118;42º (suplemento).

Por lo tanto las cuerdas correspondientes

 

DH = 61;6p donde la hipotenusa DZ = 120p

y ZH = 103;17p donde la hipotenusa DZ = 120p.

Por lo tanto donde DZ = 2;45p y el radio de la excéntrica, GD = 60p,

 

DH = 1;24p

y ZH = 2;22p.

Y, por el mismo [argumento como el previo],

GH = 59;59p,

Y, por sustracción [de H = ZH], G = 57;37p donde E = 2;48p.

 

Por lo tanto la hipotenusa [del triángulo rectángulo EG] EG = 57;41p en las mismas unidades; y por consiguiente, donde EG = 120p, E = 5;50p, y, en el circulo alrededor del triángulo rectángulo GE,

 

Arco E = 5;34º

En consecuencia ^ EG = 5;34ºº donde 2 ángulos rectos = 360ºº.

Y, por adición [de ^ MZG],

 

^ MEG = 66;46ºº en las mismas unidades

^ MEG = 33;23º donde 4 ángulos rectos = 360º.

Aquellos [33;23º], luego, fue la distancia al planeta hacia atrás del perigeo en la tercer oposición. Y mostramos que en la segunda oposición su distancia hacia delante del mismo perigeo fue 3;6º. Por lo tanto el intervalo aparente [en longitud] desde la segunda hacia la tercera oposición es calculado como la suma [de los arriba], 36;29º, una vez mas de acuerdo con el intervalo observado [p. 507].

 

 

Esto es inmediatamente claro, desde que el planeta en la tercera oposición tuvo una longitud observada de 14;23º y, como fue mostrada, fue de 33;23º hacia atrás del perigeo, que en aquel momento el perigeo de su excéntrica tuvo una longitud de 11º, mientras su apogeo estuvo diametralmente opuesta en 11º.

Y si [ver Fig. 11.9] <ref name="Referencia 011"></ref> dibujamos el epiciclo HK alrededor del centro G, tendremos inmediatamente: la posición media en longitud [contada] desde el apogeo de la excéntrica, L, como de 210;36º (tenemos mostrado que ^ MZG = 30;36º); y el arco K del epiciclo desde el perigeo  hacia el planeta K como de 2;47º (mostramos que

 

^ EGZ = 5;34ºº donde 2 ángulos rectos = 360ºº

^ EGZ = 2;47º donde 4 ángulos rectos = 360º).