Diferencia entre revisiones de «Almagesto: Libro X - Capítulo 07»

Desde que el arco BG de la excéntrica es dado como subtendiendo 93;44º de la eclíptica, el ángulo en el centro de la eclíptica,

 

^ BDG = 93;44º donde 4 ángulos rectos = 360º

^ BDG = 187;28º donde 2 ángulos rectos = 360ºº,

Por lo tanto, en el circulo alrededor del triángulo rectángulo DEH,

 

Arco EH = 172;32º

y EH = 119;45p donde la hipotenusa DE = 120p.

Por lo tanto el ángulo restante [en el triángulo BDE],

 

^ EBH = 92ºº en las mismas unidades.

 

Por lo tanto, en el circulo alrededor del triángulo rectángulo BEH,

 

Arco EH = 92º

y EH = 86;19p donde la hipotenusa BE = 120p.

Por lo tanto donde EH, como demostramos, es de 119;45p, y ED = 120p,

 

BE = 166;29p.

 

Nuevamente, desde que el arco total ABG de la excéntrica es dado como subtendiendo [93;44º + 67;50º =] 161;34º de la eclíptica (la suma de ambos intervalos),

 

^ ADG = 161;34º donde 4 ángulos rectos = 360º, y, por sustracción [de 180º],

^ ADE = 18;26º donde 4 ángulos rectos = 360º

Por lo tanto, en el circulo alrededor del triángulo rectángulo DEZ,

 

Arco EZ = 36;52º

y EZ = 37;57p donde la hipotenusa DE = 120p.

Similarmente, desde que el arco ABG de la excéntrica, por adición [de 81;44º a 95;28º], 177;12º.

 

^ AEG = 177;12ºº donde 2 ángulos rectos = 360ºº.

Pero encontramos que ^ ADE = 36;52ºº en las mismas unidades.

Por consiguiente el ángulo restante [en el triángulo ADE],

 

^ DAE = 145;56ºº en las mismas unidades.

 

Por lo tanto, en el circulo alrededor del triángulo rectángulo AEZ,

 

Arco EZ = 145;56º

y EZ = 114;44p donde la hipotenusa AE = 120p.

Por lo tanto, donde EZ, como fue demostrado = 37;57p, y ED = 120p,

 

AE = 39;42p.

Nuevamente, desde el arco AB de la excéntrica = 81;44º,

^ AEB = 81;44ºº donde 2 ángulos rectos = 360ºº.

 

Por lo tanto, en el circulo alrededor del triángulo rectángulo AE,

 

Arco A = 81;44º

y Arco E = 98;16º (suplemento).

Por lo tanto las cuerdas correspondientes

 

A = 78;31p donde la hipotenusa AE = 120p

y E = 90;45p donde la hipotenusa AE = 120p.

Por lo tanto donde AE, como fue demostrado, es de 39;42p, y DE es dado como 120p,

 

A = 25;58p

y E = 30;2p.

Pero la línea total EB fue mostrada ser de 166;29p en las mismas unidades.

 

Por lo tanto, por sustracción, B = 136;27p donde A = 25;58p.

Y B ^2 = 18615;16 <ref name="Referencia 039"></ref>,

Pero, donde el diámetro de la excéntrica es de 120p, AB = 78;31p, desde que este subtiende un arco de 81;44º.

 

Por lo tanto donde AB = 78;31p, y el diámetro de la excéntrica es de 120p,

ED = 67;50p

Por lo tanto el arco AE de la excéntrica es de 21;41º <ref name="Referencia 040"></ref>.

 

Y, por adición, el arco EABG = [177;12º + 21;41º =] 198;53.

 

 

Luego, desde que, como demostramos

EG = 118;22p donde el diámetro LM = 120p,

y DE = 67;50p en las mismas unidades,

Luego, desde que ED * DG = LD * DM <ref name="Referencia 042"></ref>,

LD * DM = [67;50 * 50;32 =] 3427;51.

Pero (LD * DM) +DK ^2 es igual a la escuadra en la mitad de la línea total [LD + DM] <ref name="Referencia 043"></ref>,

Ej. (LD * DM) + DK ^2 = LK ^2.

Ahora la escuadra en la mitad es de 3600, y (LD * DM) = 3427;51,

entonces DK ^2 = 3600 - 3427;51 = 172;9,

 

Y la distancia entre los centros, DK ≈ 13;7p donde el radio de la excéntrica, KL = 60p <ref name="Referencia 044"></ref>.

Además, desde que

 

GN = 1/2 * GE = 59;11p donde el diámetro LM = 120p,

Y, como demostramos,

GD = 50;32p en las mismas unidades,

Por sustracción, DN = 8;39p donde DK fue calculado como de 13;7p.

Por lo tanto en el circulo en el triángulo rectángulo DKN,

DN = 79;8p donde la hipotenusa DK = 120p,

y Arco DN = 82;30º.

En consecuencia ^ DKN = 82;30º donde 2 ángulos rectos = 360ºº

En consecuencia ^ DKN = 41;15º donde 4 ángulos rectos = 360º.

Y desde que ^ DKN es un ángulo en el centro de la excéntrica,

Arco MX = 41;15º también.

Pero el arco total GMX = 1/2 arco GXE [= 1/2 * 161;7º] = 80;34º.

 

Y eso es obvio que, desde que el arco BG es dado como 95;28º, por sustracción, el arco desde el apogeo hacia la oposición segunda,

 

Arco LB [= 180º - (95;28º + 39;19º)] = 45;13º,

 

<center>Fig. 10.10</center>

 

Luego, desde que Arco XE = 36;31º,

^ EX = 36;31º donde 4 ángulos rectos = 360º

Por lo tanto, en el circulo alrededor del triángulo rectángulo DF,

 

Arco DF = 73;2º

yArco F = 106;58º (suplemento).

Por lo tanto las cuerdas correspondientes

 

DF = 71;25p donde la hipotenusa D = 120p

y F = 96;27p donde la hipotenusa DQ = 120p.

Por lo tanto donde D = 6;33 1/2p y el radio de la excéntrica, DA = 60p,

 

DF = 3;54p

y F = 5;16p.

Por adición [de QF a FA], QA = 65;8p

Donde NQ = 2 * DF = 7;48p.

Por lo tanto la hipotenusa [del triángulo rectángulo NAQ]

NA = 65;36p en las mismas unidades.

Por lo tanto, donde NA = 120p, NQ = 14;16p,

Y, en el circulo alrededor del triángulo rectángulo ANQ,

 

Arco NQ = 13;40º

En consecuencia ^ NAQ = 13;40ºº donde 2 ángulos rectos = 360ºº.

Nuevamente, desde que QN fue mostrada ser de 7;48p y Q [= 2 * FQ] ser de 10;32p, donde el radio de la excéntrica, E = 60p,

 

Por adición, QE = 70;32p en las mismas unidades,

Y por lo tanto la hipotenusa [del ángulo rectángulo QNE]

NE ≈ 71p en las mismas unidades.

Y, en el circulo alrededor del triángulo rectángulo ENQ,

Arco QN = 12;36º.

En consecuencia ^ NEQ = 12;36ºº donde 2 ángulos rectángulos = 360º.

Pero encontramos que ^ NAQ = 13;40ºº en las mismas unidades.

Por lo tanto, por sustracción [de ^ NEQ desde ^ NAQ],

^ ANE = 1;4ºº donde 2 ángulos rectos = 360ºº

^ ANE = 0;32º donde 4 ángulos rectos = 360º.

 

Seguidamente, dibujar una figura similar [la parte] del diagrama para la segunda oposición [Fig. 10.11].

 

<center>Fig. 10.11</center>

 

Luego, desde que el arco XZ es dado como de 45;13º <ref name="Referencia 047"></ref>,

 

^ XZ = 45;13º donde 4 ángulos rectos = 360º

^ XZ = 90;26ºº donde 2 ángulos rectos = 360ºº,

 

Y el ángulo verticalmente opuesto DF = 90;26ºº en las mismas unidades, también.

Por lo tanto, en el circulo alrededor del triángulo rectángulo DF,

Arco DF = 90;26º

y Arco F = 89;34º (suplemento).

Por lo tanto las cuerdas correspondientes

 

DF = 85;10p donde la hipotenusa D = 120p

y F = 84;32p donde la hipotenusa D = 120p.

Por lo tanto donde DQ = 6;33 1/2p y el radio de la excéntrica, DB = 60p,

 

DF = 4;39p

Y F = 4;38p.

Por lo tanto la hipotenusa [del triángulo rectángulo NQB]

 

NB = 65;6p <ref name="Referencia 048"></ref> en las mismas unidades.

Por lo tanto, donde NB = 120p, NQ = 17;9p,

Y, en el circulo alrededor del triángulo rectángulo BNQ,

Arco NQ = 16;26º

En consecuencia ^ NBQ = 16;26ºº donde 2 ángulos rectos = 360ºº.

 

Nuevamente, desde que NQ fue mostrado ser de 9;18p, y Q [= 2 * F] = 9;16p, donde el radio de la excéntrica, Z = 60p, por adición, QZ = 69;16p en las mismas unidades.

Por lo tanto la hipotenusa NZ [del triángulo rectángulo NQZ] = 69;52p.

Por lo tanto, donde la hipotenusa NZ = 120p, NQ ≈ 16p, y, en el circulo alrededor del triángulo ZNQ,

Arco NQ = 15;20º.

En consecuencia ^ NZQ = 15;20ºº donde 2 ángulos rectos = 360ºº.

Luego sea [la parte] del diagrama para que la tercer oposición sea dibujada [Fig. 10.12]. Ahora, desde que el arco PH es dado como 39;19º,

 

^ PH = 39;19º donde 4 ángulos rectos = 360º

^ PH = 78;38ºº donde 2 ángulos rectos = 360ºº.

<center>Fig. 10.12</center>

 

Por lo tanto, en el circulo alrededor del triángulo rectángulo DF,

Arco DF = 78;38º

y Arco F = 101;22º (suplemento).

Por lo tanto las cuerdas correspondientes

 

DF = 76;2p donde la hipotenusa DQ = 120p

y QF = 92;50p donde la hipotenusa DQ = 120p.

Por lo tanto donde la distancia entre los centros, D = 6;33 1/2p, y el radio de la excéntrica, DG = 60p,

 

DF = 4;9p

y F = 5;4p.

Por consiguiente la hipotenusa [del triángulo rectángulo NGQ]

 

Arco NQ = 17;14º

En consecuencia ^ NGQ = 17;14ºº donde 2 ángulos rectos = 360ºº.

 

Nuevamente, desde que NQ fue mostrado ser de 8;18p, y Q [= 2 * F] = 10;8p, donde el radio de la excéntrica, H = 60p,

por sustracción, QH = 49;52p en las mismas unidades,

Por lo tanto, donde NH = 120p, NQ = 19;42p, y, en el circulo alrededor del triángulo rectángulo HNQ,

 

Arco NQ = 18;54º.

En consecuencia ^ NHQ = 18;54ºº donde 2 ángulos rectos = 360ºº.

^ GNH = 1;40ºº en las mismas unidades.

Por lo tanto por sustracción, ^ GNH = 0;50º donde 4 ángulos rectos = 360º.

Aquellos [0;50º], luego, es la cantidad del arco MY de la eclíptica.

 

Usando los arcos de la eclíptica calculados desde dos intervalos, y, una vez mas, los arcos originales asumidos para la excéntrica [ecuante], y siguiendo el teorema demostrado arriba [pp. 486-9] para tales elementos, por medio del cual determinamos [la posición del] apogeo y la relación de la excentricidad, encontramos (no para alargar nuestra cuenta yendo a través del mismos [cálculos en detalle nuevamente]), la distancia entre los centros, DK = 1;50p donde el radio de la excéntrica es de 60p; el arco de la excéntrica desde la tercera oposición al perigeo, GM = 45;33º <ref name="Referencia 050"></ref>.

 

Por lo tanto Arco LB = [180º - (95;28º + 45;33º)] = 38;59º

y Arco AL = [81;44º - 38;59º] = 42;45º.

Seguidamente, empezando desde esos [arcos] como datos, encontramos desde nuestra demostración para cada una de las oposiciones [separadamente] las siguientes cantidades para el tamaño verdadero de cada uno de los arcos en cuestión:

 

Arco KS 0;28º

Arco LT, Alrededor del mismo, 0;28º

Seguido, usando el mismo procedimiento [como el de arriba], determinamos un valor mas preciso para la relación de la excentricidad y [la posición del] apogeo; encontramos la distancia entre los centros, DK ≈ 12p donde

 

el radio de la excéntrica, KL = 60p,

Arco GM de la excéntrica = 44;21º <ref name="Referencia 052"></ref>,

Por consiguiente, nuevamente, el arco

LB = 40;11º

y Arco AL = 41;33º.

Luego

 

^ AE = 41;33º donde 4 ángulos rectos = 360º,

Entonces donde 2 ángulos rectos = 360ºº,

<center>Fig. 10.13</center>

 

Por lo tanto, en el circulo alrededor del triángulo rectángulo DF,

Arco DF = 83;6º

Y Arco F = 96;54º (suplemento).

Por lo tanto las cuerdas correspondientes

 

DF = 79;35p donde la hipotenusa D = 120p

y F = 89;50p donde la hipotenusa D = 120p.

Por lo tanto donde DQ = 6p y la hipotenusa [del triángulo rectángulo DAF] DA = 60p,

 

DF = 3;58 1/2p

y F = 4;30p.

Por lo tanto la hipotenusa [del triángulo rectángulo NAQ] NA = 64;52p en las mismas unidades.

 

Por lo tanto donde NA = 120p, NQ = 14;44p,

y, en el circulo alrededor del triángulo rectángulo ANQ,

Arco NQ = 14;6º.

En consecuencia ^ NAQ = 14;6ºº donde 2 ángulos rectos = 360ºº

Sea un diagrama similar [Fig. 10.14] dibujado nuevamente para la segunda oposición. Luego el ángulo de la posición media del epiciclo,

 

^ BE = 40;11º donde 4 ángulos rectos = 360º,

Entonces donde 2 ángulos rectos = 360ºº,

Por lo tanto, en el circulo alrededor del triángulo DF,

 

Arco DF = 80;22º

y Arco F = 99;37º (suplemento).

Por lo tanto las cuerdas correspondientes

DF = 77;26p donde la hipotenusa D = 120p

Y F = 91;41p donde la hipotenusa D = 120p.

Por lo tanto donde D = 6p y la hipotenusa [del triángulo rectángulo DBF] DB = 60p,

 

DF = 3;52p

Y F = 4;35p.

Y, por el mismo argumento [como el de antes] <ref name="Referencia 053"></ref>,

 

Desde que F = FQ, y NQ = 2 D * F,

Por adición, BQ = 64;28p donde NQ = 7;44p.

Por lo tanto, donde la hipotenusa BN = 120p, NQ = 14;19p <ref name="Referencia 054"></ref>, y, en el circulo alrededor del triángulo rectángulo BNQ,

 

Arco NQ = 13;42º.

En consecuencia ^ NBQ = 13;42ºº donde 2 ángulos rectos = 360ºº

Pero ^ BE = 40;11º en las mismas unidades.

 

Por lo tanto, por sustracción, el ángulo de la posición aparente,

^ ENB = 33;20º en las mismas unidades.

Sea el diagrama para la tercer oposición dibujado en el mismo sentido [Fig. 10. 15]. En este caso el ángulo de la posición media del epiciclo,

 

^ GZ = 44;21º donde 4 ángulos rectos = 360º

^ GZ = 88;42ºº donde 2 ángulos rectos = 360ºº.

Por lo tanto, en el circulo alrededor del triángulo rectángulo DF,

 

Arco DF = 88;42º

y Arco F = 91;18º (suplemento).

Por lo tanto las cuerdas correspondientes

 

DF = 83;53p donde la hipotenusa D = 120p

y F = 85;49p donde la hipotenusa D = 120p.

Por lo tanto donde D = 6p y el radio de la excéntrica, DG = 60p,

 

DF = 4;11 1/2p

y F = 4;17p.

Y desde que DG ^2 - DF ^2 = GF ^2,

Y encontramos que GF = 59;51p en las mismas unidades.

Además, desde que F = FQ, y NQ = 2 * DF,

Encontramos por sustracción que QG = 55;34p donde NQ = 8;23p.

Por consiguiente encontramos que la hipotenusa [del triángulo rectángulo GNQ]

GN = 56;12p en las mismas unidades.

 

Por lo tanto, donde la hipotenusa GN = 120p, NQ = 17;55p, y, en el circulo alrededor del triángulo rectángulo GNQ,

 

Arco NQ = 17;10º.

En consecuencia ^ GN = 17;10ºº donde 2 ángulos rectos = 360ºº

 

Y si [ver. Fig. 10.16] dibujamos el epiciclo de Marte KLM en el centro G y produce la línea GM <ref name="Referencia 055"></ref>, tendrá, para el momento de la tercer oposición:

Movimiento medio del epiciclo contada desde el apogeo de la excéntrica: 135;39º (para su suplemento, ^ GZ, fue mostrada ser de 44;21º);

Movimiento medio del planeta desde el apogeo del epiciclo M (ej. el arco MK): 171;25º (para ^ GN fue mostrada ser de 8;35º [arriba], y desde que este es un ángulo en el centro del epiciclo, el arco KL desde el planeta en K hacia el perigeo en L es también 8;35º. Por consiguiente el arco suplementario desde el apogeo M hacia el planeta en K es, como ya establecido, de 171;25º).

 

Por consiguiente hemos demostrado, entre otras cosas, que en el momento de la tercer oposición; ej. en el segundo año de Antonio, Epiphi 12/13 en el calendario egipcio, 2 horas equinocciales antes de la medianoche, las posiciones medias del planeta Marte fueron:

 

En longitud (llamada) desde el apogeo de la excéntrica: 135;39º

En anomalía desde el apogeo del epiciclo: 171;25º