Diferencia entre revisiones de «Almagesto: Libro II - Capítulo 07»
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==[[Almagesto|'''Volver a los Contenidos''']]==
=='''Sobre las salidas simultáneas de los arcos de la eclíptica y del Ecuador en la esfera oblícua'''==
<ref name="Referencia 069"></ref>
Por lo tanto, entonces, habiendo expuesto las características generales que teóricamente pueden ser deducidas para [varias] latitudes, nuestra próxima tarea es demostrar como calcular, para cada latitud, los arcos del Ecuador, medidos en grados de tiempo, que salen conjuntamente con arcos [dados] de la eclíptica. Sistemáticamente desde esto derivaremos todas las otras características especiales [de la clímata]. Usaremos los nombres de los signos del zodíaco para las doce divisiones [30º -] de la eclíptica, acorde con el sistema en el que las divisiones comienzan en los puntos equinocciales y solsticiales <ref name="Referencia 070"></ref>. Llamamos la primera división “Aries”, comenzando en el equinoccio de primavera y recorriendo hacia atrás [hacia el este] con respecto al movimiento del universo, el segundo “Taurus”, y así sucesivamente para el resto, en el tradicional orden de los 12 signos.
Probaremos primero que los arcos de la eclíptica, que son equidistantes desde el mismo equinoccio, siempre salen con arcos iguales del Ecuador.
[Ver Fig. 2.4] Sea ABGD un meridiano, BED el semicírculo del horizonte, AEG el semicírculo del Ecuador, y ZH y K los dos arcos de la eclíptica tales que los puntos Z y son supuestos cada uno, como el equinoccio de primavera, y los arcos iguales siendo cortados sobre [ambos] lados [de éste equinoccio]: estos son los arcos ZH y K, que están saliendo en los puntos K y H [respectivamente]. Digo, que los arcos del Ecuador que salen [a la vez] con ellos son iguales, nombrados como ZE y E respectivamente.
[Probar] Sean los puntos L y M que representan los polos del Ecuador, y dibujar a través de ellos los arcos del gran círculo LEM, L, LK, ZM y MH. Y luego:
Arco ZH = arco K,
y Arco LK = arco MH (*)
y Arco EK = arco EH (*)
(*) Porque los paralelos a través de K y H son equidistantes del Ecuador sobre los lados opuestos <ref name="Referencia 071"></ref>,
[∆ esférico] LK ≡ [∆ esférico] MHZ
y [∆ esférico] LEK ≡ [∆ esférico] MEH.
en consecuencia ^ KLE = ^ HME,
y ^ KL = ^ HMZ.
Por lo tanto, por sustracción,
^ EL = ^ EMZ.
en consecuencia E = EZ, bases [de ∆ congruentes EL, EMZ]
Esto fue necesario para probar.
Nuevamente, probaremos que si dos arcos de la eclíptica son iguales y son equidistantes desde el mismo solsticio, la suma de los dos arcos del Ecuador que salen con él [solsticio] es igual a la suma de los tiempos de salida [de los mismos dos arcos de la eclíptica] en la esfera recta.
Fig. 2.4.
[Ver Fig. 2.5.] Sea ABGD un meridiano, y sea BED un semicírculo representando el horizonte, y el Ecuador el semicírculo AEG. Dibujar dos arcos de la eclíptica, igual y equidistante desde el solsticio de invierno, ZH (donde Z es tomado como el equinoccio de otoño) y H (donde es tomado como el equinoccio de primavera).
Por lo tanto éste es el punto sobre el horizonte que es común a la salida de ambos, y los arcos ZH y H están ambos limitados por el mismo círculo paralelo al Ecuador. Por lo tanto, obviamente, el arco E sale con el arco H, y el arco EZ con el arco ZH. Inmediatamente es obvio de que el arco EZ en su totalidad es igual a la suma de los tiempos de salida del arco ZH y del arco H en la esfera recta.
[Probar] Si tomamos K como el polo sur del Ecuador, y lo dibujamos a través de él y H el cuadrante del gran círculo KHL, que representa el horizonte en la esfera recta, luego L es el arco que sale con el arco H en la esfera recta, y similarmente LZ es el arco que sale con el arco ZH. Por lo tanto la suma de los arcos (L + LZ) es igual a la suma de los arcos (E + EZ), y ambos son comparados en el arco Z.
Esto fue necesario para probar.
[Según] lo de arriba, hemos demostrado que si podemos calcular los tiempos individuales de salida en alguna latitud justamente para un simple cuadrante, simultáneamente tendremos por bien resuelto, el problema de los tres cuadrantes restantes.
Fig. 2.5.
Siendo este el caso, como paradigma permitámonos nuevamente tomar el paralelo a través de Rodas, con el día más largo de 14 ½ horas equinocciales, y [siendo] la elevación del polo norte desde el horizonte de 36º.
[Ver Fig. 2.6] Sea ABGD un meridiano, BED el semicírculo del horizonte, AEG el semicírculo del Ecuador, y ZH el semicírculo de la eclíptica, posicionado entonces H representa el equinoccio de primavera. Tomar K como el polo norte del Ecuador, y dibujar a través de K y L, que es la intersección de la eclíptica y [con] el horizonte, el cuadrante del gran círculo KLM.
Dado el arco HL, sea el problema, hallar el arco del Ecuador que sale con él, [siendo] este el arco EH.
Primeramente sea el arco HL, comprendiendo el signo de Aries.
Luego, en el diagrama, los dos arcos de grandes círculos ED y KM son dibujados para intersecarse con los dos arcos de grandes círculos EG y GK, intersecándose el uno con el otro en L,
Fig. 2.6.
Cuerda arco 2 * KD / cuerda arco 2 * DG = (cuerda arco 2 * KL / cuerda arco 2 * LM) * (Cuerda arco 2 * ME / cuerda arco 2 * EG). [M.T.II]
pero Arco 2 * KD = 72º,
entonces Cuerda arco 2 * KD = 70;32,4p <ref name="Referencia 072"></ref>;
Y Arco 2 * GD = 108º,
entonces Cuerda arco 2 * GD = 97;4,56p.
Y Arco 2 * KL = 156;40,1º <ref name="Referencia 073"></ref>,
entonces Cuerda arco 2 * KL = 117;31,15p;
Arco 2 * LM = 23;19,59º,
entonces Cuerda arco 2 * LM = 24;15,57p.
en consecuencia Cuerda arco 2 * ME / Cuerda arco 2 * EG = (70;32,4 / 97;4,56) / (117;31,15 / 24;15,57)
= 18;0,5 / 120.
Y Cuerda arco 2 * EG = 120p.
en consecuencia Cuerda arco 2 * ME = 18;0,5p.
en consecuencia Arco 2 * ME ≈ 17;16º
Y Arco ME = 8;38º
Y en su totalidad el arco HM sale en su totalidad con el arco HL en la esfera recta, [siendo] ésta de 27;50º, tal como fue demostrado arriba. [pagina ].
Por lo tanto, por sustracción, EH es de 19;12º.
Hemos probado simultáneamente que el signo de Pisces sale al mismo tiempo (en grados) con 19;12º, y que para cada uno de los signos Virgo y Libra salen con 36;28º, que es el resto [de los 19;12º tomados] del doble del tiempo de salida en la esfera recta.
Esto fue necesario para probar.
(Segundo), seguidamente, sea HL el arco que comprende los 60º de los dos signos de Aries y de Taurus. Luego, de nuestras consideraciones, las otras dos cantidades serán restantes desde el mismo,
pero Arco 2 * KL = 138;59,42º,
entonces Cuerda arco 2 * KL = 112;23,56p,
y Arco 2 * LM = 41;0,18º <ref name="Referencia 074"></ref>,
entonces Cuerda arco 2 * LM = 42;1,48p.
en consecuencia Cuerda arco 2 * ME / Cuerda arco 2 * EG = (70;32,4 / 97;4,56) / (112;23,56 / 42;1,28),
= 32;36,4 / 120.
Y Cuerda arco 2 * EG = 120p.
en consecuencia Cuerda arco 2 * ME = 32;36,4p.
en consecuencia Arco 2 * ME ≈ 31;32º,
y Arco ME ≈ 15;46º.
Pero el arco MH <ref name="Referencia 075"></ref> en su totalidad fue previamente demostrado de 57;44º [pagina ].
Por lo tanto, por sustracción, el arco HE = 41;58º.
Por lo tanto los signos combinados de Aries y Taurus salen con 41;58 grados de tiempo, de los cuales 19;12º fueron demostrados pertenecer al tiempo de salida de Aries. Por lo tanto, el signo de Tauro, propiamente dicho, sale con 22;46 grados de tiempo.
Por el mismo razonamiento como el de antes, el signo de Aquarius saldrá con el mismo tiempo de 22;46º, cada uno de los signos de Leo y de Scorpius con 37;2º, que es el resto [de los 22;46º tomados] del doble del tiempo de salida en la esfera recta.
Ahora, y dado que el día más largo es de 14 ½ horas equinocciales, y el más corto de 9 ½ horas equinocciales, es obvio que el semicírculo [de la eclíptica] desde Cancer a Sagittarius saldrá con 217;30º desde el Ecuador, y el semicírculo de Capricornio a Gemini con 142;30º. Por lo tanto, cada uno de los cuadrantes, tanto a un lado como en el otro del equinoccio de primavera saldrán con 71;15 grados de tiempo [º], y cada uno de los cuadrantes tanto a un lado como en el otro del equinoccio de otoño saldrán con 108;45 grados de tiempo [º]. Por lo tanto los signos remanentes [en cada cuadrante], Gemini y Capricornio, saldrán cada uno con 29;17 grados de tiempo, que es la diferencia [de 19;12º + 22;46º] de los 71;15º con los que sale el cuadrante, y los signos remanentes de Cancer y Sagittarius saldrán cada uno con 35;15 grados de tiempo, que es la diferencia [de 36;28º + 37;2º] de los 108;45º con los que sale este cuadrante.
También es obvio que podemos calcular los tiempos de salida para los arcos más pequeños de la eclíptica [respecto de los signos en su totalidad] exactamente por el mismo método. Pero también, tal como sigue, podemos calcularlos por otro procedimiento más fácil y práctico.
[Ver Fig. 2.7] Primeramente sea ABGD representando un meridiano, BED el semicírculo del horizonte, AEG el semicírculo del Ecuador, y ZEH el semicírculo de la eclíptica, con la intersección E tomada como el equinoccio de primavera. Cortando un arco arbitrario Esobre [la eclíptica], y dibujar el segmento K del paralelo al Ecuador a través de . Tomando L como el polo [sur] del Ecuador, dibujarlo a través de los cuadrantes de los grandes círculos LM, LKN y LE.
Inmediatamente es obvio, entonces, que el segmento E de la eclíptica sale con el arco EM del Ecuador en la esfera recta, y con NM en la esfera oblicua, y el arco K del círculo paralelo, con el cual sale el segmento E [en la esfera oblicua], es similar al arco NM del Ecuador y similar a los arcos de los círculos paralelos saliendo en los mismos instantes en todas partes. Por lo tanto, el arco EN es la diferencia entre los tiempos de salida del segmento E en la esfera oblicua y en la esfera recta. Por lo tanto, hemos demostrado ello para los arcos de la eclíptica limitados por el punto E y el círculo paralelo a través de K, en cada caso, si es dibujado el arco del gran círculo correspondiente a LKN, el segmento EN comprenderá la diferencia entre aquel tiempo de salida del arco en la esfera recta y en la esfera oblicua <ref name="Referencia 076"></ref>.
Esto fue necesario para probar.
Habiendo establecido esto como tema preliminar, dibujemos [ver Fig. 2.8] un diagrama conteniendo sólo el meridiano y los semicírculos del horizonte [BED] y del Ecuador [AEG]; [y] dibujemos a través de Z, el polo sur del Ecuador, los dos cuadrantes de grandes círculos ZH y ZKL. Tomemos H como intersección del horizonte con el círculo paralelo a través del solsticio de invierno, y K como la intersección [del horizonte] con el círculo paralelo a través, ej., del comienzo de Pisces, o algún otro punto dado en el cuadrante [desde el comienzo de Capricornus hasta el fin de Pisces].
Luego, nuevamente, los arcos de grandes círculos ZKL y EKH son dibujados para intersecarse con los arcos de grandes círculos Z y E, y se intersecan en K cada uno con el otro. Por lo tanto
Cuerda arco 2 * H / Cuerda arco 2 * ZH = (Cuerda arco 2 * E / cuerda arco 2 * EL) * (Cuerda arco 2 * KL / cuerda arco 2 * KZ) [M.T.II]
pero en cada latitud está dado el arco 2 * H y es el mismo, y éste es el arco entre los solsticios. Por lo tanto también es dado su suplemento, el arco 2 * HZ. Similarmente, para el mismo arco de la eclíptica, el arco 2 * LK es el mismo en todas las latitudes, y está dado desde la Tabla de Inclinaciones [I 15]; y de allí es dado nuevamente su suplemento, el arco 2 * KZ.
Fig. 2.7.
Por lo tanto, por la división [de los miembros de arriba], (Cuerda arco 2 * QE / Cuerda arco 2 * EL) es hallado el mismo para las mismas latitudes (para el mismo arco de aquel cuadrante [de la eclíptica]).
Y siendo esto así, tomamos los diferentes valores del arco KL cada 10º [de la eclíptica] a través del cuadrante desde el equinoccio de primavera hasta el solsticio de invierno (la subdivisión menor al tamaño de los arcos [10º], será suficiente para [nuestros] propósitos prácticos). Luego en cada caso
Arco 2 * QH = 47;42,40º,
y Cuerda arco 2 * QH = 48;31,55p,
Arco 2 * HZ = 132;17,20º,
y Cuerda arco 2 * HZ = 109;44,53p.
Luego, para 10º [de la eclíptica] desde el equinoccio hasta el solsticio de invierno,
Arco 2 * KL = 8;3,16º,
y Cuerda arco 2 * KL = 8;25,39p,
Arco 2 * KZ = 171;56,44º,
y
Cuerda arco 2 * KZ = 119;42,14p.
Fig. 2.8.
Para el arco 20º desde el equinoccio
Arco 2 * KL = 15;54,6º,
Cuerda arco 2 * KL = 16;35,56p,
Arco 2 * KZ = 164;5,54º,
Cuerda arco 2 * KZ = 118;50,47p.
Para el arco 30º desde el equinoccio
Arco 2 * LK = 23;19,58º,
Cuerda arco 2 * LK = 24;15,56p,
Arco 2 * KZ = 156;40,2º,
Cuerda arco 2 * KZ = 117;31,15p.
Para el arco 40º desde el equinoccio
Arco 2 * LK = 30;8,8º,
Cuerda arco 2 * LK = 31;11,43p,
Arco 2 * KZ = 149;51,52º,
Cuerda arco 2 * KZ = 115;52,19p.
Para el arco 50º desde el equinoccio
Arco 2 * LK = 36;5,46º,
Cuerda arco 2 * LK = 37;10,39p,
Arco 2 * KZ = 143;54,14º,
Cuerda arco 2 * KZ = 114;5,44p.
Para el arco 60º desde el equinoccio
Arco 2 * LK = 23;19,58º,
Cuerda arco 2 * LK = 24;15,56p,
Arco 2 * KZ = 156;40,2º,
Cuerda arco 2 * KZ = 117;31,15p.
Para el arco 70º desde el equinoccio
Arco 2 * LK = 44;40,22º,
Cuerda arco 2 * LK = 45;36,18p,
Arco 2 * KZ = 135;19,38º,
Cuerda arco 2 * KZ = 110;59,47p.
Para el arco 80º desde el equinoccio
Arco 2 * LK = 46;56,32º,
Cuerda arco 2 * LK = 47;47,40p,
Arco 2 * KZ = 133;3,28º,
Cuerda arco 2 * KZ = 110;4,16p.
[Según] lo de arriba hallamos que
si dividimos la relación (Cuerda arco 2 H / Cuerda arco 2 * HZ),
nombrada (48;31,55 / 109;44,53),
por el valor (Cuerda arco 2 LK / Cuerda arco 2 * KZ),
tal como lo dado arriba, en cada uno de los 10º intervalos,
tomaremos la relación (Cuerda arco 2 * E / cuerda arco 2 * EL),
que es la misma para todas las latitudes.
Para el arco 10º este es 60 / 9;33
para el arco 20º este es 60 / 18;57
para el arco 30º este es 60 / 28;1
para el arco 40º este es 60 / 36;33 <ref name="Referencia 077"></ref>
para el arco 50º este es 60 / 44;12
para el arco 60º este es 60 / 50;44
para el arco 70º este es 60 / 55;45
y para el arco 80º este es 60 / 58;55.
Inmediatamente es obvio que para cada latitud tendremos E como arco dado el arco 2 * , y éste es, en grados, la diferencia en grados del tiempo del día equinoccial con el día más corto.
Por lo tanto, de la cuerda arco 2 * E
y la relación (Cuerda arco 2 * E / cuerda arco 2 * EL),
cuerda arco 2 * EL será dado, y [por lo tanto] el arco 2 * EL.
Sustraeremos mitad de éste, llamado arco EL, que comprende la diferencia arriba mencionada [entre los tiempos de salida en la esfera recta y la esfera oblicua], desde el tiempo de salida del arco de la eclíptica en la esfera recta en cuestión, y por lo tanto para obtener el tiempo de salida del mismo arco en la latitud dada.
Como un ejemplo, tomemos nuevamente la latitud del paralelo a través de Rodas.
Aquí
arco 2 * EQ = 37;30º,
entonces Cuerda arco 2 * EQ ≈ 38;34p.
Luego 60 / 38;34 = 9;33 / 6;8
= 18;57 / 12;11
= 28;1 / 18;0
= 36;33 / 23;29 <ref name="Referencia 078"></ref>
= 44;12 / 28;25
= 50;44 / 32;37
= 55;45 / 35;52 <ref name="Referencia 079"></ref>
= 58;55 / 37;52,
Y la cuerda arco 2 * EL es igual a la cantidad de arriba [6;8p, etc.] en cada uno de los intervalos de a 10º arriba mencionados, mitad del arco [que] él subtiende, nombrado arco EL, asumirá los valores siguientes:
para los primeros 10º 2;56º
hasta el fin del segundo 5;50º
hasta el fin del tercero 8;38º
hasta el fin del cuarto 11;17º
hasta el fin del quinto 13;42º
hasta el fin del sexto 15;46º
hasta el fin del séptimo 17;24º
hasta el fin del octavo 18;24º
hasta el fin del noveno, obviamente, 18;45º.
Y los correspondientes tiempos de salida en la esfera recta, son los siguientes:
para los primeros 10º 9;10º
hasta el fin del segundo 18;25º
hasta el fin del tercero 27;50º
hasta el fin del cuarto 37;30º
hasta el fin del quinto 47;28º
hasta el fin del sexto 57;44º
hasta el fin del séptimo 68;18º
hasta el fin del octavo 79;5º
y hasta el fin del noveno 90º. (*)
(*) (los grados de tiempo del cuadrante en su totalidad), es claro que por substracción, la diferencia dada por el arco EL, del tiempo de salida correspondiente en cada caso en la esfera recta, obtenemos los tiempos de salida de los mismos arcos en la latitud en cuestión.
Estos son
para los primeros 10º 6;14º
hasta el fin del segundo 12;35º
hasta el fin del tercero 19;12º
hasta el fin del cuarto 26;13º
hasta el fin del quinto 33;46º
hasta el fin del sexto 41;58º
hasta el fin del séptimo 50;54º
hasta el fin del octavo 60;41º
y hasta el fin del noveno 71;15º. (*)
(*) (Ej. para el cuadrante en su totalidad), (que corresponde a la longitud de la mitad del día [más corto]).
Los segmentos de diez grados saldrán en los siguientes grados de tiempo:
1 ro. 6;14º
2 do. 6;21º
3 ro. 6;37º
4 to. 7;1º
5 to. 7;33º
6 to. 8;12º
7 mo. 8;56º
8 vo. 9;47º
9 no. 10;34º.
Una vez que hemos establecido lo de arriba, los tiempos correspondientes de salida de los cuadrantes restantes inmediatamente serán establecidos sobre la misma base, por medio de los teoremas expuestos arriba.
En el mismo sentido calculamos los tiempos de salida cada 10º para todos los otros paralelos con los que uno podría comenzar sobre todo en la presente práctica. Para usos futuros los asignaremos en una tabla, comenzando con el paralelo por debajo del Ecuador, e ir tan lejos como con el paralelo con su día más largo de 17 horas. Los paralelos son tomados en intervalos de ½ hora [desde el día más largo], y las diferencias son insignificantes [de los cálculos computacionales] de los resultados derivados por una interpolación lineal [entre intervalos de media hora]. En la primera columna pondremos los 36 intervalos de 10 grados del círculo, y seguidamente los grados correspondientes de tiempo de salida (de los tiempos) de aquel arco de 10º en la latitud en cuestión, y en la tercera, la suma acumulada, tal como sigue.
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=='''Notas de referencia'''==
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}}
(69) Ver HAMA 34-7, Pedersen 110-13.
(70) Ej. el equinoccio de primavera define “Aries 0º”, etc. Esta especificación fue necesaria dado que otras normas existían en la antigüedad, notablemente aquellas donde el equinoccio de primavera estaba en 8º y 10º (derivado de la práctica Babilonia). Ver HAMA II 594-8.
(71) Cf. II 3.
(72) Aquí (H122,4) y en H122,10 y H123,13 los manuscritos según la tradición griega y árabe dan 70;32,p; para la cuerda de 72º, teniendo en cuenta la tabla de cuerdas, este es de 70;32,3p (hallada sólo en el manuscrito germano). ¿Es una prueba de que hubo una más temprana versión de la tabla de cuerdas? Cf. n. 19.
(73) Leer segmento segmento segmento (con el manuscrito B, Is) para segmento segmento (156;41) en H122,7. Corregido por Manitius.
(74) Leer segmento o segmento (con el manuscrito Ar y las variantes del manuscrito Griego) para segmento segmento segmento (41;9,18) en H123,11. Corregido por Manitius.
(75) Corrigiendo el error de impresión “ME” en H123,21, con el de Manitius.
(76) Este arco EN es conocido en la astronomía medieval como la “diferencia ascendente”. Ver HAMA 36 y 980-2, y Neugebauer-Schmidt.
(77) Calculado desde las figuras de Ptolomeo: 36;31,42. Para un arco de 40º, un valor más preciso para cuerda arco 2 * KZ podría ser 115;52,26p. De cualquier modo, substituyendo aquello primordial por 36;31,40 aquí. Tanto en un caso como en el otro, 36;32 el resultado puede ser corregido al minuto mas próximo. Esta es la lectura del manuscrito de Gerardo de Cremona (Ger), pero el resto de la tradición es unánime para 36;33.
(78) Cálculos precisos con 36;33 dan aquí 23;29,36, mientras [que con] 36;32 (ver. n. 77) dan 23;28,58. Se piensa en favor de la lectura 36;32, pero no es decisiva.
(79) Calculado: 35;50,6. de cualquier manera 35;52 está garantizado por 17;24 para el séptimo arco por debajo de 10º (35;50 previo a 17;23º).
[[Categoría:Almagesto]]
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