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La teoría general de la relatividad.

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hiperbólicas $G=\pm 1$; corresponden al círculo que, en la geometría corriente, contiene los puntos de igual distancia 1.

Si trasladamos aquí la fórmula [87] de la teoría de las superficies obtenemos, para la invariante s, la expresión

$s^{2}=g_{11}x^{2}+2g_{12}xu+g_{22}u^{2}$,

siendo x y u = ict las coordenadas gaussianas de un punto cualquiera P de la malla en cuestión.

Si ahora ponemos, en lugar de u, ict, tenemos

$s^{2}=g_{11}x^{2}+2icg_{12}xt-c^{2}g_{22}t^{2}$,

o con otra designación de los factores:

$s^{2}=g_{11}x^{2}+2g_{12}xt+g_{22}t^{2}$.

Los g₁₁, g₁₂ y g₂₂ llámanse factores determinativos de la medida y pueden interpretarse directamente en sentido físico. Así, por ejemplo, para t = 0, s es igual a ${\sqrt {g_{11}x}}$, es decir, ${\sqrt {g_{11}}}$ significa la longitud verdadera del lado espacial de la malla en el sistema de referencia en que esta inmóvil.

En el universo de cuatro dimensiones, la distancia invariante s entre dos puntos, cuyas coordenadas gaussianas relativas son x, y, z, t, quedará representada por una expresión de la forma:

${\begin{aligned}s^{2}&=g_{11}x^{2}+g_{22}y^{2}+g_{33}z^{2}+g_{44}t^{2}\\&+2g_{12}xy+2g_{13}xz+2g_{14}xt\\&+2g_{23}yz+2g_{24}yt+2g_{34}zt\end{aligned}}$.[88]

Podemos llamar a esta fórmula el teorema de Pitágoras generalizado para el universo de cuatro dimensiones. Las magnitudes g₁₁....g₃₄ son los factores determinativos de la medida; tendrán, en general, distintos valores de malla en malla en la red de coordenadas. También tendrán valores distintos si se eligen otras coordenadas gaussianas; pero estos valores están en relación con los primeros por medio de determinadas fórmulas de transformación.