pequeñas secciones mensurables de la longitud s1, s2, s3....; entonces la suma
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es para la linea geodésica entre dos puntos P1 y P2 más pequenña que para otra cualquier línea entre ellos (fig. 128). Las s1, s2.... pueden determinarse por puro cálculo merced al teorema de Pitágoras generalizado [87], si g11, g12 y g22 son conocidas.
Sobre la superficie de una esfera es sabido que las lineas más cortas son los «circulos máximos»; éstos están formados por los planos secantes que pasan por el centro de la esfera. En otras superficies son muchas veces curvas muy complicadas; y, sin embargo, son las más sencillas las que forman el andamiaje de la geometría en las superficies, justamente como son las líneas rectas las que forman el andamiaje de la geometría euclidiana del plano.
Las líneas geodésicas son, naturalmente, expuestas por fórmulas invariantes; son reales propiedades geométricas de las superficies. De esas invariantes pueden deducirse todas las superiores, pero no podemos detenernos en este punto.
Otra propiedad fundamental de las superficies es su curvatura. Comúnmente defínese merced a la tercera dimensión del espacio; la curvatura de una esfera se mide, por ejemplo, por medio del radio de la esfera, es decir, de una distancia que se halla fuera de la superficie de la esfera. Nuestro agrimensor, en la floresta montañosa, no podrá emplear ese medio; no puede salir de su superficie, y debe probar a establecer las relaciones de curvatura con sólo su cinta métrica. Y ello es realmente posible; Gauss lo ha demostrado sistemáticamente. Podemos comprenderlo por la siguiente sencilla reflexión.
El agrimensor, con su cinta métrica, mide 12 cuerdas de igual longitud y forma con ellas el hexágono reproducido en la figura 129. Según un conocidísimo teorema de la geometría
