plano xt hay igualmente un número infinito de sistemas de coordenadas igualmente válidos, en los cuales uno de los ejes puede ser elegido a capricho dentro de un cierto ángulo.
En la geometría euclidiana la distancia s de un punto P al punto cero queda expresada por las coordenadas x é y, según el teorema de Pitágoras, por la fórmula siguiente (fig. 123):
y esta expresión es invariante frente a una rotación del sistema de coordenadas, es decir, que para un sistema x'y' será s2 = x'2 + y'2. La curva estimativa es representada por s = 1.
En el plano xt, la invariante fundamental es:
y la curva es
Minkowski ha observado que aquí se manifiesta un paralelismo que da mucha luz acerca de la estructura matemática del universo cuatridimensional (y, por tanto, del plano xt). En efecto, si se pone -c2t2 = u2, tendremos:
y entonces G puede concebirse como invariante fundamental s2 de una geometría euclidiana con coordenadas rectangulares x, u.
Sin duda, no es posible sacar la raíz cuadrada de la cantidad negativa -c2t2 y u mismo no puede calcularse por el tiempo t. Pero la matemática está habituada desde hace mucho tiempo a vencer con audacia tales dificultades. La cantidad «imaginaria» tiene, desde Gauss, derecho de ciudadanía en el Estado matemático. No podemos ocuparnos aquí de la estricta fundamentación de la teoría de los números imaginarios; en el fondo no son ni más ni menos «imaginarios» que un quebrado, como ⅔. En efecto, los números «con que se calcula» son propiamente sólo los números naturales, los enteros 1, 2, 3, 4..... El número 2 no puede dividirse por 3, y ⅔ es una opera-
