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El principio especial de la relatividad.

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segundo orden en $\beta ={\tfrac {v}{c}}$. Pues con esa aproximación puede escribirse

${\frac {1}{1-{\frac {vc_{1}}{c^{2}}}}}={\frac {1}{1-{\frac {\beta }{n}}}}=1+{\frac {\beta }{n}}=1+{\frac {v}{nc}}$;

esto es:

${\begin{aligned}c'_{1}&=(c_{1}-v)\left(1+{\frac {v}{nc}}\right)\\&=c_{1}-v+{\frac {vc_{1}}{nc}}-{\frac {v^{2}}{nc}}\end{aligned}}$,

y prescindiendo otra vez del miembro último, que es del segundo orden, y poniendo ${\tfrac {c_{1}}{c}}={\tfrac {1}{n}}$:

$c'_{1}=c_{1}-v\left(1-{\frac {1}{n^{2}}}\right)$.

Y ésta es exactamente la fórmula de arrastre de Fresnel.

La segunda de las fórmulas [85] representa el principio de Doppler; éste se aplica comúnmente al vacío, poniendo, pues, c₁ = c, y entonces del teorema de la adición de las velocidades se sigue, como es sabido (pág. 287), también que c'₁ = c. La segunda de las fórmulas [85] resulta, pues:

$\nu '=\nu {\frac {\alpha }{1+{\frac {v}{c}}}}=\nu {\frac {\sqrt {1-\beta ^{2}}}{1+\beta }}$;

pero 1 - β² = (1 - β)(1 + β); por lo cual puede escribirse:

$\nu '=\nu {\frac {\sqrt {(1-\beta )(1+\beta )}}{1+\beta }}=\nu {\sqrt {\frac {1-\beta }{1+\beta }}}$,

La fórmula estricta del efecto de Doppler recibe así la forma simétrica siguiente:

$\nu '={\sqrt {1+{\frac {v}{c}}}}=\nu {\sqrt {1-{\frac {v}{c}}}}$,