material, y obtienes la recta. Después se establecen leyes que han de valer entre esas formaciones de la intuición abstracta; y sin duda el gran descubrimiento de los griegos fué que basta admitir un pequeño número de esas leyes para tener que aceptar las demás como exactas por fuerza lógica. Esas proposiciones básicas son los axiomas; su exactitud no es demostrable; no se originan por lógica, sino que nacen de otras fuentes del conocimiento. Sobre cuáles sean estas fuentes, han desarrollado varias teorías los filósofos todos de siglos posteriores. La geometría científica ha aceptado los axiomas, como dados, hasta fines del siglo XVIII, y sobre ellos ha construido su sistema puramente deductivo de teoremas.
No podremos por menos de exponer detenidamente la cuestión acerca del sentido de las formaciones elementales designadas con las palabras punto, recta, etc..., y acerca del fundamento en que se apoya el conocimiento de los axiomas geométricos. Pero ahora nos situaremos en el punto de vista que supone que sobre esas cosas reina completa claridad; provisionalmente operaremos con los conceptos geométricos, como los hemos aprendido en la escuela—o al menos debiéramos haberlos aprendido—y como innumerables generaciones humanas lo han hecho. Pueden bastar para justificarnos el carácter intuitivo de numerosas proposiciones geométricas y la aplicabilidad del sistema todo para orientarnos en el mundo real.
5. El sistema de Ptolomeo.
El cielo aparece a la vista como una cúpula más o menos plana, en la cual están clavados los astros. Esa cúpula, empero, da vuelta, en el curso de un día, alrededor de un eje, cuya posición en el cielo está determinada por la estrella polar. Mientras esta apariencia pasó por realidad, era superflua la traslación de la geometría de la Tierra al espacio cósmico, y de hecho no se verificó; pues no existen longitudes, distancias que pudieran medirse con unidades terrestres, y para designar las posiciones de los astros basta indicar el ángulo aparente que la
