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GENERALIZACIÓN DE LA FÓRMULA DE SIMPSON

n + 1 coeficientes A0, A1, ... An y los n - 1 valores x1, x2, ... xn - 1 comprendidos entre -1 y +1 de tal manera que la fórmula

(1)

exista, cualquiera sea la función f(x) entera de grado 2n - 1.

La solución es la siguiente. Hágase.

(2) .

Teniendo la función (x2 - 1)n las raíces -1 y 1 multiplos de orden n, su derivada (n-1)ma, Yn, tendrá las raíces x0=-1, xn=1, simples, y n - 1 raíces x1, x2, ... xn - 1 distintas y comprendidas entre -1 y +1. Se calculan los coeficientes A0, A1, ... con la fórmula

(3)

Entonces existirá la fórmula (1).

De hecho, se divide la f(x), función entera de grado 2n - 1, por Yn, de grado n + 1; son φ(x) el cociente, ψ(x) el resto, donde:

(4)

Será ψ(x) de grado n, y φ(x) de grado n - 2. Atribuyendo a x los n + 1 valores x0, x1, ... xn por lo cual se anula Yn, se tiene

, , ... .

Entonces la función ψ(x), entera, de grado n, del cual se conocen los valores para n + 1 valores de la variable, se puede expresar con la fórmula de interpolación de Lagrange:

(5)