las formas generales de las funciones que, en su último caso, son las trascendentes, comprendiendo dentro de esta extensión las funciones enteras y racionales, los dominios más reducidos, á las que siguen las irracionales; pues tenemos, sobre éstas, las funciones logarítmicas, las circulares é hiperbólicas, las eulerianas, las elípticas, etc.
Pero el Álgebra y la teoría de los números que estudian las cantidades finitas y la teoría de las funciones, ya de variables reales ó complejas, quedan muy reducidas ante los problemas que se presentan en la teoría general de las funciones; las series y los productos infinitos son instrumentos de su determinación; y además de este estudio de la cantidad, existe el estudio de su generación infinitesimal.
Los cálculos llamados diferencial é integral corresponden á una primera fase del estudio de las funciones, bajo forma explícita.
El cálculo de las diferencias finitas, directas é inversas, es el cálculo generador, por medio del primer algoritmo fundamental; y el cálculo de las factoriales da la generación, por medio de la suma y de la potenciación, siendo la teoría de las ecuaciones de diferencias el complemento, análogo al de las ecuaciones algebraicas, que permite el cálculo general de las funciones implícitas.
Además, el cálculo de las variaciones es análogo al de la sistematización geométrica. De igual manera que en ésta, una figura se transforma en otra y el plano ó el espacio se hallan poblados ó cubiertos por infinidad de formas geométricas, los dominios numéricos ó funcionales se hallan poblados de funciones, al permitir el cálculo de variaciones pasar de una función á otra muy próxima, y variar, hasta deformarse, como las figuras geométricas; y, ciertamente, auxiliándose de representaciones geométricas, que son sus esquemas, ó entidades geométricas, debidas á una generación algorítmica, por efecto de la compenetración ó correlación, que tienen entre sí el número y la extensión; pudiendo, indiferentemente, sustituirse los puntos por números y los números por puntos.
Y sobre este cálculo de las diferencias finitas existe el cálculo infinitesimal. La derivada en éste es como la unidad en Aritmética. Mediante las derivadas, las funciones se relacionan unas con otras.
