Además, podemos imponer condiciones expeciales. Por ejemplo, que se trate solo de números enteros; y entonces aparece la teoría de los números, cuyo instrumento es la ecuación de congruencia; y como en Geometría las figuras, en esta rama, aparecen las clases de números, pudiéndose parangonar cada clase de números á una figura determinada.
Así como, por ejemplo, tenemos el espacio surcado ó lleno de complejos, congruencias de rectas, superficies, etc., y hasta de complejos de círculos, etc.; los números se destacan sobre el fondo de los diversos dominios, en virtud de las leyes que fija la inteligencia, ya mediante algoritmos impuestos, ya mediante la simple correspondencia que da la función analítica.
El caso más sencillo de estas relaciones, en los dominios de puntos, está dado por las secciones de Dedekind, que corresponden á los números irracionales, intercalados con los racionales en el dominio continuo, ó simplemente, el continuo.
En general, el estudio de las funciones de variables reales tiene por soporte ó sustratum las varias especies de conjuntos, constituyendo así la teoría de los conjuntos, una rama importante en la teoría de las funciones, que estudia sus oscilaciones, saltos, etc., para llegar á su clasificación.
Tomado el plano de Cauchy ó la superficie de Riemann, se tienen nuevos dominios, en los que se desarrolla la teoría de las funciones de variables complejas y analíticas; donde se hallan, como capítulos importantes, la teoría de los residuos de Cauchy y la prolongación analítica de Weierstrass.
Esta rama del Análisis puede llamarse Cálculo directo de las funciones; su objeto es la formación de las mismas y la investigación de sus propiedades; y corresponde á la parte de la Algoritmia, donde se estudia la forma de las expresiones, y además, lo esencial de la cantidad, en cada una de sus formas. Tanto en la teoría de las funciones de variables reales como en la de las de variables complejas, se trata además, de las oscilaciones y los saltos, de sus singularidades y en las clases superiores de su periodicidad, simple y múltiple.
Las series, los productos infinitos y las integrales definidas, son
