De una manera más concreta, en el orden objetivo, conduce á la sustitución de condiciones en los teoremas. Así por ejemplo, en la Geometría, la sustitución de una recta por todas las que forman todos los ángulos posibles con ella (incluso el ángulo cero que reproduce la misma recta ó su paralela), da lugar á teoremas que son casos particulares de un teorema fundamental.
La ley de cambio ó de permanencia. Esta rige todas las transformaciones continuas ó discontinuas de los sistemas. Comprende toda clase de transformaciones, lineales, cremoniana, continuas, etc., é incluye como caso particular la invariación. Al transformase, de una manera continua, un sistema (Grupos continuos), algo queda invariante. Y en este caso origina la llamada Álgebra de las formas, que se compenetra con la Teoría de los grupos.
Y puesto que la teoría de los grupos comprende por igual la Geometría y el Análisis; de igual manera interviene la teoría de los invariantes, covariantes, etc., según la naturaleza de la cuestión que se trate.
La Geometría cartesiana y la de Staudt, examinan la misma cuestión, de distinto modo ó con distinto procedimiento. Son en esencia una. Aunque la primera, con recursos más poderosos, que le presta el Análisis; pues el número es siempre entidad más ideal y evoluble que el punto, la recta ó cualquiera otra figura geométrica.
Tenemos pues, que la invariación interviene directamente en el Álgebra de las formas é, indirectamente, en la Geometría, cuyos la variantes son los puntos en el infinito y los puntos circulares ó una cónica, y también en la teoría de las formas y en la de los grupos.
El concepto de grupo invade todos los dominios de la matemática.
La combinatoria, en general, sirve para dar elementos de expresión á las fórmulas, que están constituidas por los elementos cuantitativos y los representativos de orden ó de combinación.
El concepto de integral penetra también en todos los dominios, con su carácter analítico.
La diferencial es el elemento generador de todo, tanto en el orden algorítmico como en el geométrico.
Las curvas y superficies tienen una doble generación geométrica y analítica.
