El instrumento es la generación, por movimientos infinitesimales. Su representante más genuino es la Geometría cinemática, cuya creación se debe á Mannheim.
Geometría diferencial. Es una geometría cartesiana infinitesimal. Emplea las coordenadas; pero sus ecuaciones son diferenciales. Corresponde al método inverso de las tangentes. Por las direcciones de éstas, se obtiene la curva correspondiente. El instrumento es la integración. Su elemento generador es un complejo de dos puntos de una recta y su distancia infinitesimal. Por la integración resulta el todo, formado por estos elementos.
Geometrías proyectivas. Estas son analíticas ó sintéticas. La primera manifestación de esta Geometría se halla en la obra de Desargues, Brouillon projet (1639). Pascal empleó también la perspectiva. En el siglo xix Poncelet fué el más genuino representante de esta Geometría, fundada en la proyección central. Su instrumento consiste en las propiedades de las transversales, consignadas en los teoremas de Menelao y de Carnot. Estas propiedades son una variedad de la relación anarmónica.
a) La Geometría superior de Chasles es una Geometría analítica. Su instrumento es la relación anarmónica, que da un número correspondiente á un punto. Las diversas maneras de combinar los elementos (punto, recta, plano) dan las construcciones intermedias, por las que se obtienen las figuras. Sus instrumentos son las ecuaciones de dos, tres y cuatro términos.
Esta Geometría adquiere mayor generalidad al aplicarse al Álgebra de las formas. La relación anarmónica se traduce en una relación invariante, lo que establece la correspondencia entre el Álgebra y la Geometría. El instrumento es la transformación lineal, por el que adquiere esta Geometría un carácter sistemático.
b) La Geometría de la posición. Esta Geometría, debida á Staudt, es la Geometría superior de Chasles ó proyectiva, sin otra diferencia que haberse sustituido la expresión analítica de la relación anarmónica por la construcción gráfica de las formas armónicas. El instrumento de esta Geometría es el cuadrilátero completo.
Recapitulación. La Geometría es un organismo, cuyo carácter
