analíticas de Weierstrass, y tiene su lugar natural en los Tratados de Análisis ó de Cálculo infinitesimal.
La Teoría de las funciones analíticas se reduce á la de las series enteras, independientemente de la consideración de las diferenciales. Bien es cierto, que la teoría de los conjuntos conduce á una teoría análoga á la de los infinitos de los diversos órdenes.
Hemos visto cómo en la teoría de las funciones, los elementos geométricos dan un fondo que permite seguir de una manera intuitiva las fases de su existencia, ya en la recta, en el plano, en el espacio ó en otro fondo más ó menos complicado, que nos ofrece el Analysis situs.
Funciones de variables complejas. Como en la teoría de las funciones de variables reales, el fondo sobre que se desarrolla una función de variable compleja es un dominio de puntos que puede ser de un número cualquiera de dimensiones, caso considerado por Weierstrass; pero generalmente, el plano simple ó múltiple es el sustratum de dichas funciones.
Las series uniformemente convergentes y las integrales definidas son dos modos generales de expresarse las funciones.
El estudio general de las funciones de variables complejas ofrece hoy dificultades por su gran extensión. No obstante el campo en que se desarrolla es vasto y espléndido.
El objeto capital del estudio de una función es el estudio de sus singularidades. Por éstas se halla caracterizada cada función.
El modo de distribución de los ceros, los polos, los puntos críticos esenciales ó no esenciales caracteriza á una función. Las singularidades sirven de base á la clasificación de las funciones. En cuanto á sus varias particularidades principales, indicaremos que son la oscilación, el salto, la periodicidad simple, doble, etc.
En esta teoría pueden darse previamente las singularidades de una función, para obtenerla, como ha hecho M. Mittag-Leffler.
Hoy lo culminante de esta teoría es el estudio de las transcendentes, ya dadas por series, por integrales ó por ecuaciones diferenciales.
Un procedimiento general, en la teoría de Weierstrass, es la prolongación analítica.
