que son los números ideales ó los ideales, que entran en el sistema llamado cuerpo finito de números, por lo que el concepto de grupo domina también la teoría de los números.
No ya los números, sino las funciones algebraicas se someten á las ecuaciones de congruencia, constituyendo la teoría de las congruencias de funciones, que da origen al estudio del campo ó cuerpo de Galois.
Kummer, Dedekind y Kronecker llevan la teoría de los números á los sistemas de funciones dependientes de n parámetros, expresados por las ecuaciones de congruencia. Así, dice Herr Hensel, que Kronecker extendió el concepto y aplicaciones de la teoría de los números á la investigación de las funciones de cierto número de variables, y Dedekind estableció, para los números algebraicos, lo que Gauss había consignado para los números racionales.
Funciones de variables reales. Esta teoría ofrece dos desarrollos: El clásico y el moderno. El clásico se limitaba al estudio de las funciones continuas, exclusivamente. La integración de funciones es como el cálculo explícito; la integración de las ecuaciones diferenciales corresponde á la resolución de las ecuaciones algebraicas, problema resuelto, desde Newton hasta Jacobi, con la finalidad de obtener una expresión analítica de la función, cuya diferencial ó cuyas diferenciales se dan en la ecuación ó ecuaciones propuestas. Pero Riemann señaló nuevos rumbos al establecer en nueva forma el concepto de integral.
La teoría de las funciones de variables reales sufre una evolu ión en la teoría analítica del calor de Fourier y la memoria de Riemann sobre las series trigonométricas. El estudio de las discontinuidades tiene capital importancia.
Los trabajos de M. Darboux acerca de las discontinuidades de las funciones y del Sr. Dini sobre las funciones de variables reales y de la serie de Fourier han comenzado un importante desarrollo de la teoría, á que contribuyeron también Hankel y Du Bois Reymond, representando las funciones por integrales definidas.
Hoy, tomando por base los conjuntos del Sr. Cantor, los señores Poincaré, Borel, Hadamard, Baire, Le Besgue, Lindelöf, etc., continúan esta evolución, que entra en la Teoría de las funciones
