La teoría de los números. Esta superior teoría estudia los varios dominios de los números, los clasifica y los sistematiza. Análogamente á, como en geometría analítica, una ecuación ordinaria representa un lugar geométrico, en la teoría de los números, representa un lugar numérico. Cada ecuación de congruencia da un sistema de números, distribuídos en clases.
En Geometría, los puntos son elementos que constituyen figuras ó superficies. En la teoría de los números, los puntos representan números de los conjuntos ó de dominios varios. La moderna teoría de los conjuntos de Cantor distribuye sistemas de puntos que corresponden á sistemas de números, como base de la superior teoría de las funciones de variables reales. En vez de darse implícitamente las funciones, se dan arbitrariamente, se construyen por condiciones previamente fijadas.
En el estado actual de la Matemática, la teoría de los conjuntos debe ser el preliminar común de la teoría de los números y de las funciones de variables reales.
Las ecuaciones de congruencia expresan lugares algorítmicos, cuyos teoremas fundamentales son los de Fermat y de Euler. La indeterminación que da el exceso de variables se compensa con la determinación del total de sus raíces.
En Álgebra, los números se hallan distribuidos en cada una de las ecuaciones irreducibles, distribución importante para el estudio de las funciones. En la teoría de los números, éstos se distribuyen también. Y así como, en Geometría, los sistemas de puntos se corresponden por sus relaciones proyectivas, en la teoría de los números se efectúan varias proyecciones: 1.ª La de los conjuntos que se refieren, unos á otros, por una correspondencia biunívoca. 2.ª La de los sistemas numéricos imágenes de otros, mediante relaciones proyectivas, dadas por sistemas de transformaciones, como en Geometría.
La teoría de la equivalencia de las formas es como la superposición geométrica. Las formas equivalentes son sistemas que dan los mismos números.
Tenemos, en primer lugar, los números algebraicos que forman un grupo, y enseguida los sistemas de Kummer y Dedekind
