Pero la Aritmética debe conservar su lugar primero, no solo por exigencias pedagógicas; porque es como la Gramática de la lengua algorítmica, donde se hallan los primeros términos de expresión de sus elementos fundamentales.
El Álgebra es, en rigor, el primer tratado de la Algoritmia. Podemos decir, con Wronski, que el Álgebra es la ciencia de las leyes de los números y la Aritmética la ciencia de los hechos, lo que corresponde á sus dos grandes divisiones de Algoritmia y Tecnia, que se refieren á la naturaleza y á la medida de las cantidades, dependientes de la especulación y la acción, lo que es, lo que es necesario hacer.
Además, el Álgebra ordinaria es una rama de infinidad de Álgebras, formadas por leyes combinatorias, impuestas a priori, que pueden tener, en las aplicaciones, sus geometrías correspondientes, como por ejemplo, los cuaternios.
El Álgebra es la Algoritmia de las cantidades finitas. Comprende dos partes: El cálculo directo, que procede por combinaciones cualquiera de los algoritmos fundamentales; el cálculo inverso ó teoría de ecuaciones. El primero es el cálculo de las funciones explícitas, y el segundo el de las implícitas, cuyas dificultades son inmensamente mayores que las del primero.
Este cálculo se efectúa de dos maneras, que constituyen la resolución numérica y la resolución algebraica. La primera es una Aritmética, con su carácter constructivo, fundada en algunas propiedades de las funciones continuas, que constituyen un capítulo del Álgebra, debido á las investigaciones que principian en Descartes y terminan con los resultados debidos á Sturm, Cauchy y Sylvester.
La resolución algebraica está subordinada á la teoría combinatoria de los grupos y tiende hoy á fundirse parcialmente, en sus últimas ramificaciones, con la teoría de los números ó Aritmología.
La teoría de los grupos discontinuos, entre otras aplicaciones, tiene la resolución algebraica de las ecuaciones.
Herr Klein ha obtenido importantes resultados para la resolución de la ecuación de quinto grado en su obra, Das Ikosaeder Gruppen.
