nen un lugar muy reducido en la ciencia, y solo se presentan como casos particulares.
Los geómetras de los siglos xvii y xviii no podían concebir representada geométricamente una función, más que por un trazo continuo. Hace medio siglo se admitía que toda curva tiene una tangente. Herr Klein ha obtenido curvas sin tangentes. «Si Newton y Leibnitz, dice M. Picard, hubieran pensado que las funciones continuas no tienen necesariamente una derivada, lo que constituye su carácter general, no habría aparecido el cálculo diferencial; y análogamente, las ideas inexactas de Lagrange sobre la posibilidad de los desarrollos en series de Taylor, han sido sumamente útiles» (Sur le dévéloppement de l'Analyse, 1900).
Herr Klein en The Evanston Colloquium (1893), distingue la intuición sencilla (naïve) de la perfeccionada (refined). La primera no es exacta, no siendo la segunda propiamente intuición; y mediante una serie indefinida de proyecciones de un sistema de circunferencias tangentes, obtiene que el lugar de los puntos de contacto no es una curva analítica, constituyendo una variedad de puntos, por todo densa.
Que la intuición no conduce al rigor ni á la certeza, lo establece M. Poincaré en su memoria Du Role de l'Intuition et de la Logique en Mathématiques (Compt. rendues du second Congrès, etc. 1900). Lo que se gana en rigor se pierde en objetividad, dicen los filósofos.
M. Couturat, en L'Infini, lleva á un grado extremo la exposición lógica de las teorías matemáticas, desterrando en absoluto la intuición.
Esto lleva á la cuestión de las definiciones. Los objetos de la Matemática, en general, han sido mal definidos. Y en este punto han concentrado sus investigaciones los matemáticos y algunos filósofos modernos, como puede verse en las obras citadas de M. Liard, Les définitions géométriques et les définitions empiriques (1888), y de M. Milhaud, Essai sur les conditions et les lim. de la certitude logique y Le rationnel (1898).
Además, M. Poincaré ha tratado de estas cuestiones en L'Enseignement mathématique (1899) y sus obras recientes: Science et Hypothèse y la Valeur de la Science.
