Amplificando la idea de Carnot, aplica el principio de continuidad ó de permanencia de las relaciones matemáticas, sucesivamente á la Geometría analítica y á la métrica.
La Geometría analítica se apoya en las dos hipótesis de que la continuidad subsiste en las relaciones primitivas de un sistema, en las leyes generales que lo definen y en los resultados de las combinaciones y operaciones del Álgebra.
Cada una de las ecuaciones que definen las líneas, no es más que la expresión algebraica de una propiedad geométrica perteneciente á los puntos individuales de aquéllas; y puesto que esta prpiedad se obtiene de las nociones de la Geometría pura, y su extensión tiene su razón de ser en un hecho, no puede resultar de ningún principio extraño á la Geometría; y la regla de los signos, resulta de este hecho puramente geométrico. Lo mismo sucede, en cuanto á la admisión de las imaginarias. Puesto que, en las figuras consideradas, la cosa representada pierde su existencia, precisamente en los mismos límites en que la expresión algebraica correspondiente se hace imaginaria, es posible y se puede permitir el adoptar siempre, esta expresión como la definición rigurosa y la expresión exacta de dicho objeto.
El suponer que las letras representativas de las cantidades tengan toda la indeterminación posible, contribuirá á que se confundan, sin intención expresa, las operaciones sobre magnitudes indeterminadas ó implícitas con las absolutas, como por ejemplo a - b, , etc, ya sea a mayor ó menor que b; y entonces se abandonará el razonamiento explícito ordinario, considerándose dichas expresiones como si representaran magnitudes numéricas absolutas.
Observa Poncelet que, si Vieta y otros geómetras llegaron á ciertos seres de razón que contrariaban al entendimiento, esto dependía de haber representado las magnitudes limitadas y finitas por caracteres extraños á estas magnitudes, y aparecen con una indeterminación, que no tienen realmente, obligando á razonar de una manera implícita, sobre las combinaciones abstractas del cálculo, sin permitir la naturaleza de las expresiones algebraicas, resultado de estas combinaciones.
Respecto á la Geometría que llama Poncelet, racional, observa
