Manual de finanzas personales y de familia/Capítulo 5
Capítulo 5
EL
USO
DE LAS
MATEMÁTICAS
FINANCIERAS
Matemáticas y cálculo financiero
A diferencia de lo que algunas personas creen, las matemáticas, además de necesarias, son entretenidas. De hecho, el físico chileno Igor Saavedra (1932-2016) instaba a sus estudiantes a que fueran políglotas; es decir, que dominaran varios idiomas, tres o cuatro al menos: el lenguaje matemático, sin el cual perdemos la capacidad de abstracción y lógica; la lengua madre, el español en nuestro caso; el de las nuevas tecnologías, de la información y de las comunicaciones; y el dominio de un idioma instrumental como el inglés en la época de Saavedra y que hoy tal vez sería el chino mandarín.
Además, las matemáticas son divertidas. Se puede jugar, descubrir errores fácilmente y hacer algunos trucos. El autor del primer tratado de contabilidad, Fray Luca Pacioli, también era mago, incluso, a fines del 1500, escribió un manual de prestidigitación con el que entretenía a las cortes de la época; entre ellos, a la acaudalada familia de los Medicis, reconocidos mecenas.
Las matemáticas financieras también pueden ser atractivas. Aunque el resultado de un cálculo financiero no te alegre si, por los intereses, te informa que aumentó tu deuda; alguna sonrisa te sacará si te indica las ganancias de tus inversiones.
Comisión e interés
Si has hecho una inversión financiera o si has pedido un préstamo, ya conocerás de comisiones e intereses. Para calcularlos se aplican las matemáticas financieras; desde las cuatro operaciones básicas, pasando por fórmulas de cálculo de intereses, hasta cuestiones más sofisticadas de corto y largo plazo. Descubrirás, entonces, que es necesario saber de finanzas. Despejemos ahora el significado de estos dos términos de uso frecuente.
Comisión es el valor que se cobra o paga por un servicio financiero o intermediación comercial. Puede ser un valor fijo, un porcentaje determinado en función de la operación o un monto variable.
Interés es una medición utilizada en economía y finanzas para conocer la rentabilidad de las inversiones (lo que se gana) o el costo de un crédito bancario (el gasto). Para la inversión, la rentabilidad se presenta como un valor agregado, mientras que, para el costo, representa un monto que aumenta el crédito. En ambos casos, el interés corresponde al valor del dinero a través del tiempo.
El interés siempre es referido a un período (anual, mensual, diario) y se puede presentar como tasa de interés, porcentaje de interés y monto del interés.
Formas de expresar
el interés
| TASA
(FACTOR) |
TASA
(PORCEN– TAJE) |
MONTO DE
INTERÉS | |
| 0,12
ANUAL |
= | 12 %
ANUAL |
$12.000 PARA
UN CAPITAL DE $100.000 CON TASA DE 0,12 O 12 % ANUAL |
En economías de mercado hay libertad para proponer y acordar tasas o porcentajes de interés bancario y comercial, aunque dependen del tipo de operación o producto, del monto de la inversión o crédito y del tiempo. En Chile, se actúa sobre la base de la tasa monetaria referencial del Banco Central y de disposiciones legales sobre la tasa máxima convencional.
Tasas de interés referenciales
| TASA ANUAL | OPERACIONES | EMISOR |
| 2 % | REFERENCIA PARA OPERACIONES
INTERBANCARIAS |
BANCO CENTRAL |
| 3 % A 3,5 % | DEPÓSITOS A PLAZO DE
AHORRANTES |
BANCOS COMERCIALES,
ENTIDADES FINANCIERAS, CAJAS DE COMPENSACIÓN |
| 6 % A 8 % | CRÉDITOS HIPOTECARIOS | |
| 10 % A 12 % | CRÉDITOS DE CONSUMO | |
| 20 % A 30 % | COMPRAS DE PRODUCTOS | CASAS COMERCIALES,
RETAIL, TARJETAS DE CRÉDITO |
| 30 % A 45 % | INTERÉS DE MORA |
Los mayores intereses, así como las mayores tasas, son las de las deudas morosas y las de pago en cuotas vencidas de tarjetas de crédito bancarias o del retail. Las tasas más bajas son las de los créditos hipotecarios en la adquisición de viviendas.
En el sistema financiero y de bancos hay intereses —con significados diferentes— para los que ahorran, para los que piden prestado y para el propio banco:
Interés de captación es el interés que paga el banco al ahorrante por sus depósitos de inversiones. Siempre es menor al interés de colocaciones.
Interés de colocación es el interés que el banco cobra en los préstamos que otorga. Siempre es mayor al interés de captación.
Spread bancario es la diferencia, siempre positiva, entre el interés de colocación menos el interés de captación. Constituye la utilidad para el banco.
Interés simple
Es la forma más simple para calcular intereses. La operación de cálculo está determinada por una sencilla ecuación:
INTERÉS SIMPLE=CAPITAL × TASA DE INTERÉS × TIEMPO
Donde:
I = MONTO DEL INTERÉS SIMPLE
C = CAPITAL INICIAL (sea deuda, capital o inversión)
i = TASA DE INTERÉS (puede expresarse como porcentaje y en la fórmula, como decimal)
t = TIEMPO (período en que permanece el capital)
M = MONTO O CAPITAL FINAL (capital inicial + interés)
Si aplicamos estas abreviaturas, la fórmula de interés simple queda así:
Luego, para calcular el interés de un préstamo de $1.000.000 a una tasa de interés mensual de 1% durante tres meses, el planteamiento y solución es:
I = 1.000.000 × 0,01 × 3
I = 30.000
Otras fórmulas del interés simple
Despejando cada incógnita de la fórmula anterior se obtienen otras fórmulas de interés simple para calcular el tiempo, el capital invertido, la tasa de interés o el capital final. Siempre se debe homologar la tasa de interés con el tiempo o viceversa. Si se cuenta con la tasa de interés anual y se necesita calcular el interés semestral, entonces, hay que dividir la tasa por 2, por 4 si es trimestral, por 12 si es mensual y por 365 si es diario.
Otras fórmulas para cálculos de interés simple
| TIEMPO | CAPITAL | TASA DE INTERÉS | MONTO |
| t = I / ( C × i ) | C = I / ( t × i ) | i = I / ( C × t ) | M = C + I |
| 30.000 / (1.000.000 × 0,01) = 3 | 30.000 / (3 × 0,01) = 1.000.000 | 30.000 / (1.000.000 × 3) = 0,01 | 1.000.000 + 30.000 = 1.030.000 |
CON ESTAS FÓRMULAS PUEDES DECIDIR ENTRE UNA, DOS O MÁS ALTERNATIVAS ANTES DE PEDIR UN PRÉSTAMO CON INTERÉS SIMPLE. SI LOS OTROS FACTORES QUE INTERVIENEN EN EL PRÉSTAMO SON IGUALES ¿CON CUÁL BANCO TE QUEDAS Y POR QUÉ? COMPARTE TUS CÁLCULOS.
1) EL BANCO A TE OTORGA UN PRÉSTAMO DE $2.000.000. AL CABO DE UN AÑO DEBES DEVOLVERLE $2.200.000
2) EL BANCO B TE OFRECE LOS $2.000.000 DURANTE UN AÑO A UNA TASA DE INTERÉS ANUAL DEL 9 %.
Interés compuesto
El interés compuesto se calcula sobre un capital inicial al que se suma el interés de cada período y continúa el cálculo sobre el capital más interés. Lo anterior implica que este tipo de interés es capitalizable; es decir, se aplica interés sobre interés.
Supongamos que se hace una inversión de $2.000.000, con una tasa mensual de 1 % durante cinco meses. ¿Cuál es el interés ganado al cabo de cinco meses? La siguiente tabla muestra el desarrollo.
| MESES | CAPITAL
INICIAL |
INTERÉS = 1 %
MENSUAL |
CAPITAL
FINAL |
| 1 | $2.000.000 | $20.000 | $2.020.000 |
| 2 | $2.020.000 | $20.200 | $2.040.200 |
| 3 | $2.040.200 | $20.402 | $2.060.602 |
| 4 | $2.060.602 | $20.606 | $2.081.208 |
| 5 | $2.081.208 | $20.812 | $2.102.020 |
| TOTAL DE
INTERESES |
$102.020 |
Para calcular el interés compuesto se usan fórmulas similares a las empleadas para calcular el interés simple. El objetivo es evitar extensos desarrollos.
Empleando las abreviaturas de la ecuación del interés simple, la fórmula del interés compuesto es:
Con los datos del ejemplo anterior (inversión de $2.000.000 con tasa de 1 % en cinco períodos), la secuencia de solución es:
RESULTADOS
| OPERACIÓN | CIFRA | RESULTADO | |
| PARÉNTESIS
REDONDO |
(1 + 0,01)5 | = | 1,5101 |
| PARÉNTESIS
DE CORCHETE |
[1,5101 - 1] | = | 0,5101 |
| LADO
DERECHO DE LA ECUACIÓN |
2.000.000 ×
0,5101 |
= | 102.020 |
| INTERÉS (I) | 102.020 |
Al igual que en el interés simple, en el interés compuesto se pueden encontrar diferentes fórmulas de cálculo para cada una de las variables de la ecuación y, si se quiere, ejercitar con los datos anteriores u otros, y así ir despejando incógnitas como monto, tasa de interés o tiempo.
Por ejemplo, la fórmula de monto o capital final es aún más sencilla:
M = C × (1+ i)t
Antiguamente, para facilitar los cálculos de matemáticas financieras se usaban las tablas financieras que indicaban series numéricas de factores para múltiples aplicaciones. La regla de cálculos prestó esos mismos servicios. En la actualidad, ambos instrumentos están en desuso pues fueron sustituidos por las calculadoras y los programas computacionales de hojas de cálculo. Incluso, en lo que va del siglo XXI, múltiples fórmulas financieras están incorporadas en los teléfonos móviles, disponibles para todos los usuarios.
Anualidades
La anualidad o renta es una fórmula de matemática financiera empleada para cálculos de cuotas de pagos y depósitos o retiros generalmente iguales, que se realizan en períodos regulares y con interés compuesto. La expresión «anualidad» no significa que las rentas tengan que ser año a año, sino que se da a cualquier secuencia de pagos igual y con intervalos regulares, sean estos semestrales, trimestrales o mensuales.
Las anualidades son usadas cotidianamente ya que se aplican a los sueldos, al seguro social, a los pagos a plazos, a los dividendos hipotecarios, a las primas de seguros de vida, a las jubilaciones, a los alquileres, a los depósitos, a las operaciones de leasing y a otros cálculos similares. Si conocemos las fórmulas del interés compuesto es más sencillo hacer cálculos de anualidades, pues se trata de aplicar intereses sobre intereses. De este modo, para saber el monto que se tendrá en cinco meses, ahorrando $150.000 cada mes, a una tasa de interés de 5 % mensual, hay que usar la siguiente fórmula:
M = R [( 1 + I)t - 1] / I
R = AHORRO
Esta fórmula se denomina anualidades ordinarias o vencidas porque los intereses se calculan al final de cada período. Ya conocemos el significado de las abreviaturas y símbolos, por lo tanto, solo hay que sustituirlos por los datos del ejemplo y hacer el cálculo paso a paso. Al final, el monto ahorrado será de $828.840, o sea, los $150.000 mensuales por los seis meses más los intereses:
M = 150.000 [(1 + 0,05) 5 – 1 ÷ 0,05]
M = 150.000 [ 1,27628 – 1 ÷ 0,05]
M = 150.000 [0,27628 ÷ 0,05]
M = 150.000 × 5,5256
M = $828.840
En esta ecuación, al despejar sus componentes, se podrá calcular fácilmente cualquier dato o incógnita que se necesite resolver: capital, monto de interés, tasa de interés, valor de la cuota, tiempo o períodos.
Veamos otro ejemplo, pero ahora para calcular la anualidad. Considerando una operación de leasing financiero de equipos informáticos por $24.000.000 por dos años, pagaderos en cuotas semestrales vencidas, con una tasa semestral de 8 %. ¿Cuál sería el monto de la cuota de pago semestral (anualidad)?
Fórmula de la anualidad
(CUOTA) = C × (1 + i)t × i / (1 + i)t – 1
Ahora, reemplazamos con datos numéricos
ANUALIDAD = 24.000.000 × (1 + 0,08)⁴ × 0,08 / (1+ 0,08)⁴ - 1
= 24.000.000 × 0,108839 / 0,360489
= 24.000.000 × 0,30192
ANUALIDAD = $ 7.246.090
El cálculo anterior indica que la cuota semestral de pago es de $7.246.090 incluyendo capital e interés de cada una. Luego, el desarrollo de la deuda y las cuotas iguales de pago queda como sigue:
Desarrollo y pago de deuda leasing*
| PERÍODOS | INTERESES | CAPITAL | CUOTAS | SALDO |
| 0 | 0 | 0 | 24.000.000 | |
| 1 | 1.920.000 | 5.326.090 | 7.246.090 | 18.673.910 |
| 2 | 1.493.913 | 5.752.177 | 7.246.090 | 12.921.733 |
| 3 | 1.033.739 | 6.212.351 | 7.246.090 | 6.709.382 |
| 4 | 536.708 | 6.709.382 | 7.246.090 | 0 |
| 4.984.360 | 24.000.000 | 28.984.360 |
En el área de las matemáticas financieras o ingeniería económica existen diferentes tipos y ecuaciones de anualidades. Entre estas, las frecuentes son las anualidades ordinarias, las anticipadas, las diferidas y las perpetuas.
ANUALIDAD ORDINARIA
EL CÁLCULO DE INTERESES SE EFECTÚA AL TÉRMINO DE CADA PERÍODO. LA ECUACIÓN CORRESPONDE A LA DEL EJEMPLO ANTERIOR. PODRÍA EMPLEARSE EN CÁLCULOS DE AMORTIZACIÓN DE PRÉSTAMOS EN ABONOS, PAGOS A PLAZO O DEPÓSITOS.
ANUALIDAD DIFERIDA
EL PRIMER PAGO NO SE REALIZA EN EL PRIMER PERÍODO, SINO QUE PUEDEN PASAR VARIOS PERÍODOS ANTES QUE SE REALICE. POR EJEMPLO, EN PRÉSTAMOS CON PERÍODO INICIAL DE GRACIA. LA FÓRMULA DE LA ANUALIDAD ORDINARIA SE MODIFICA EN EL DIVISOR Y EN VEZ DE DIVIDIR POR «i» SE HACE POR «(1 + i)-K», DONDE EL SUPERÍNDICE «–K» REPRESENTA ÉL O LOS PERÍODOS DE GRACIA. SE APLICA A CUALQUIER DEPÓSITO O CRÉDITO CON PERÍODOS DE GRACIA.
ANUALIDAD ANTICIPADA
EL CÁLCULO DE INTERÉS SE EFECTÚA AL COMIENZO DE CADA PERÍODO. LA FÓRMULA DE LA ANUALIDAD ORDINARIA SE MODIFICA EN EL DIVISOR Y EN VEZ DE DIVIDIR POR «i» SE HACE POR «(1 + i)». SE USA EN PAGO DEUDAS, CUOTAS IGUALES DE HIPOTECAS Y ALQUILERES.
ANUALIDAD PERPETUA
LA ANUALIDAD QUE TIENE INFINITO NÚMERO DE PAGOS SE DENOMINA ANUALIDAD INFINITA O PERPETUA. SE SUPONE QUE ES TAL CUANDO EL NÚMERO DE PAGOS ES MUY GRANDE. POR EJEMPLO, CUANDO SE COLOCA UN CAPITAL Y ÚNICAMENTE SE RETIRAN LOS INTERESES.
VAN y TIR
Las expresiones de VAN y TIR son siglas cuyo significado financiero es «valor actual (o presente) neto» y «tasa interna de retorno» respectivamente. Ambos son conceptos de uso frecuente en cálculos financieros y, particularmente, en evaluaciones de proyectos donde se requiere información concreta para decidir sobre si comprar o arrendar, si invertir en un depósito o en un negocio o preferir un proyecto por sobre otro. Los cálculos que suponen estos términos corresponden a operaciones con interés compuesto, similares a las descritas en los puntos anteriores.
Para simplificar un poco estos cálculos y sus fórmulas, determinemos el valor futuro de un capital de $1.000, a una tasa de interés de 2 % mensual durante tres períodos. Solo será necesaria la fórmula de interés compuesto para obtener el monto que se espera, o sea, el valor futuro del capital. El cálculo es:
M = 1.000 (1 + 0,02)³
M = 1.000 × 1,061208
M = $1.061,208
Luego, para verificar o por si es que, a partir de este monto, se quiere encontrar el capital inicial invertido, el cálculo es:
C = M / (1 + 0,02)³
C = 1.061,208 / 1.061208
C = $1.000
Entonces, podemos decir que el valor presente de un monto futuro es este último (el monto futuro) descontado a una cierta tasa de interés en un tiempo conocido. En este caso, $1.000 de hoy son $1.061,208 en el futuro, con los supuestos de tasa de interés y tiempo indicados. O, al revés, el monto futuro de $1.061,208 tiene un valor presente de $1.000 (dadas la tasa de interés y el tiempo ya mencionado).
En la práctica, por ejemplo, para evaluar proyectos, la aplicación de cálculos de VAN y TIR son un poco más complejos pues en su determinación se combinan elementos de ingresos de los proyectos con los costos y gastos (egresos) asociados a estos. El anterior esquema muestra un proyecto a cinco años, con egresos altos al inicio y regulares en los períodos que vienen e ingresos desde el tercer año y más elevados al finalizar el quinto año. El VAN indicará —descontados los ingresos y egresos a una determinada tasa de interés— si el proyecto es rentable o no.
Para interpretar adecuadamente los números que resulten del cálculo con las cifras reales se debe contar con una capacidad de análisis más profunda y conocimientos financieros un poco más avanzados. Ahora bien, aunque un libro de matemáticas financieras o de finanzas básicas puede ayudar en esa tarea, la siguiente regla de decisiones entrega importantes pistas para discriminar proyectos ante distintos VAN.
¿Cuándo seleccionar un
proyecto con base en el VAN?
| VALOR | SIGNIFICADO | SUGERENCIA PARA DECIDIR |
| VAN > 0 | LA INVERSIÓN PRODUCIRÍA
GANANCIAS POR ENCIMA DE LA RENTABILIDAD EXIGIDA |
EL PROYECTO DEBERÍA ACEPTARSE |
| VAN < 0 | LA INVERSIÓN PRODUCIRÍA
PÉRDIDAS POR DEBAJO DE LA RENTABILIDAD EXIGIDA |
EL PROYECTO DEBERÍA RECHAZARSE,
AUNQUE PODRÍA ACEPTARSE SI SU RENTABILIDAD FUERA SOCIAL Y NO FINANCIERA |
| VAN = 0 | LA INVERSIÓN NO
PRODUCIRÍA NI GANANCIAS NI PÉRDIDAS |
EL PROYECTO NO AGREGA
VALOR MONETARIO POR LO QUE FINANCIERAMENTE DEBERÍA RECHAZARSE. SIN EMBARGO, PODRÍA ACEPTARSE SI SU RENTABILIDAD FUERA SOCIAL Y NO FINANCIERA |
1. ¿De qué se tratan las matemáticas
financieras?
2. ¿Es lo mismo hablar de intereses que de
comisiones? ¿Por qué?
3. ¿En qué consisten las tasas
de interés?
4. ¿Cómo se convierte una tasa de
interés anual a una mensual en interés
compuesto?
5. ¿Cuál es la fórmula para calcular el interés
de un capital con interés compuesto?
Explícalo con un ejemplo numérico.
6. En finanzas ¿qué son las rentas?
7. Menciona y explica dos tipos diferentes de
cálculo de anualidades.
8. ¿A qué corresponden las anualidades
ordinarias?
9. ¿Cuál es el monto (capital final)
de $1.000.000 dada una tasa de interés
de 12 % anual durante tres meses?
10. Si el VAN de un proyecto es negativo ¿lo