Los Elementos/Libro XIII

Libro XIII

Sólidos regulares

Consta de 18 proposiciones.
De estructura interna sublime este excepcional Libro XIII incluye los dilectos 5 sólidos platónicos; a saber, tetraedro, hexaedro, octoedro, dodecaedro e icosaedro. Todos ellos evocando con rigor matemático sin precedentes las leyes del espacio euclideo que exorna el Timeo de Platón.

Proposiciones

Proposición 1. Si se corta una línea recta en extrema y media razón, el cuadrado del segmento mayor junto con el de la mitad de la recta entera es cinco veces el cuadrado de la mitad.

Proposición 2. Si el cuadrado de una línea recta es cinco veces el de un segmento de ella misma, cuando se corta el doble de este segmento en extrema y media razón, el segmento mayor es la parte que queda de la recta inicial.

Proposición 3. Si se corta una línea recta en extrema y media razón, el cuadrado del segmento menor junto con el de la mitad del segmento mayor es cinco veces el cuadrado de la mitad del segmento mayor.

Proposición 4. Si se corta una línea recta en extrema y media razón, el cuadrado de la recta entera y el del segmento menor juntos, son el triple del cuadrado del segmento mayor.

Proposición 5. Si se corta una línea recta en extrema y media razón, y se añade otra igual al segmento mayor, la recta entera queda cortada en extrema y media razón, y la recta inicial es el segmento mayor.

Proposición 6. Si una recta expresable se corta en extrema y media razón, cada uno de los segmentos es la recta sin razón expresable llamada apótoma.

Proposición 7. Si tres ángulos de un pentágono equilátero, sucesivos o no, son iguales, el pentágono será equiangular.

Proposición 8. Si en un pentágono equilátero y equiangular, unas rectas opuestas a dos ángulos sucesivos se cortan entre sí en extrema y media razón y sus segmentos mayores son iguales al lado del pentágono.

Proposición 9. Si se unen el lado de un hexágono y el de un decágono inscritos en el mismo círculo, la recta entera queda cortada en extrema y media razón, y su segmento mayor es el lado del hexágono.

Proposición 10. Si se inscribe un pentágono equilátero en un círculo, el cuadrado del lado del pentágono es igual a los cuadrados de los lados del hexágono y del decágono inscritos en el mismo círculo.

Proposición 11. Si se inscribe un pentágono equilátero en un círculo que tenga diámetro expresable, el lado del pentágono es la recta sin razón expresable llamada menor.

Proposición 12. Si se inscribe un triángulo equilátero en un círculo, el cuadrado del lado del triángulo es el triple del cuadrado del radio del círculo.

Proposición 13. Construir una pirámide inscrita en una esfera dada y demostrar que el cuadrado del diámetro de la esfera es una vez y media el del lado de la pirámide.

Proposición 14. Construir un octaedro inscrito en una esfera como en la proposición anterior, y demostrar que el cuadrado del diámetro de la esfera es el doble del cuadrado del lado del octaedro.

Proposición 15. Construir un cubo inscrito en una esfera como en la pirámide, y demostrar que el cuadrado del diámetro de la esfera es el triple del cuadrado del lado del cubo.

Proposición 16. Construir un icosaedro inscrito en una esfera, como en las figuras anteriores, y demostrar que el lado del icosaedro es la recta sin razón expresable llamada menor.

Proposición 17. Construir un dodecaedro inscrito en una esfera como en las figuras anteriores, y demostrar que el lado del dodecaedro es la recta sin razón expresable llamada apótoma.

Proposición 18. Colocar los lados de las cinco figuras y compararlos entre sí.