Los Elementos/Libro VIII

Libro VIII

Continuación de proporciones a la teoría de números

Consta de 27 proposiciones.
Este Libro VIII se ocupa de series de números en proporción continuada y en progresión geométrica, concepto y noción que no queda definida.

Proposiciones

Proposición 1. Si tantos números como se quiera son continuamente proporcionales y sus extremos son números primos entre sí, son los menores de aquellos que guardan la misma razón que ellos.

Proposición 2. Hallar tantos números como uno proponga continuamente proporcionales, los menores en una razón dada.

Proposición 3. Si tantos números como se quiera continuamente proporcionales son los menores de los que guardan la misma razón entre ellos, sus extremos son números primos entre sí.

Proposición 4. Dadas tantas razones como se quiera en sus menores números, hallar los números continuamente proporcionales menores en las razones dadas.

Proposición 5. Los números planos guardan entre sí la razón compuesta de las razones de sus lados.

Proposición 6. Si tantos números como se quiera son continuamente proporcionales y el primo no mide al segundo, tampoco ningún otro medirá a ninguno.

Proposición 7. Si tantos números como se quiera son continuamente proporcionales y el primero mide al último, también medirá al segundo.

Proposición 8. Si entre dos números caen números en proporción continua con ellos, entonces cuantos números como caigan entre ellos en proporción continua, tantos caerán también en proporción continua entre los que guardan la misma razón con los números iniciales.

Proposición 9. Si dos números son primos entre sí, y caen entre ellos números en proporción continua, entonces, cuantos números caigan en proporción continua entre ellos, tantos caerán también en proporción continua entre cada uno de ellos y la unidad.

Proposición 10. Si entre cada uno de dos números y una unidad caen números en proporción continua, entonces, tantos números como caigan en proporción continua entre cada uno de ellos y la unidad, tantos caerán también en proporción continua entre ellos.

Proposición 11. Entre dos números cuadrados hay un número que es media proporcional y el número cuadrado guarda con el número cuadrado una razón duplicada de la que el lado guarda con el lado.

Proposición 12. Entre dos números cubos hay dos números que son medias proporcionales y el número cubo guarda con el número cubo una razón triplicada de la que el lado guarda con el lado.

Proposición 13. Si tantos números como se quiera son continuamente proporcionales y cada uno, al multiplicarse por sí mismo, hace algún número, los productos serán proporcionales; y, si los números iniciales, al multiplicar a los productos, hacen ciertos números, también estos últimos serán proporcionales.

Proposición 14. Si un número cuadrado mide a un número cuadrado, también el lado medirá al lado; y, si el lado mide al lado, el número cuadrado medirá también al número cuadrado.

Proposición 15. Si un número cubo mide a un número cubo, también el lado medirá al lado; y, si el lado mide al lado, también el cubo medirá al cubo.

Proposición 16. Si un número cuadrado no mide a un número cuadrado, tampoco el lado medirá al lado; y si el lado no mide al lado, tampoco el número cuadrado medirá al número cuadrado.

Proposición 17. Si un número cubo no mide a un número cubo, el lado tampoco medirá al lado; y si el lado no mide al lado, tampoco el número cubo medirá al número cubo.

Proposición 18. Entre dos números planos semejantes hay un número que es media proporcional; y el número plano guarda con el número plano una razón duplicada de la que el lado correspondiente guarda con el lado correspondiente.

Proposición 19. Entre dos números sólidos semejantes caen dos números que son medias proporcionales; y el número sólido guarda con el número sólido semejante una razón triplicada de la que el lado correspondiente guarda con el lado correspondiente.

Proposición 20. Si entre dos números cae un número que es media proporcional, los números serán números planos semejantes.

Proposición 21. Si entre dos números caen dos números medios proporcionales, los números son sólidos semejantes.

Proposición 22. Si tres números son continuamente proporcionales y el primo es cuadrado, el tercer también será cuadrado.

Proposición 23. Si cuatro números son continuamente proporcionales y el primo es cubo, también será cubo el cuarto .

Proposición 24. Si dos números guardan entre sí la razón que un número cuadrado guarda con un número cuadrado y el primo es cuadrado, el segundo será también cuadrado.

Proposición 25. Si dos números guardan entre sí la razón que un número cubo guarda con un número cubo y el primo es cubo, el segundo también será cubo.

Proposición 26. Los números planos semejantes guarden entre sí la razón que un número cuadrado guarda con un número cuadrado.

Proposición 27. Los números sólidos semejantes guarden entre sí la razón que un número cubo guarda con un número cubo.