Los Elementos/Libro IX

Libro IX

Teoría de los números

Consta de 36 proposiciones.
Este Libro IX es una especie de miscelánia aritmética. Encontramos como primicia la moderna resolución unívoca de un número en sus factores primeros y el Teorema que establece la cantidad infinita de los números primos. Encontramos también teorías de origen pitagórico que hablan de números pares, impares y sus relaciones.

Proposiciones

Proposición 1. Si dos números planos semejantes, al multiplicarse entre sí, hacen un número, el producto será cuadrado.

Proposición 2. Si dos números, al multiplicarse entre sí, hacen un número cuadrado, son números planos semejantes.

Proposición 3. Si un número cubo, al multiplicarse por sí mismo, hace algún número, el producto será cubo.

Proposición 4. Si un número cubo, al multiplicar a un número cubo, hace algún número, el producto será cubo.

Proposición 5. Si un número cubo, al multiplicar a algún número, hace un número cubo, el número multiplicado también será cubo.

Proposición 6. Si un número, al multiplicarse por sí mismo, hace un número cubo, también él mismo será cubo.

Proposición 7. Si un número compuesto, al multiplicar a un número, hace algún número, el producto será sólido.

Proposición 8. Si tantos números como se quiera a partir de una unidad son continuamente proporcionales, el tercero a partir de la unidad será cuadrado, de la misma forma que todos los que dejan un intervalo de uno, y el cuarto será cubo, de la misma forma que todos los que dejan un intervalo de dos, y el séptimo será al mismo tiempo cubo y cuadrado, de la misma forma que todos los que dejan un intervalo de cinco.

Proposición 9. Si tantos números como se quiera a partir de una unidad son continuamente proporcionales, y el número siguiente a la unidad es cuadrado, todos los demás serán también cuadrados, y si el número siguiente a la unidad es cubo, todos los demás serán también cubos.

Proposición 10. Si tantos números como se quiera a partir de una unidad son continuamente proporcionales, y el número siguiente a la unidad no es cuadrado, ningún otro será cuadrado excepto el tercero a partir de la unidad y todos los que dejan un intervalo de uno. Y si el siguiente a la unidad no es cubo, ningún otro será cubo excepto el cuarto a partir de la unidad y todos los que dejen un intervalo de dos.

Proposición 11. Si tantos números como se quiera a partir de una unidad son continuamente proporcionales, el menor mide al mayor según uno de los números que se encuentran entre los números proporcionales.

Proposición 12. Si tantos números como se quiera a partir de una unidad son continuamente proporcionales, por cuantos números primos sea medido el último, por los mismos será medido también el siguiente a la unidad.

Proposición 13. Si tantos números como se quiera a partir de una unidad son continuamente proporcionales y el siguiente a la unidad es un número primo, el mayor no será medido por ningún otro fuera de los que se encuentran entre los números proporcionales.

Proposición 14. Si un número es el menor medido por números primos, no será medido por ningún otro número primo fuera de los que le medían desde un principio.

Proposición 15. Si tres números continuamente proporcionales son los menores de los que guardan la misma razón que ellos, cualquiera de los dos tomados juntos son números primos con respecto al número que queda.

Proposición 16. Si dos números son primos entre sí, como el primero es al segundo, el segundo no será a ningún otro.

Proposición 17. Si tantos números como se quiera son continuamente proporcionales y sus extremos son números primos entre sí, tal y como el primero es al segundo, el último no será a ningún otro.

Proposición 18. Dados dos números, investigar si es posible hallar un tercer número proporcional.

Proposición 19. Dados tres números, investigar cuándo es posible hallar un cuarto número proporcional a ellos.

Proposición 20. Hay más números primos que cualquier cantidad propuesta de números primos.

Proposición 21. Si se suman tantos números pares como se quiera, el total es un número par.

Proposición 22. Si se suman tantos números impares como se quiera y su cantidad es par, el total será par.

Proposición 23. Si se suman tantos números impares como se quiera y su cantidad es impar, también el total será impar.

Proposición 24. Si de un número par se quita un número par, lo que queda será par.

Proposición 25. Si de un número par se quita un número impar, lo que queda será impar.

Proposición 26. Si de un número impar se quita un número impar, lo que queda será par.

Proposición 27. Si de un número impar se quita un número par, lo que queda será impar.

Proposición 28. Si un número impar, al multiplicar a un número par, hace algún número, el producto será par.

Proposición 29. Si un número impar, al multiplicar a un número impar, hace algún número, el producto será impar.

Proposición 30. Si un número impar mide a un número par, también medirá a su mitad.

Proposición 31. Si un número impar es número primo respecto a algún número, también será número primo respecto al doble.

Proposición 32. Cada uno de los números duplicados sucesivamente a partir de una díada es sólo (parmente par) un número par, un número par de veces par.

Proposición 33. Si un número tiene su mitad impar es sólo (parmente impar) un número par de veces impar.

Proposición 34. Si un número no es uno de los duplicados sucesivamente a partir de una díada, ni tiene su mitad impar, es (parmente par) un número par, un número par de veces par y (parmente impar) un número, un número par de veces impar.

Proposición 35. Si tantos números como se quiera son continuamente proporcionales, y se quitan del segundo y del último números iguales al primero, entonces, tal y como el exceso del segundo es al primero, de la misma manera el exceso del último será a todos los anteriores a él.

Proposición 36. Si tantos números como se quiera a partir de una unidad se disponen en proporción duplicada hasta que su suma total resulte un número primo, y el total multiplicado por el último produce algún número, el producto será un número perfecto.