Los Elementos/Libro III

Libro III

Teoría de la circunferencia

Consta de 11 definiciones y 37 proposiciones.
Este volumen trata de aquellos Teoremas relativos a la circunferencia, las cuerdas, las tangentes y la medición de ángulos. Consta de 11 definiciones y 37 proposiciones, 5 de las cuales son problemas y las otras teoremas. No se puede considerar un volumen excelente por lo que se refiere al carácter sistemático deductivo.

Definiciones

Definición 1. Circunferencias iguales son aquellas cuyos diámetros son iguales, o los radios son iguales.

Definición 2. Una recta es tangente a una circunferencia cuando, tocando a la circunferencia y siendo alargada no corta a la circunferencia.

Definición 3. Dos circunferencias son tangentes cuando, tocándose una con la otra no se cortan.

Definición 4. En un círculo las rectas están a la misma distancia del centro, cuando las perpendiculares dibujadas desde el centro hasta ellas, son iguales.

Definición 5. Está a mayor distancia aquella recta sobre la que cae la perpendicular mayor.

Definición 6. Un segmento de un círculo es la figura comprendida por una recta y una circunferencia de un círculo.

Definición 7. Un ángulo de un segmento es el que está comprendido por una recta y una circunferencia de un círculo.

Definición 8. Ángulo en un segmento es el ángulo que cuando se determina un punto sobre una circunferencia del segmento y se dibujan rectas des del punto hasta los extremos de la recta que es la base del mismo segmento, está comprendido por las rectas dibujadas.

Definición 9. Cuando las rectas que comprenden el ángulo cortan a una circunferencia se dice que el ángulo está en la circunferencia.

Definición 10. Un sector de un círculo es la figura que, cuando se construye un ángulo en el centro del círculo, está comprendida por las rectas que comprenden el ángulo y la circunferencia que corta a las rectas.

Definición 11. Segmentos semejantes de un círculo son los que admiten ángulos iguales, o aquellos en los que los ángulos son iguales entre si.

Proposiciones

Proposición 1. Determinar el centro de una circunferencia dada.

Proposición 2. Si se toman dos puntos al azar en la circunferencia de un círculo, la recta que une los dos puntos estará dentro del círculo.

Proposición 3. Si en un círculo una recta dibujada a través del centro divide en dos partes iguales a otra recta no dibujada a través del centro, la corta formando también ángulos rectos; y si la corta formando ángulos rectos, la divide también en dos partes iguales.

Proposición 4. Si en un círculo se cortan entre sí dos rectas que no pasan por el centro, no se dividen entre sí en dos partes iguales.

Proposición 5. Si dos círculos se cortan entre sí, sus centros no coinciden.

Proposición 6. Si dos círculos se tocan el uno al otro, sus centros no coinciden.

Proposición 7. Si se toma un punto en el diámetro de un círculo que no sea el centro del círculo y desde él hasta el círculo caen algunas rectas, será la mayor aquella en la que está el centro, y la menor la que queda y de las demás la más cercana a la que pasa por el centro es siempre mayor que la más lejana, y sólo caerán dos iguales del punto al círculo a uno y otro lado de la más pequeña.

Proposición 8. Si se toma un punto exterior a un círculo y del punto al círculo se dibujan algunas rectas, una de las cuales pasa por el centro y las demás al azar, de las rectas que caen en la parte cóncava de la circunferencia, la mayor es la que pasa por el centro, y de las demás siempre la más próxima a la que pasa por el centro es mayor que la más lejana; pero de las que caen en la parte convexa de la circunferencia la menor es la que está entre el punto y el diámetro, y de las demás la más próxima a la más pequeña es siempre menor que la más lejana, y sólo caen dos de iguales del punto al círculo a uno y otro lado de la más pequeña.

Proposición 9. Si se toma un punto dentro de un círculo y del punto al círculo caen más de dos rectas iguales, el punto dado es el centro del círculo.

Proposición 10. Un círculo no corta a otro círculo en más de dos puntos.

Proposición 11. Si dos círculos se tocan uno al otro interiormente, y se toman sus centros, la recta que une sus centros prolongada caerá encima del punto de contacto de los dos círculos.

Proposición 12. Si dos círculos se tocan el uno al otro exteriormente, la recta que une sus centros pasará a través del punto de contacto.

Proposición 13. Un círculo no toca a otro círculo en más de un punto, ya sea interior o exteriormente.

Proposición 14. En un círculo les rectas iguales están a la misma distancia del centro, y las que están a la misma distancia del centro son iguales entre si.

Proposición 15. En un círculo el diámetro es la recta mayor y de las demás, la más próxima al centro es siempre mayor que la más lejana.

Proposición 16. La recta dibujada por el extremo del diámetro de un círculo formando ángulos rectos con el diámetro, caerá fuera del círculo, y no se interpondrá otra recta al espacio entre la recta y la circunferencia; y el ángulo del semicírculo es mayor y el que queda es menor que cualquier ángulo rectilíneo agudo.

Proposición 17. Desde un punto dado dibujar una línea recta tangente a un círculo dado.

Proposición 18. Si una recta toca a un círculo, y se dibuja una recta des del centro hasta el punto de contacto, la recta dibujada será perpendicular a la tangente.

Proposición 19. Si una recta toca a un círculo, y des del punto de contacto se dibuja una línea recta formando ángulos rectos con la tangente, el centro del círculo estará contenido en la recta dibujada.

Proposición 20. En un círculo, el ángulo correspondiente al centro es el doble del correspondiente a la circunferencia cuando los ángulos tienen como base la misma circunferencia.

Proposición 21. En un círculo los ángulos en el mismo segmento son iguales entre sí.

Proposición 22. Los ángulos opuestos de los cuadriláteros en los círculos son iguales a dos ángulos rectos.

Proposición 23. Sobre la misma recta no se podrán construir dos segmentos circulares semejantes y desiguales al mismo lado.

Proposición 24. Los segmentos circulares semejantes que están sobre rectos iguales son iguales entre sí.

Proposición 25. Dado un segmento de círculo completar el dibujo del círculo del que es semejante.

Proposición 26. En los círculos iguales los ángulos iguales están sobre circunferencias iguales, ya sean a los centros o a las circunferencias.

Proposición 27. En los círculos iguales, los ángulos que están sobre circunferencias iguales son iguales entre sí, ya estén en los centros o en las circunferencias.

Proposición 28. En los círculos iguales les rectas iguales cortan circunferencias iguales, la mayor igual a la mayor y la menor a la menor.

Proposición 29. En los círculos iguales las rectas iguales subtienden circunferencias iguales.

Proposición 30. Dividir en dos partes iguales una circunferencia dada.

Proposición 31. En un círculo el ángulo en el semicírculo es recto, el ángulo en el segmento mayor es menor que un ángulo recto, el ángulo en el segmento menor es mayor que un ángulo recto; y además el ángulo del segmento mayor es mayor que un ángulo recto y el ángulo del segmento menor es menor que un ángulo recto.

Proposición 32. Si una recta toca a un círculo, y des del punto de contacto hasta el círculo se dibuja una recta que corte al círculo, los ángulos que forma con la recta tangente serán iguales a los ángulos en los segmentos alternos del círculo.

Proposición 33. Sobre una recta dada, describir un segmento de círculo que admita un ángulo igual a un ángulo rectilíneo dado.

Proposición 34. A partir de un círculo dado cortar un segmento que admita un ángulo igual a un ángulo rectilíneo dado.

Proposición 35. Si en un círculo se cortan dos rectas entre sí, el rectángulo comprendido por los segmentos de una es igual al rectángulo comprendido por los segmentos del otro.

Proposición 36. Si se determina un punto exterior a un círculo y del punto al círculo caen dos rectas, y una de ellas corta al círculo y la otra le toca, el rectángulo comprendido por la secante entera y la parte exterior determinada entre el punto y la circunferencia convexa es igual al cuadrado de la tangente.

Proposición 37. Si se determina un punto exterior a un círculo y del punto al círculo caen dos rectas, y una de ellas corta al círculo y la otra cae sobre de él, y además el rectángulo comprendido por la secante entera y la parte exterior determinada entre el punto y la circunferencia convexa es igual al cuadrado de la que cae, la recta que cae tocará al círculo.