Los Elementos/Libro II

Libro II

Álgebra geométrica

Consta de 2 definiciones y 14 proposiciones.
Transformaciones de áreas y álgebra geométrica griega de la Escuela Pitagórica. Se establecen las equivalencias geométricas de diferentes identidades algebraicas y una generalización del Teorema de Pitágoras conocida como la ley del coseno. Parece querer ilustrar este Libro II el uso del desarrollo elemental del método de aplicación de áreas.

Definiciones

1. De todo paralelogramo rectangular se dice que está comprendido por las dos rectas que comprenden el ángulo recto.
2. En toda área de paralelogramo se llama gnomon a uno cualquiera de los paralelogramos situados en torno a su diagonal junto con los dos complementos.

Proposiciones

1. Si hay dos rectas y una de ellas se corta en un número cualquiera de segmentos, el rectángulo comprendido por las dos rectas es igual a los rectángulos comprendidos por la recta no cortada y cada uno de los segmentos.
2. Si se corta al azar una línea recta, el rectángulo comprendido por la recta entera y cada uno de los segmentos, es igual al cuadrado de la recta entera.
3. Si se corta al azar una línea recta, el rectángulo comprendido por la recta entera y cada uno de los segmentos, es igual al rectángulo comprendido por los segmentos y el cuadrado del segmento primero.
4. Si se corta al azar una línea recta, el cuadrado de la recta entera es igual a los cuadrados de los segmentos y dos veces el rectángulo comprendido por los segmentos.
5. Si se corta una línea recta en segmentos iguales y desiguales, el rectángulo comprendido por los segmentos desiguales de la recta entera junto con el cuadrado de la recta que está entre los puntos de sección, es igual al cuadrado de la mitad.
6. Si se divide en dos partes iguales una línea recta y se le añade, en línea recta, otra recta; el rectángulo comprendido por la recta entera con la recta añadida y la recta añadida junto con el cuadrado de la mitad es igual al cuadrado de la recta compuesta por la mitad y la recta añadida.
7. Si se corta al azar una línea recta, el cuadrado de la recta entera y el de uno de los segmentos tomados conjuntamente son iguales a dos veces el rectángulo comprendido por la recta entera y el segmento conocido más el cuadrado del segmento restante.
8. Si se corta al azar una línea recta, cuatro veces el rectángulo comprendido por la recta entera y uno de los segmentos junto con el cuadrado del segmento que queda es igual al cuadrado construido a partir de la recta entera y del segmento ya conocido, tomados como una sola recta.
9. Si se corta una línea recta en partes iguales y desiguales, los cuadrados de los segmentos desiguales de la recta entera son el doble del cuadrado de la mitad más el cuadrado de la recta situada entre los puntos de sección.
10. Si una línea recta se divide en dos partes iguales y se le añade, en línea recta, otra recta; el cuadrado de la recta entera con la recta añadida y el cuadrado de la añadida, tomados conjuntamente, son el doble del cuadrado de la mitad y el cuadrado construido a partir de la recta compuesta por la mitad y la recta añadida, tomadas como una sola recta.
11. Dividir una recta de tal forma que el rectángulo comprendido por la recta entera y uno de los segmentos sea igual al cuadrado del segmento que queda.
12. En los triángulos obtusángulos, el cuadrado del lado opuesto al ángulo obtuso es mayor que los cuadrados de los lados que comprenden el ángulo obtuso en dos veces el rectángulo comprendido por un lado de los del ángulo obtuso sobre el que cae la perpendicular y la recta exterior cortada por la perpendicular, hasta el ángulo obtuso.
13. En los triángulos acutángulos, el cuadrado del lado opuesto al ángulo agudo es menor que los cuadrados de los lados que comprenden el ángulo agudo en dos veces el rectángulo comprendido por uno de los lados del ángulo agudo sobre el que cae la perpendicular y la recta interior cortada por la perpendicular hasta el ángulo agudo.
14. Construir un cuadrado igual a una figura rectilínea dada.