Wikisource

Diferencia entre revisiones de «Almagesto: Libro XIII - Capítulo 04»

Explorar historial interactivamente
← Edición anteriorEdición siguiente →
Contenido eliminado Contenido añadido
VisualWikitexto
mSin resumen de edición
mSin resumen de edición
Línea 9:
</center>
 
='''{Construcción de las tablas para las posicionesPosiciones individualesIndividuales en Latitud}'''=
 
Anteriormente, entonces, hemos establecido las cantidades generalmente aplicables a las máximas inclinaciones de las excéntricas[https://es.wikipedia.org/wiki/Epiciclo '''Excéntricas'''] y de los epiciclos[https://es.wikipedia.org/wiki/Epiciclo '''Epiciclos''']. Sin embargo, con el fin de que seamos capaces de encontrar convenientemente y sistemáticamente las posicionesPosiciones en latitudLatitud para un momento dado para las distancias individuales [desde el apogeoApogeo], también construimos 5 tablas para los 5 planetas. Cada una contiene el mismo número de líneas como las [[Almagesto:_Libro_IX_-_Capítulo_04|'''Tablas de las Anomalías''']] [por ej. de 45], y 5 columnas. Las primeras 2 de esas columnas comprenden los argumentos, en el mismo sentido como en aquellas [Tablas de las Anomalías]; la tercer columna contiene las distancias latitudinalesLatitudinales desde la eclíptica[https://es.wikipedia.org/wiki/Eclíptica '''Eclíptica'''] correspondientes a los grados en particular del [movimiento sobre el] epicicloEpiciclo, bajo la asunción de la máxima inclinación - para <span style="color: #0d4f06">'''Venus'''</span> y <span style="color: #0d4f06">'''Mercurio'''</span> ésta es la inclinación en los nodos de la excéntricaExcéntrica, y para los otros tres planetas (<span style="color: #0d4f06">'''Saturno'''</span>, <span style="color: #0d4f06">'''Júpiter'''</span> y <span style="color: #0d4f06">'''Marte'''</span>) la inclinación en el límite Norte de la excéntricaExcéntrica. Para esto último, la cuarta columna contendrá las cantidades similares correspondientes a [la inclinación] en el límite Sur, y en el caso de esos 3 planetas, la máxima desviación hacia el Norte y hacia el Sur de las excéntricasExcéntricas ha sido también incluida en el cálculo. El camino por el que hemos determinado esastales cantidades para Venus y Mercurio se apoyabasa nuevamente sobrede la siguiente manera en un teorema sencillo [para ambos], de la siguiente maneraplanetas].
 
[[File:Almagesto_Libro_XIII_FIG_2.png|center|379px|Fig. 13.2]]
<center>Fig. 13.2</center>
 
[Ver Fig. 13.2] En el plano ortogonal hasta la eclípticaEclíptica, sea ABG la intersección conde él con el plano de la eclípticaEclíptica, y DBE la intersección [con él] elal plano del epicicloEpiciclo. Sea A el centro de la eclípticaEclíptica, B el centro del epicicloEpiciclo, y AB la distancia del epicicloEpiciclo en la máxima inclinación. Alrededor de B describir el epicicloEpiciclo DZEH <ref name="Referencia 030"></ref>, y dibujar el diámetro ZBH perpendicular a DE. Sea el plano del epicicloEpiciclo también tomado perpendicular al plano asumido [ortogonal al plano de la eclípticaEclíptica], asípor quelo tanto cuando las líneas son dibujadas en él perpendiculares a DE, todas serán paralelas al plano de la eclípticaEclíptica, exceptuando solamente a ZH, que yacerá [(se ubicará)] en el plano de la eclípticaEclíptica.
 
Entonces sea el problema, dada la razón de AB dividido BE, y la cantidad de la inclinación (por ej. del ^ ABE), encontrar las posiciones de los planetas en latitudLatitud cuando (para tomar un ejemplo) ellasellos están a una distancia de 45º (donde [la circunferencia del] epicicloEpiciclo es de 360º) desde E, el perigeoPerigeo del epicicloEpiciclo. [Elegimos 45º] porque intentamos demostrar al mismo tiempo las diferencias en las posiciones en longitudLongitud producidas por esas [máximas] inclinaciones, y esas diferencias deberían alcanzar sus máximos alrededor de la mitad del camino entre el perigeoPerigeo E y las posiciones Z y H, dado que en aquellos puntos [las longitudesLongitudes calculadas entonces] son idénticas con las longitudesLongitudes producidas sin considerar la inclinación.
 
[[File:Almagesto_Libro_XIII_FIG_S.png|center|558px|Fig. S]]
<center>Fig. S</center>
 
Sea el arco EΘ cortado por la cantidad anterior (de arriba) de 45º, y eliminar ΘK perpendicular a BE, y KL, ΘM perpendicular al plano de la eclípticaEclíptica. Unir ΘB, LM, AM y AΘ.
 
Inmediatamente es obvio que
 
<span style="color: #1327EB">'''[1]'''</span> el cuadrilátero LKΘM tiene lados paralelos y ángulos rectos (dado que KΘ es paralelo al plano de la eclípticaEclíptica); y
 
<span style="color: #1327EB">'''[2]'''</span> la ecuaciónEcuación en longitudLongitud está comprendida por el ^ LAM, y
 
<span style="color: #1327EB">'''[3]'''</span> la posición en latitudLatitud es comprendida por el ^ ΘAM (dado que los ángulos ALM y AMΘ se tornan también en ángulos rectos, porque la línea AM yacese ubica en el plano de la eclípticaEclíptica) <ref name="Referencia 031"></ref>.
 
=='''Demostración de las posiciones en latitud para <span style="color: #0d4f06">Venus</span>'''==
 
Pero ahora debemos demostrar las cantidades numéricas de las posiciones requeridas a ser calculadas para cada uno de los planetas de arribaanteriores, y primero para Venus</span>.
 
Dado que el arco EΘ = 45º donde [la circunferencia del] epicicloEpiciclo es de 360º,
 
<div class="prose">
el ^ EBΘ (ya que éste está en el centro del epicicloEpiciclo) = 45º donde 4 ángulos rectos = 360º<br />
el ^ EBΘ (ya que éste está en el centro del epicicloEpiciclo) = 90ºº donde 2 ángulos rectos = 360ºº.<br />
Por lo tanto, en el círculo alrededor del triángulo rectángulo BΘK,<br />
Arco BK = arco KΘ = 90º.<br />
Entonces las cuerdas correspondientes BK = KΘ = 84;52p donde la hipotenusa BQ = 120p.<br />
Por lo tanto donde BΘ, el radio del epicicloEpiciclo, es de 43;10p,<br />
y AB, la distancia media, es de 60p (la máxima inclinación del epicicloEpiciclo ocurre en aproximadamente éste punto),<br />
BK = KΘ = 0;32p.
</div>
Línea 53:
 
<div class="prose">
el ^ ABE es tomado como 2;30º donde 4 ángulos rectos = 360º<br />
el ^ ABE es tomado como 5ºº donde 2 ángulos rectos = 360ºº,
</div>
 
Línea 90:
</div>
 
y la ecuación en longitudLongitud en aquel punto,
 
<div class="prose">
el ^ LAM = 92;0ºº donde 2 ángulos rectos = 360ºº<br />
el ^ LAM = 46;0º donde 4 ángulos rectos = 360º.<br />
Similarmente, donde AM = 42;27p,<br />
ΘM = KL = 1;20p;<br />
Línea 102:
ΘM = 3;46p,<br />
y el ángulo de la desviación en latitud,<br />
el ^ ΘAM = 3;36ºº donde 2 ángulos rectos = 360ºº<br />
el ^ ΘAM = 1;48º donde 4 ángulos rectos = 360º.
</div>
 
Éste [1;48º] es lo que pondremos en la tercer columna de la [[Almagesto:_Libro_XIII_-_Capítulo_05|tabla]] de Venus sobre la línea conteniendo '135º'.
 
Con el fin de hacer una comparación de la diferencia en la ecuación de la longitudLongitud que resulta [desde los cálculos de arriba], sea dibujada [Fig. 13.3] la figura correspondiente sin alguna inclinación del epicicloEpiciclo. LuegoEntonces demostramos que
 
[[File:Almagesto_Libro_XIII_FIG_3.png|center|379px|Fig. 13.3]]
Línea 121:
</div>
 
y el ángulo de la ecuación en longitudLongitud,
 
<div class="prose">
el ^ ΘAK = 92;3ºº donde 2 ángulos rectos = 360ºº<br />
el ^ ΘAK = 46;2º, aproximadamente, donde 4 ángulos rectos = 360º.
</div>
 
Y con la inclinación éste fue demostrado ser de 46º.
 
Por lo tanto la ecuación en longitudLongitud, calculada de acuerdo a la inclinación, fue menor a 2'.
 
Lo que se ha requerido para examinar <ref name="Referencia 032"></ref>.
Línea 136:
=='''Demostración de las posiciones en latitud para <span style="color: #0d4f06">Mercurio</span>'''==
 
Nuevamente, también para permitirnos demostrar las posiciones [latitudinalesLatitudinales] parade Mercurio, sea dibujada una figura [Fig. 13.4] similar a la anterior, con el arco EΘ tomado como del mismo tamaño, 45º. Por consiguiente nuevamente
 
<div class="prose">
Línea 142:
</div>
 
Por lo tanto, donde el radio del epicicloEpiciclo, BΘ = 22;30p,<br />
y AB, la distancia en [donde] ocurren las máximas inclinaciones, es de 56;40p (las cuáles hemos demostrado a todas previamente) <ref name="Referencia 033"></ref>,
 
Línea 149:
</div>
 
Nuevamente, dado que por hipótesis el ángulo de la inclinación del epicicloEpiciclo,
 
<div class="prose">
el ^ ABE = 6;15º donde 4 ángulos rectos = 360º<br />
el ^ ABE = 12;30ºº donde 2 ángulos rectos = 360ºº,<br />
en el círculo alrededor del triángulo rectángulo BKL,<br />
Arco LK = 12;30º<br />
Línea 184:
 
<div class="prose">
y el ángulo de la ecuación en longitudLongitud,<br />
el ^ LAM = 42;34ºº donde 2 ángulos rectos = 360ºº<br />
el ^ LAM = 21;17º donde 4 ángulos rectos = 360º.<br />
Similarmente, donde AM = 43;50p,<br />
ΘM = KL = 1;44p;<br />
Línea 197:
<div class="prose">
ΘM = 4;44p,<br />
y el ángulo de la desviación en latitudLatitud,<br />
el ^ ΘAM = 4;32ºº donde 2 ángulos rectos = 360ºº<br />
el ^ ΘAM = 2;16º donde 4 ángulos rectos = 360º.
</div>
 
Estos [2;16º] es lo que nosotros entraremos en la tercer columna de la [[Almagesto:_Libro_XIII_-_Capítulo_05|tabla]] para Mercurio sobre la misma línea, a saber, aquella conteniendo el argumento '135º'.
 
En orden nuevamente para hacer una comparación de la ecuación, sea dibujado allí [Fig. 13.5] la figura sin la inclinación [del epicicloEpiciclo]. Luego de demostrado aquelloesto, donde la línea AB = 56;40p,
 
<div class="prose">
Línea 222:
<div class="prose">
Por lo tanto, donde la hipotenusa AΘ = 120p, ΘK = 43;39p,<br />
y el ángulo de la ecuación en longitudLongitud,<br />
el ^ KAΘ = 42;40ºº donde 2 ángulos rectos = 360ºº<br />
el ^ KAΘ = 21;20º donde 4 ángulos rectos = 360º.
</div>
 
Pero demostramos que con la inclinación éste estuvo en 21;17º.
 
Por lo tanto aquí también la ecuación en longitudLongitud calculada de acuerdo a la inclinación fue menor, de 3'.
 
Lo que se ha requerido para examinar.
Línea 235:
=='''Demostración de las posiciones en latitud para los otros 3 planetas: <span style="color: #0d4f06">Saturno</span>'''==
 
Tal es, pues, el método por [medio] del cuál calculamos las posiciones en latitudLatitud en las máximas inclinaciones para esos dos planetas. Las máximas inclinaciones ocurren cuando la excéntricaExcéntrica está en el mismo plano como [el de] la eclípticaEclíptica. Para los restantes 3 planetas, no obstante, calculamos [aquellas posiciones] por medio de un teorema que requiere un diagrama diferente, dado que [para esos] las máximas inclinaciones del epicicloEpiciclo ocurren cuando la inclinación de la excéntricaExcéntrica está también en un máximo, y esto podría beneficiarnos para obtener las posiciones en latitudLatitud resultantes desde ambas inclinaciones calculadas conjuntamente.
[Ver Fig. 13.6 y cf. Fig. T]. En el plano ortogonal hasta la eclípticaEclíptica, nuevamente, sea AB la intersección con él, el plano de la eclípticaEclíptica, AG la intersección del plano de la excéntricaExcéntrica, y DGE la intersección del plano del epicicloEpiciclo. Sea A tomado como centro de la eclípticaEclíptica, y G como el centro del epicicloEpiciclo, y sea DZEH el epicicloEpiciclo descrito alrededor de G en tal sentido, nuevamente, que cuando las líneas son dibujadas perpendiculares a DE, el diámetro ZGH yace en el plano de la excéntricaExcéntrica y es paralelo al plano de la eclípticaEclíptica, mientras las otras [perpendiculares] son paralelas a ambos planos anteriores (de arriba).
 
[[File:Almagesto_Libro_XIII_FIG_6.png|center|399px|Fig. 13.6]]
Línea 245:
<center>Fig. T</center>
 
Similarmente, sea el arco EΘ cortado por la misma cantidad de 45º, y eliminar la perpendicular ΘK desde Θ (el punto en el cuál el planeta está localizado), y también eliminar las perpendiculares ΘL, KB desde los puntos Θ y K al plano de la eclípticaEclíptica. Unir BL y AL. LuegoEntonces, sea el problema, de encontrar la ecuación en longitudLongitud, representada por el ^ BAL, y la posición en latitudLatitud, representada por el ^ LAΘ.
 
Entonces dibujar la perpendicular KM desde K hasta AG, y unir GΘ, AK y AΘ. Nuevamente, tomémoslo como dado, desde lo que anteriormente fue probado, que
Línea 253:
</div>
 
Luego, primero, para <span style="color: #0d4f06">'''Saturno'''</span>:
 
Dado que demostramos que el radio del epicicloEpiciclo es de 6;30p donde la distancia media es de 60p,
 
<div class="prose">
Línea 261:
</div>
 
Y ya que, por hipótesisHipótesis, el ángulo de la inclinación del epicicloEpiciclo,
 
<div class="prose">
el ^ AGE = 4;30º donde 4 ángulos rectos = 360º<br />
el ^ AGE = 9ºº donde 2 ángulos rectos = 360º,<br />
en el círculo alrededor del triángulo rectángulo GKM,<br />
Arco KM = 9º<br />
Línea 277:
</div>
 
Ahora en la máxima inclinación sobre el semicírculo conteniendo el apogeoApogeo, AG, representando la distancia [cuando el epicicloEpiciclo está] cerca del comienzo de Libra <ref name="Referencia 034"></ref>, es calculada, por medio de los teoremas que hemos revisado anteriormente, para el tratamiento de las anomalíasAnomalías, como de 62;10p en las mismas unidades <ref name="Referencia 035"></ref>. Por consiguiente, por sustracción [de GM desde AG],
 
<div class="prose">
Línea 288:
Por lo tanto, donde la hipotenusa AK = 120p, KM = 0;46p,<br />
y el ^ KAM <ref name="Referencia 036"></ref> = 0;44ºº donde 2 ángulos rectos = 360ºº.
Pero, por hipótesisHipótesis, el ángulo de la inclinación de la excéntricaExcéntrica,<br />
el ^ BAG = 2;30º donde 4 ángulos rectos = 360º<br />
el ^ BAG = 5ºº donde 2 ángulos rectos = 360ºº.<br />
Por lo tanto, por adición, el ^ BAK = 5;44ºº donde 2 ángulos rectos = 360ºº.<br />
Por lo tanto, en el círculo alrededor del triángulo rectángulo BAK,<br />
Arco BK = 5;44º<br />
Línea 314:
 
Por lo tanto, donde la hipotenusa AΘ = 120p, ΘL = 5;59p,<br />
y el ángulo de la desviación en latitudLatitud,
 
<div class="prose">
el ^ ΘAL = 5;44ºº donde 2 ángulos rectos = 360ºº<br />
el ^ ΘAL = 2;52º donde 4 ángulos rectos = 360º.
</div>
 
Estos [2;52º] es lo que entraremos en la tercera columna de la [[Almagesto:_Libro_XIII_-_Capítulo_05|tabla]] de Saturno opuesta a '135º'.
 
Pero en la máxima inclinación sobre el semicírculo conteniendo el perigeoPerigeo, dado que AG, representando la distancia [cuando el epicicloEpiciclo está] cerca del comienzo de Aries, es calculado como de 57;40p <ref name="Referencia 037"></ref>,<br />
donde, tal como demostramos [demostración luego de la Fig. T.], KM = 0;22p y GM = 4;35p,
 
Línea 336:
KM = 0;50p,<br />
y el ^ KAM = 0;48ºº donde 2 ángulos rectos = 360ºº.<br />
Pero, por hipótesisHipótesis, el ^ BAG = 5ºº en las mismas unidades.<br />
Entonces, por adiciónsuma, y el ^ BAK = 5;48ºº donde 2 ángulos rectos = 360ºº.<br />
Por lo tanto, en el circulo alrededor del triángulo rectángulo BAK,<br />
Arco BK = 5;48º<br />
Línea 355:
AL = 53;13p en las mismas unidades.<br />
Por lo tanto, donde la hipotenusa AL = 120p, BL = 10;23p,<br />
y el ángulo de la ecuación en longitudLongitud,<br />
el ^ BAL = 9;56ºº donde 2 ángulos rectos = 360ºº<br />
el ^ BAL = 4;58º donde 4 ángulos rectos = 360º.<br />
Nuevamente, donde la línea AL = 53;13p,<br />
ΘL = KB = 2;41p,<br />
Línea 364:
Por lo tanto donde la hipotenusa AΘ = 120p, ΘL = 6;3p,<br />
y el ángulo de la desviación en latitud,<br />
el ^ ΘAL = 5;46ºº donde 2 ángulos rectos = 360ºº<br />
el ^ ΘAL = 2;53º donde 4 ángulos rectos = 360º.
</div>
 
Estos [2;53º] es lo que entraremos en la cuarta columna de la [[Almagesto:_Libro_XIII_-_Capítulo_05|tabla]] opuestos a '135º'.
 
LuegoEntonces con el fin de comparar las ecuaciones en longitudLongitud para la inclinación cercana al perigeoPerigeo, sea dibujado nuevamente el diagrama sin inclinación [Fig. 13.7]. Entonces, donde la distancia en aquel punto,
 
<div class="prose">
Línea 384:
 
Por lo tanto, donde la hipotenusa AΘ = 120p, KΘ = 10;22p,<br />
y el ángulo de la ecuación en longitudLongitud,
 
<div class="prose">
el ^ ΘAK = 9;54ºº donde 2 ángulos rectos = 360ºº<br />
el ^ ΘAK = 4;57º donde 4 ángulos rectos = 360º.
</div>
 
Pero cuando las inclinaciones [de la excéntricaExcéntrica y del epicicloEpiciclo] fueron tomadas en cuenta fue demostrado ser de 4;58º. Entonces la ecuación en longitudLongitud calculada de acuerdo a ambas inclinaciones fue de 1' mayor.
 
Lo que se ha requerido para examinar.
Línea 399:
Sea allí nuevamente dibujado [Fig. 13.8], primero, el diagrama para las inclinaciones, representando las relaciones establecidas para Júpiter.
 
Por lo tanto, donde el radio del epicicloEpiciclo, GΘ = 11;30p,<br />
GK (= KΘ) es calculado como [84;52 * 11;30 / 120 =] 8;8p.
 
Línea 405:
<center>Fig. 13.8</center>
 
LuegoEntonces, ya que el ángulo de la inclinación del epicicloEpiciclo,
 
<div class="prose">
el ^ AGE = 2;30º donde 4 ángulos rectos = 360º<br />
el ^ AGE = 5ºº donde 2 ángulos rectos = 360ºº,
</div>
 
Línea 431:
<div class="prose">
Por lo tanto, donde la hipotenusa AK = 120p, KM = 0;46p,<br />
y el ^ KAM = 0;44ºº donde 2 ángulos rectos = 360ºº.
</div>
 
Pero, por hipótesisHipótesis, el ángulo de la inclinación de la excéntricaExcéntrica,
 
<div class="prose">
el ^ BAG = 1;30º donde 4 ángulos rectos = 360º.<br />
el ^ BAG = 3ºº donde 2 ángulos rectos = 360ºº.
</div>
 
Línea 466:
 
Por consiguiente, donde la hipotenusa AΘ = 120p, LΘ = 3;52p,<br />
y el ángulo de la desviación en latitudLatitud,<br />
 
<div class="prose">
el ^ ΘAL = 3;42ºº donde 2 ángulos rectos = 360ºº<br />
el ^ ΘAL = 1;51º donde 4 ángulos rectos = 360º.
</div>
 
Estos [1;51º] es lo que entraremos en la tercera columna de la [[Almagesto:_Libro_XIII_-_Capítulo_05|tabla]] de Júpiter opuesta a '135º'.
 
En el mismo sentido, AG, cuando representa la distancia al comienzo de Aries, es calculado como de 57;30p <ref name="Referencia 039"></ref>, donde, como demostramos, KM = 0;21p y GM = 8;8p;<br />
Línea 506:
 
Por lo tanto, donde la hipotenusa AL = 120p, BL = 19;31p,<br />
y el ángulo de la ecuación en longitudLongitud,<br />
 
<div class="prose">
el ^ BAL = 18;44º donde 2 ángulos rectos = 360ºº<br />
el ^ BAL = 9;22º donde 4 ángulos rectos = 360º.<br />
Nuevamente, donde la línea AL = 50;0p,<br />
ΘL [= KB] = 1;39p,<br />
Línea 518:
 
Por lo tanto, donde la hipotenusa AΘ = 120p, LΘ = 3;57p,
y el ángulo de la desviación en latitudLatitud,<br />
 
<div class="prose">
el ^ ΘAL = 3;46ºº donde 2 ángulos rectos = 360ºº<br />
el ^ ΘAL = 1;53º donde 4 ángulos rectos = 360º.
</div>
 
Éste [1;53º] es lo que entraremos en la cuarta columna de la [[Almagesto:_Libro_XIII_-_Capítulo_05|tabla]] opuesta al mismo '135º'.
 
Con el fin de comparar las ecuaciones en longitudLongitud, sea dibujado [Fig. 13.9] nuevamente el diagrama con ninguna inclinación. Luego, en la distancia en cuestión,
 
<div class="prose">
Línea 538:
 
Por lo tanto, donde la hipotenusa AΘ = 120p, ΘK = 19;30p,<br />
y el ángulo de la ecuación en longitudLongitud,
 
<div class="prose">
el ^ ΘAK = 18;42ºº donde 2 ángulos rectos = 360ºº<br />
el ^ ΘAK = 9;21º donde 4 ángulos rectos = 360º.
</div>
 
Y cuando las inclinaciones fueron tomadas en cuenta fue demostrado ser de 9;22º. Entonces la ecuación en longitudLongitud calculada de acuerdo a ambas inclinaciones fue, nuevamente, mayor por solamente un sólo (único) minuto.
 
Lo que se ha requerido para examinar.
Línea 551:
=='''Demostración de las posiciones en latitud para <span style="color: #0d4f06">Marte</span>'''==
 
Seguidamente, para determinar las cantidades para Marte, primero, sea allí dibujado el diagrama [Fig. 13.10] para las inclinaciones, y sea GK (= KΘ) calculado como [84;52 * 39;30 / 120 =] 27;56p, donde el radio del epicicloEpiciclo, GΘ = 39;30p.
 
[[File:Almagesto_Libro_XIII_FIG_9.png|center|379px|Fig. 13.9]]
<center>Fig. 13.9</center>
 
Entonces, dado que el ángulo de inclinación del epicicloEpiciclo,
 
<div class="prose">
el ^ AGE = 2;15º donde 4 ángulos rectos = 360º<br />
el ^ AGE = 4;30ºº donde 2 ángulos rectos = 360ºº,
</div>
 
Línea 586:
</div>
 
Pero, por hipótesisHipótesis, el ángulo de inclinación de la excéntricaExcéntrica,
 
[[File:Almagesto_Libro_XIII_FIG_10.png|center|379px|Fig. 13.10]]
Línea 592:
 
<div class="prose">
el ^ BAG = 1º donde 4 ángulos rectos = 360º<br />
el ^ BAG = 2ºº donde 2 ángulos rectos = 360ºº.
</div>
 
Línea 625:
 
Por lo tanto, donde la hipotenusa AΘ = 120p, ΘL = 4;29p,<br />
y el ángulo de la desviación en latitudLatitud,
 
<div class="prose">
el ^ ΘAL = 4;18ºº donde 2 ángulos rectos = 360ºº<br />
el ^ ΘAL = 2;9º donde 4 ángulos rectos = 360º.
</div>
 
Estos [2;9º] es lo que entraremos en la tercera columna de la [[Almagesto:_Libro_XIII_-_Capítulo_05|tabla]] para Marte opuestos a '135º'.
 
En el mismo sentido, para las inclinaciones en la distancia mínima distancia:
 
<div class="prose">
Línea 647:
 
<div class="prose">
y el ^ KAM = 4;49ºº donde 2 ángulos rectos = 360ºº.
</div>
 
Línea 679:
 
<div class="prose">
el ^ BAL = 94ºº donde 2 ángulos rectos = 360ºº<br />
el ^ BAL = 47º donde 4 ángulos rectos = 360º.<br />
Similarmente, donde la línea AL = 38;12p, LΘ [= BK] = 1;33p,<br />
y AL² + LΘ² = AΘ²,<br />
Línea 686:
Por lo tanto, donde la hipotenusa AΘ = 120p, LΘ = 4;52p,<br />
y el ángulo de la desviación en latitud,<br />
el ^ ΘAL = 4;40ºº donde 2 ángulos rectos = 360ºº<br />
el ^ ΘAL = 2;20º donde 2 ángulos rectos = 360º.
</div>
 
Estos [2;20º] es lo que entraremos en la cuarta columna de la [[Almagesto:_Libro_XIII_-_Capítulo_05|tabla]] opuesta al mismo '135º'.
 
Nuevamente, si, con el fin de comparar las ecuaciones en longitudLongitud, proponemos el diagrama [Fig. 13.11] sin las inclinaciones, en la mínima distancia (donde la diferencia necesariamente debe ser más notable),
 
<div class="prose">
Línea 705:
ΘK = 87;45p nuevamente [como BL en los cálculos previos],<br />
y el ángulo de la ecuación en longitud,<br />
el ^ ΘAK = 94ºº donde 2 ángulos rectos = 360ºº<br />
el ^ ΘAK = 47º donde 4 ángulos rectos = 360º.
</div>
 
Línea 712:
<center>Fig. 13.11</center>
 
Pero éste [ángulo] es del mismo tamaño como fue demostrado por medio de los cálculos incluyendo las inclinaciones. Por lo tanto la ecuación en longitudLongitud para Marte calculada de acuerdo a las inclinaciones de los círculos [del epicicloEpiciclo y excéntricaExcéntrica] no difiere del todo.
 
Lo que se ha requerido para examinar.
 
=='''Demostración de la máxima desviación en latitudLatitud para las máximasMáximas y mínimasMínimas distancias de <span style="color: #0d4f06">Mercurio</span> y <span style="color: #0d4f06">Venus</span>'''==
 
La cuarta columna en las dos [[Almagesto:_Libro_XIII_-_Capítulo_05|tablas]] para Venus y Mercurio contendrá las posiciones en latitud producidas por las máximasMáximas oblicuidades de sus epiciclosEpiciclos, que ocurren en el apogeoApogeo y en el perigeoPerigeo de la excéntricaExcéntrica. No obstante, las hemos calculado separadamente, sin el efecto debido a la inclinación de la excéntricaExcéntrica, dado que ésta podría haber requerido un mayor número de tablas y un método más complicado de cálculo [desdede esas tablas]: para las posicionesPosiciones [latitudinalesLatitudinales correspondientes] como estrella de la mañana y de la tarde que no van a ser iguales una con la otra, e incluso no siempre sobre el mismo lado [por ej. al Norte o al Sur] de la eclípticaEclíptica; y en cualquier caso, dado que la inclinación de la excéntricaExcéntrica no es constante, las diferencias en la cantidad a ser disminuidas con respecto a la máxima inclinación [del epicicloEpiciclo] podrían no corresponder a las diferencias en la cantidad a ser disminuidas con respecto a la máxima oblicuidad <ref name="Referencia 041"></ref>. Sin embargo, si separamos los efectos, podemos determinar cada elemento enpor un camino más conveniente, como llegará [a ser] claro desde los actuales procedimientos que vamos a brindar.
 
Sea AB [ver la Fig. 13.12] la intersección de los planos de la eclípticaEclíptica y el epicicloEpiciclo. Sea A el punto tomado como el centro de la eclípticaEclíptica, y B como centro del epicicloEpiciclo, y sea GDEZH el epicicloEpiciclo descrito alrededor de su oblicuidad al plano de la eclípticaEclíptica <ref name="Referencia 042"></ref>, por ej. de modo que las líneas rectas dibujadas en los [dos planos] perpendiculares a la sección común GH todos forman ángulos iguales en los puntos sobre GH. Dibujar AE tangente al epicicloEpiciclo, y AZD intersectando el epicicloEpiciclo en un punto arbitrario, y eliminar desde los puntos D, E y Z las perpendiculares DΘ, EK y ZL hasta GH, y las perpendiculares DM, EN y ZX hasta el plano de la eclípticaEclíptica. Unir ΘM, KN, LX, y también AN y AXM (AXM estará en una línea recta, dado que los tres puntos [A, X y M todos] yacen [(se ubican)] en dos planos, el plano de la eclípticaEclíptica y el plano a través de AZD perpendicular a la eclípticaEclíptica.
 
[[File:Almagesto_Libro_XIII_FIG_12.png|center|379px|Fig. 13.12]]
<center>Fig. 13.12</center>
 
Es obvio que, con la oblicuidad descrita, las ecuaciones en longitudLongitud del planeta [en los puntos D y E respectivamente] estarán representadas por los ángulos ΘAM y KAN, y las [posiciones] en latitudLatitud por los ángulos DAM y EAN. Primero, debemos demostrar que la posición en latitudLatitud en el punto tangente, el ^ EAN, es el máximo, justamente como la ecuación en longitudLongitud [es la máxima en éste punto].
 
[[File:Almagesto_Libro_XIII_FIG_U.png|center|558px|Fig. U]]
Línea 746:
 
<center>Por lo tanto ^ EAN > ^ DAM, por consiguiente, obviamente,</center>
<center>el ^ EAN es mayor que cualquier ángulo formado.</center>
 
Inmediatamente es obvio que, cuando uno considera el efecto sobre las ecuaciones en longitudLongitud causado por la oblicuidad, la máxima diferencia es producida en las máximas desviaciones en latitudLatitud en E. Las diferencias [en la ecuación causadas por la oblicuidad] están representadas por los ángulos subtendidos por (ΘD - ΘM), (KE - KN) y (LZ - LX) [cuando el planeta está en D, E y Z respectivamente], y dado que las razones de esas líneas [ΘD / ΘM, etc.] entre sí con la diferencia entre ellos [(ΘD - ΘM), etc.] se mantienen iguales, sigue que
 
<div class="prose">
Línea 754:
</div>
 
Y también es inmediatamente claro que, mientras la razón entre la máxima ecuación en longitudLongitud con la máxima desviación en latitudLatitud [debido a la oblicuidad], ésta razón mantiene la ecuación en longitudLongitud para cualquier posición [del planeta] sobre el epicicloEpiciclo y la posición [correspondiente] en latitudLatitud.
 
<div class="prose">
Línea 760:
</div>
 
Y así sucesivamente para los otros puntos [sobre el epicicloEpiciclo] <ref name="Referencia 044"></ref>.
 
Lo que se ha requerido para examinar.
 
Habiendo establecido estos puntos preliminares, examinemos primero el tamaño del ángulo que está contenido por la oblicuidad de los planos para cada uno de los dos planetas. Damos por sentado que esto fue señalado al comienzo (de la discusión al principio del [[Almagesto:_Libro_XIII_-_Capítulo_03|Libro XIII Capítulo 3]]), de que ambos planetas, cuando [están] a medio camino entre las máximasMáximas y mínimasMínimas distancias, visualizan una máxima diferencia [en latitudLatitud] entre las posiciones opuestas sobre el epicicloEpiciclo por 5º hacia el Norte o hacia el Sur: por lo que para Venus parece variar levemente por más de 5º en el perigeoPerigeo y [variar] levemente menos que 5º en el apogeoApogeo, mientras para Mercurio varía alrededor de ½º [más o menos respecto de los 5º en los 180º desde el apogeoApogeo [(¿Apogeo? = Perigeo)] y eldel apogeoApogeo respectivamente].
 
Sea nuevamente ABG la intersección de la eclípticaEclíptica con el epicicloEpiciclo [Fig. 13.13]. Describir el epicicloEpiciclo GDE alrededor del centro B, oblicuo al plano de la eclípticaEclíptica <ref name="Referencia 045"></ref> en el sentido [ya] descrito. Desde A, el centro de la eclípticaEclíptica, dibujar AD tangente al epicicloEpiciclo, y desde D eliminar la perpendicular DZ encima de GBE, y la perpendicular DH al plano de la eclípticaEclíptica. Unir BD, ZH y AH, y sea el ^ DAH tomado comprendiendo la mitad de la desviación en latitudLatitud anterior (de arriba) para cada uno de los dos planetas (en consecuencia éste [^ DAH] es de 2 ½º).
 
[[File:Almagesto_Libro_XIII_FIG_1.png|center|379px|Fig. 13.13]]
Línea 773:
Sea nuestro problema, encontrar para cada uno la cantidad de la oblicuidad entre los planetas, a saber el tamaño del ^ DZH.
 
Para Venus, dado que, donde el radio del epicicloEpiciclo es de 43;10p, la máxima distancia es de 61;15p, la mínima 58;45p, y la media entre ellas de 60p,
 
<div class="prose">
Línea 786:
 
<div class="prose">
el ^ DAH = 2;30º donde 4 ángulos rectos = 360º<br />
el ^ DAH = 5ºº donde 2 ángulos rectos = 360ºº,<br />
en el círculo alrededor del triángulo rectángulo ADH,<br />
Arco DH = 5º<br />
Línea 795:
Por lo tanto, donde la hipotenusa DZ = 120p, DH = 7;20p,<br />
y el ángulo de la oblicuidad,<br />
el ^ DZH = 7ºº donde 2 ángulos rectos = 360ºº<br />
el ^ DZH = 3;30º donde 4 ángulos rectos = 360º <ref name="Referencia 046"></ref>.
</div>
 
Pero dado que la cantidad por la que el ^ DAZ excede al ^ HAZ, representa la diferencia resultante en la ecuación en longitudLongitud, debemos inmediatamente calcular esto también, encontrando las cantidades de esos ángulos. Pare ello demostramos que, donde la línea DH = 1;50p, la hipotenusa AD = 41;40p y DZ = 29;58p;
 
<div class="prose">
Línea 807:
y HZ = 29;55p en las mismas unidades.<br />
Por lo tanto, donde la hipotenusa AH = 120p, ZH = 86;16p,<br />
y el ^ ZAH = 91;56ºº donde 2 ángulos rectos = 360ºº<br />
y el ^ ZAH = 45;58º donde 4 ángulos rectos = 360º.<br />
Similarmente, dado que DZ = 86;18p donde la hipotenusa AD = 120p,<br />
el ^ DAZ = 91;58ºº donde 2 ángulos rectos = 360ºº<br />
el ^ DAZ = 45;59º donde 4 ángulos rectos = 360º.
</div>
 
De éste modo la ecuación en longitudLongitud calculada de acuerdo a la oblicuidad fue menor que un minuto.
 
Para Mercurio [ver Fig. 13.14], donde el radio del epicicloEpiciclo es de 22;30p, la máxima distancia, como demostramos, es de 69p, y 57p la distancia diametralmente opuesta a éstas [69p]; la media entre esas dos es calculada como en 63p en las mismas unidades.
 
[[File:Almagesto_Libro_XIII_FIG_14.png|center|379px|Fig. 13.14]]
Línea 828:
DZ = 21;1p en las mismas unidades.<br />
Nuevamente, dado que, por hipótesis,<br />
el ^ DAH = 5ºº donde 2 ángulos rectos = 360ºº,
</div>
 
Línea 844:
 
<div class="prose">
el ^ DZH = 14ºº donde 2 ángulos rectos = 360ºº<br />
el ^ DZH = 7º donde 4 ángulos rectos = 360º <ref name="Referencia 047"></ref>.
</div>
 
Por el mismo camino [como para Venus], en orden de comparar los ángulos de la ecuación [en longitudLongitud];
 
<div class="prose">
Línea 862:
 
<div class="prose">
y el ^ ZAH = 41;38ºº donde 2 ángulos rectos = 360ºº<br />
y el ^ ZAH = 20;49º donde 4 ángulos rectos = 360º.
</div>
 
Línea 869:
 
<div class="prose">
y el ^ DAZ = 41;50ºº donde 2 ángulos rectos = 360ºº<br />
y el ^ DAZ = 20;55º donde 4 ángulos rectos = 360º.
</div>
 
Entonces en este caso la ecuación en longitudLongitud debido a la oblicuidad fue menor que 6' <ref name="Referencia 048"></ref>.
 
Lo que se ha requerido para examinar.
 
Seguidamente, examinemos, si tomamos las cantidades anteriores de la oblicuidad como dadas, encontramos las máximas latitudesLatitudes en las máximasMáximas y mínimasMínimas distancias [derivadas desde ellas] de acuerdo con aquellas derivadas desde nuestras observaciones. En la misma figura [fig. 13.15], ahora tomemos como base la máximaMáxima distancia de Venus, por ej.
 
[[File:Almagesto_Libro_XIII_FIG_15.png|center|379px|Fig. 13.15]]
Línea 893:
 
<div class="prose">
el ^ DZH = 7ºº donde 2 ángulos rectos = 360ºº<br />
y [por consiguiente] DH = 7;20p donde la hipotenusa DZ = 120p,<br />
por lo tanto, donde la línea DZ = 30;37p, y AD = 43;27p,<br />
Línea 901:
</div>
 
Y la máxima desviación en latitudLatitud,
 
<div class="prose">
el ^ DAH = 4;54ºº donde 2 ángulos rectos = 360ºº<br />
el ^ DAH = 2;27º donde 4 ángulos rectos = 360º.
</div>
 
Pero en la mínima distancia, donde el radio del epicicloEpiciclo,
 
<div class="prose">
Línea 923:
 
Por lo tanto, donde la hipotenusa AD = 120p, DH = 5;22p,<br />
y la máxima desviación en latitudLatitud,<br />
 
<div class="prose">
el ^ DAH = 5;8ºº donde 2 ángulos rectos = 360ºº<br />
el ^ DAH = 2;34º donde 4 ángulos rectos = 360º.
</div>
 
En consecuencia [la máximaMáxima latitudLatitud] difiere de los 2 ½º de la [máximaMáxima] desviación en latitudLatitud asumida para la mediaMedia, siendo menor en el apogeoApogeo y mayor en el perigeoPerigeo, pero [en ambos casos] por una cantidad que es insignificante a los sentidos; para la máximaMáxima distancia éste fue menor solamente por tres minutos, y en la mínimaMínima distancia por cuatro minutos más. Tales [pequeñas diferencias] no pueden ser del todo fácilmente detectadas desde las observaciones.
 
Seguido, [Fig. 13.16] tomemos la máximaMáxima distancia de Mercurio como base, a saber
 
<div class="prose">
Línea 944:
 
<div class="prose">
el ^ DZH es dado como de 14ºº donde 2 ángulos rectos = 360ºº.<br />
Por consiguiente tenemos DH = 14;40p <ref name="Referencia 049"></ref> donde la hipotenusa DZ = 120p.<br />
Por lo tanto, donde la línea DZ = 21;16p, y AD = 65;14p,<br />
Línea 950:
Por lo tanto, donde la hipotenusa AD = 120p, DH = 4;47p,<br />
y la desviación máxima en latitud,<br />
el ^ DAH = 4;34ºº donde 2 ángulos rectos = 360ºº<br />
el ^ DAH = 2;17º donde 4 ángulos rectos = 360º.
</div>
 
Línea 977:
 
<div class="prose">
el ^ DAH = 5;32ºº donde 2 ángulos rectos = 360ºº<br />
el ^ DAH = 2;46º donde 4 ángulos rectos = 360º.
</div>
 
Por lo tanto, la diferencia desde la máximaMáxima desviación en latitudLatitud en la media (aquí también fue tomada como de 2 ½º) fue de 13' en la dirección negativa en el apogeoApogeo y de 16' en la dirección positiva en el perigeoPerigeo. Para representar esto, usaremos una corrección de ¼º con respecto a la mediaMedia en los cálculos [desde la [[Almagesto:_Libro_XIII_-_Capítulo_05|tabla]]], de acuerdo con la diferencia perceptible derivada desde las observaciones.
 
Ahora que hemos demostrado lo de arriba, y también demostrado que la razón entre la máximaMáxima ecuación en longitudLongitud con la máximaMáxima desviación en latitudLatitud también se mantiene [muy] bien en otros puntos en el epicicloEpiciclo para la razón entre las ecuaciones individuales en longitudLongitud y las [correspondientes] posiciones individuales en latitudLatitud <ref name="Referencia 051"></ref>, inmediatamente tenemos un conveniente método conveniente para calcular las posicionesPosiciones en latitudLatitud debido a la oblicuidad a ser entradas en la cuarta columna de las [[Almagesto:_Libro_XIII_-_Capítulo_05|tablas]] para Venus y Mercurio. No obstante, como mencionamos, esas posiciones están basadas sólosolamente sobre la oblicuidad de los epiciclosEpiciclos en la distancia mediaMedia: la diferencia debido a la inclinación de las excéntricasExcéntricas, y también a la diferencia debido a [la aproximación hasta] el apogeoApogeo o el perigeoPerigeo para Mercurio, serán encontradashalladas por medio de un procedimiento de corrección en él calculo [desde las tablas], por conveniencia de cálculo.
 
La máximaMáxima desviación debida a la oblicuidad, en las distancias mediasMedias establecidas, fue demostrada ser de 2;30º a ambos lados de la eclípticaEclíptica para ambos planetas; y la máximaMáxima ecuación en longitudLongitud es de aproximadamente 46º para Venus y 22º para Mercurio <ref name="Referencia 052"></ref>; y ya, hemos establecido en las [[Almagesto:_Libro_XI_-_Capítulo_11|tablas]] para la anomalíaAnomalía de esos planetas, las ecuaciones correspondientes a las posiciones individuales en el epicicloEpiciclo. Entonces formamos las razones entre esto último y la máximaMáxima ecuación, tomando la misma proporción de 2 ½º, separadamente para cada planeta, y entramos los resultados en la cuarta columna de las [[Almagesto:_Libro_XIII_-_Capítulo_05|tablas]] de latitudLatitud opuestos a los argumentos correspondientes.
 
[(En cada [[Almagesto:_Libro_XIII_-_Capítulo_05|tabla]]) hemos creado [(producidoagregado)] la quinta columna con el fin de corregir las posicionesPosiciones en latitudLatitud para otras posiciones [del epicicloEpiciclo] sobre la excéntricaExcéntrica, utilizando las sexagésimas entradas [en esa columna]. Pero, como dijimos, dado que el incremento y ella decrementodisminución en la inclinación y en la oblicuidad del epicicloEpiciclo, a través de la acción de los pequeños círculos unidos, tienen un período precisamente correspondiente al período de una vuelta sobre la excéntricaExcéntrica, y dado que las cantidades de todas las inclinaciones y oblicuidades no son muy diferentes de aquellas asociadas con la órbita inclinada de la Luna, y las desviaciones individuales en latitudLatitud, para tales pequeñas inclinaciones, son, nuevamente, también proporcionales, y ya que tenemos las entradas correspondientes para la Luna calculadas geométricamente, multiplicamos por 12 cada una de las entradas en ésta [[Almagesto:_Libro_XIII_-_Capítulo_05|tabla]] (porque la máximaMáxima allí es de alrededor de 5º, y aquí la máximaMáxima la estamos haciendo de 60), y entramos los resultados opuestos al argumento apropiado en la quinta columna de cada [[Almagesto:_Libro_XIII_-_Capítulo_05|tabla]].
 
El diseño de las [[Almagesto:_Libro_XIII_-_Capítulo_05|tablas]] es el siguiente.
 
<center>
Línea 1030:
='''Notas de referencia'''=
{{listaref|refs=
<ref name="Referencia 030">Notar que G no es un punto sobre el epicicloEpiciclo, como podría aparecer en la Fig. 13.2 y en la figura correspondiente a Mercurio, Fig. 13.4. Para hacer que los diferentes planos en ésta figura tridimensional sean más claros, se ha redibujado la figura S.</ref>
<ref name="Referencia 031">Ver Fig. S, que denota muchos de los pasos obvios de Ptolomeo. En particular, dado que M está en la eclípticaEclíptica (por construcción) y el ^ AMΘ es construido como un ángulo recto, LM, KΘ y BH son todos paralelos, entonces el ^ ALM es un ángulo recto.</ref>
<ref name="Referencia 032">Exactamente, uno encuentra 45;59º (al minuto más cercano) con la inclinación, y 46;0º sin él. Aquí, la imprecisión de Ptolomeo es un misterio, dado que para la tabla de la anomalía ([[Almagesto:_Libro_XI_-_Capítulo_11|LibroTabla XIde Capítulola 11Anomalía]]), [con] el argumento 135º en la distancia mediaMedia, él encuentra (probablemente por un calculo idéntico) el mejor valor de 45;59º.</ref>
<ref name="Referencia 033">De hecho ésteeste último número no ha sidoverificadosido verificado previamente . No obstante, Ptolomeo debe haber calculado las distancias por todo el "camino" alrededor de la órbita con el fin de construir la Tabla[[Almagesto:_Libro_XI_-_Capítulo_11|Tablas de las Anomalías]], y sin duda se encontró éste valor por interpolación. [https://es.wikipedia.org/wiki/Otto_Neugebauer Neugebauer] (''HAMA'' 221) encontró 56;37p desde una ecuación cúbica. Sin embargo, con un programa de computadora encuentro, para seg. κ = 93;1,41º, κ0 = 90;0,0, ρ = 56;43,9p.</ref>
<ref name="Referencia 034">Cf. a mitad del [[Almagesto:_Libro_XIII_-_Capítulo_01|Libro XIII Capítulo 1]].</ref>
<ref name="Referencia 035">Exactamente, 62;8,21p cuando el centro del epicicloEpiciclo está en longitudLongitud verdaderaVerdadera de [[File: Almagesto Introducción LIBRA.png|19px|Libra]] 0º (el apogeoApogeo estando en [[File: Almagesto Introducción SCORPIUS.png|19px|Scorpius]] 20º, cf. [[Almagesto:_Libro_XIII_-_Capítulo_06|Libro XIII Capítulo 6]]).</ref>
<ref name="Referencia 036">Leer KAM en cambio de KΛM (error de impresión en el texto de [https://en.wikipedia.org/wiki/Johan_Ludvig_Heiberg_(historian) Heiberg]) en H554,11. Corregido por [https://en.wikipedia.org/wiki/Karl_Manitius Manitius].</ref>
<ref name="Referencia 037">Exactamente, 57;44,48p cuando el centro del epicicloEpiciclo está en una longitudLongitud de [[File: Almagesto Introducción ARIES.png|19px|Aries]] 0º. Precisamente opuesta a la distancia de ρ = 62;10p es la distancia (63;25 * 56;35 / 62;10 =) 57;43p. Es obvio que Ptolomeo ha redondeado convenientemente ala un número más cercano, sea cuálcual fuere el método de cálculo que ha utilizado.</ref>
<ref name="Referencia 038">Exactamente, 62;34,36p cuando el centro del epicicloEpiciclo está en la longitudLongitud verdaderaVerdadera de [[File: Almagesto Introducción LIBRA.png|19px|Libra]] 0º (el apogeoApogeo estando en [[File: Almagesto Introducción VIRGO.png|19px|Virgo]] 10º, cf. [[Almagesto:_Libro_XIII_-_Capítulo_06|Libro XIII Capítulo 6]]).</ref>
<ref name="Referencia 039">Exactamente 57;24,31p. Los valores de Ptolomeo para ambas distancias (cf. nota de referencia anterior) podría ajustarse mejor a una elongaciónElongación desde el apogeoApogeo de -24 ½º y (180º - 24 ½º), mas bien que los -20º que él especifica en el [[Almagesto:_Libro_XIII_-_Capítulo_06|Libro XIII Capítulo 6]]. Pero si uno fuera a tomar la posición precisaexacta del apogeoApogeo en su tiempo, [[File: Almagesto Introducción VIRGO.png|19px|Virgo]] 11º, estoello podría dar -19º incluso con la peor conformidad con el texto.</ref>
<ref name="Referencia 040">Por ej. el punto Norte está tomado coincidiendo con el apogeoApogeo, ambos siendo ubicados en el (redondeado) [[File: Almagesto Introducción LEO.png|19px|Leo]] 0º.</ref>
<ref name="Referencia 041">Ptolomeo da a entender que uno no puede utilizar una única columna como coeficiente (c5 en ''HAMA'') para calcular la disminución con respecto a la máximaMáxima de ambas inclinación y oblicuidad, como función de la posición del planeta sobre el epicicloEpiciclo.</ref>
<ref name="Referencia 042">Ver más abajo la Fig. U para un rediseño tridimensional de ésta figura [Fig. 13.12]. Notar que la figura de Ptolomeo es una figura artificial, ya que cuando la intersección de los planos de la eclípticaEclíptica y del epicicloEpiciclo pasan a través del centro del epicicloEpiciclo, la "oblicuidad" es cero. Aunque esto está justificado por la "separación de los efectos".</ref>
<ref name="Referencia 043">Aquí el argumento de Ptolomeo es erróneo, señalado por [https://en.wikipedia.org/wiki/Olaf_Pedersen Pedersen] 382. Parece haber sido engañado por su figura, que sustituye las líneas rectas por arcos.</ref>
<ref name="Referencia 044">Esto también es erróneo, dado que Ptolomeo ha sustituido las cuerdas por arcos (en terminología moderna, ha tratado una razón entre los senosSenos de los ángulos como una razón entre los ángulos). Ver [https://en.wikipedia.org/wiki/Olaf_Pedersen Pedersen] 380-1. No obstante, si uno lo trata como una aproximación, lo es bastante razonable: ver mi remarca sobre Pedersen, [https://en.wikipedia.org/wiki/Gerald_J._Toomer Toomer] [3] 145.</ref>
<ref name="Referencia 045">Cf. más arriba, en nota de referencia nro. 12</ref>
<ref name="Referencia 046">Este "elegante" resultado sólo es logrado por algún intrincado redondeo: con cálculos precisos uno encuentra 3;28 ½º.</ref>
<ref name="Referencia 047">Exactamente, 7;1º.</ref>
<ref name="Referencia 048">Ptolomeo ha eludido un poco los cálculos para llegar a este resultado. Cálculos exactos dan el ^ ZAH = 41;33,58ºº, y el ^ DAZ = 41;50,50ºº, con una diferencia de 0;16,52ºº, o alrededor de 8 ½'.</ref>
<ref name="Referencia 049">La cuerda de 14º ([[Almagesto:_Libro_I_-_Capítulo_11|Libro I Capítulo 11]]) es de 14;37,27p. Pero las 14;40p de Ptolomeo están justificadas luego de la Fig. 13.14, donde los 7º de la oblicuidad son derivados desde éste valor.</ref>
<ref name="Referencia 050">Aquí Ptolomeo estaestá hablando vagamente. 57p representan, no la mínimaMínima distancia, (que es ''c.'' de 55;34p en 120º desde el apogeoApogeo, al final del [[Almagesto:_Libro_IX_-_Capítulo_09|Libro IX Capítulo 9]]), sino la distancia en el punto opuesto a la distancia máximaMáxima, por ej. [esto es] estrictamente análogo a la situación de Venus. Cf. debajo el uso de "perigeoPerigeo".</ref>
<ref name="Referencia 051">Ver más arriba la nota de referencia nro. 14.</ref>
<ref name="Referencia 052">Esos números están simplemente redondeados desde los máximosMáximos en la columna 6 de las tablas de la anomalía ([[Almagesto:_Libro_XI_-_Capítulo_11|LibroTablas XIde Capítulolas 11Anomalías]]), 45;59º para Venus y 22;2º para Mercurio. [https://en.wikipedia.org/wiki/Johan_Ludvig_Heiberg_(historian) Heiberg] erróneamente se refiere al [[Almagesto:_Libro_XII_-_Capítulo_09|Libro XII Capítulo 9]], que no da nada para comparar, dado que se refiere a la verdaderaElongación elongaciónVerdadera y no a la mediaMedia.</ref>
}}
 
Obtenido de «https://es.wikisource.org/wiki/Almagesto:_Libro_XIII_-_Capítulo_04»