Diferencia entre revisiones de «Almagesto: Libro VI - Capítulo 07»

Por medio de lo [expresado] arribaanteriormente nos tiene que empezarnosempezar a ser claro, quequé intervalos entre las [https://es.wikipedia.org/wiki/Sizigia '''sizigiasSizigias'''] deberían tomarse en cuenta cuando son examinados en los eclipsesEclipses. Ahora, después de haber determinado los tiempos del eclipseEclipse medioMedio en esas [sizigiasSizigias], y calculadas las posiciones de la Luna en aquelaquellos instanteinstantes, (las posiciones aparentes en las conjuncionesConjunciones y las posicionesPosiciones verdaderasVerdaderas en las oposicionesOposiciones), queremos tener un medio conveniente para determinar, desde la posición de la Luna en latitudLatitud, definitivamente en cualescuáles de éstas sizigiasSizigias se producirá definitivamente un eclipseEclipse, y las magnitudesMagnitudes y los tiempos de oscurecimientoOscurecimiento para esos eclipsesEclipses. Para resolver este problema hemos construido unas tablas, dos para los eclipsesEclipses solaresSolares y dos para los eclipsesEclipses lunaresLunares ([en cada caso] una para la mayorMáxima distancia de la Luna y una para su menorMínima distancia). El intervalo que establecimos [entre las sucesivas entradas en la tabla] está determinada por la cantidad de oscurecimientoOscurecimiento, siendo 1/12 ma. parte del diámetro de cualquiera de las luminarias eclipsadas <ref name="Referencia 050"></ref>.

La primeraprimer tabla de los eclipsesEclipses solaresSolares, que cubren el intervalo entre los límites de los eclipsesEclipses en la mayor distancia de la Luna, seráestará arreglada en 25 líneas y en 4 columnas. Las dos primeras columnas contendrán la posición aparente de la Luna en [el argumento de] la latitudLatitud sobre el círculo inclinado [de la Luna] para cada [unidad dedel] oscurecimiento. Dado que el diámetro del Sol es de 0;31,20º, y, como fue probado en el [[Almagesto:_Libro_V_-_Capítulo_14|Libro V al final del capítulo 14]], el diámetro de la Luna en su mayor distancia es también de 0;31,20º, continúa [luegoentonces] sigue que cuando el centro aparente de la Luna esestá dea 0;31,20º desde el centro del Sol sobre el gran círculo a través de ambos centros, (y por lo tanto esestá dea 6º desde el [https://es.wikipedia.org/wiki/Nodos_de_la_órbita '''nodo'''] a lo largo de su círculo inclinado, de acuerdo a la proporción previa, de 11;30 / 1), queésta será la situaciónubicación en la que la Luna justamente toca el Sol. Entonces en la primer línea de la primera columna ponemos [(escribimos)] "84º", y en la primer línea de la segunda columna, "276º"; nuevamente, en la última línea de la primer columna ponemos "96º", y en la última línea de la segunda columna, "264º".

Además, dado que la cantidad del círculo inclinado [de la Luna] que corresponde a la 1/12 ma. parte del diámetroDiámetro solarSolar es alrededor de 0;30º <ref name="Referencia 051"></ref>, incrementamos o disminuimos por ésta cantidad las entradas en las dos columnas arriba mencionadas por ésta cantidad, comenzando por las líneas en ambos finales y yendo hacia la mitad. Sobre la línea media ponemos "90º" y "270º".

La cuarta columna contendrá la distancia atravesada por el centro de la Luna correspondiente a cada oscurecimiento [tabulado], sin embragoembargo teniendo en cuenta tanto el movimiento adicional del Sol [durante la fase del eclipseEclipse] o la '''epiparalaje''' de la Luna [por ej. el cambio en la paralaje[https://es.wikipedia.org/wiki/Paralaje '''Paralaje'''] lunarLunar].

La segunda tabla para los eclipsesEclipses solaresSolares, que cubre el intervalo entre los límites de los eclipsesEclipses en la mínima distancia de la Luna, será arreglada por el mismo camino como la primera, excepto que tendrá 27 líneas y en 4 columnas. El radio de la Luna en su distancia mínima es, como hemos demostrado de 0;17,40º ([[Almagesto:_Libro_VI_-_Capítulo_05|Libro VI en la mitad del capítulo 5]]), de 0;17,40º donde el radio del Sol es de 0;15,40º. Entonces cuando la Luna [en su mínima distancia] está justamente tocando el Sol, su centro aparente está a 0;33,20º desde el centro del Sol, y a 6;24º desde el nodo a lo largo de su círculo inclinado. Entonces <ref name="Referencia 052"></ref> las entradas para [el argumento] aparente de la latitud en las líneas de arriba y de abajo son "83;36º, 276;24º", y "96;24º, 263;36º" [respectivamente], y la entrada de los dígitos sobre la línea media, si utilizamos interpolación lineal, será de 12 4/5 dígitos. Para esta entrada también habrá una duración de la totalidad <ref name="Referencia 053"></ref>.

Cada una de las tablasTablas de eclipseslos lunaresEclipses seránLunares estarán arregladas en 45 líneas y en 5 columnas. En la primer tabla tabularemos el [argumentoArgumento de la latitud] para la máximaMáxima distancia de la Luna. El radio de la Luna en su máximaMáxima distancia es, como hemos demostrado ([[Almagesto:_Libro_V_-_Capítulo_14|Libro V al final del capítulo 14]]), de 0;15,40º, y el radioRadio de la sombra, de 0;40,44º. Entonces, cuando la Luna está justo tocando la sombra, el centro de la Luna está a 0;56,24º desde el centro de la sombra a lo largo del gran círculo a través de ambos centros, y a 10;48º desde el nodo a lo largo del círculo inclinado [de la Luna]. Ponemos, sobre la primera línea, "79;12º" [en la primera columna] y "280;48º" [en la segunda columna], y en la última línea "100;48º" y "259;12º". Por el mismo razonamiento como en la primera [tablaTabla solarSolar], incrementamos o disminuímosrestamos cada línea por 0;30º, que corresponde a la 1/12 ma. parte del diámetro lunar para aquella distancia.

En la segunda tabla tabularemos el [argumento de] la latitudLatitud para la Luna en la menor distancia, en la cualque, como hemos demostrado ([[Almagesto:_Libro_VI_-_Capítulo_05|Libro VI en la mitad del capítulo 5]]), su radio es de 0;17,40º, y el radio[https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Umbra_o_Cono_de_Sombra_Terrestre.png '''Radio de la sombraSombra'''] de 0;45,56º. Por lo tanto, cuando la Luna justo toca la sombra, su centro está, por el mismo argumento comecomo el de antes, de 1;3;36º desde el centro de la sombra, y a 12;12º desde el nodo a lo largo del círculo inclinado de la Luna. Por lo tanto ponemos, en la primer línea, "77;48º" y "282;12º", y, en la última línea, "102;12º" y "257;48º", y nuevamente incrementamos o disminuimos las entradas por una cantidad correspondiente a la 1/12 ma. parte del diámetro lunar para aquella distancia, [a saber] de 0;34º.

La tercera columna [en cada tabla], para los dígitos, será arreglada por el mismo camino como en las tablasTablas solaresSolares. Entonces también lo serán las columnas sucesivas, que contienen la travesía [el recorrido] de la Luna para cada oscurecimiento [tabulado], a saber [la cuarta columna] para ambas inmersiones y emersiones [egresos], y también [la quinta columna] para la mitad en la totalidad.

Calculamos lael travesíarecorrido de la Luna tabulada geométricamente para cada oscurecimiento, pero como si [el problema fuera confinado a] un único plano y de líneas rectas, puesto que tales pequeños arcos no difieren sensiblemente de las cuerdas correspondientes, y además el movimientoMovimiento de la Luna en su círculo inclinado no es notablemente diferente desde su movimientoMovimiento con respecto a la eclíptica[https://es.wikipedia.org/wiki/Eclíptica '''Eclíptica'''].

[DigoLo estodigo] enpor si alguien casosupusiera que algunono pudieranos suponerdamos quecuenta node realizamosque, en general, que el movimientoMovimiento en Longitud de la Luna en longitud es afectado por el uso de los arcos del círculo inclinado en cambio de los arcos de la eclípticaEclíptica, y también no continúa que el tiempo de la sizigiaSizigia es exactamente el mismo como el tiempo del eclipseEclipse medioMedio. [Para ilustrar esto, ver la Fig. 6.2], cortamos desde el nodo A dos arcos iguales, AB y AG, de los círculos en cuestión [de la órbita y de la eclípticaEclíptica], uniendo BG y desde B dibujar BD perpendicular a AG. LuegoEntonces, inmediatamente es obvio que, si suponemos la Luna [ubicada] en B, cuando utilizamos el arco AG de la eclípticaEclíptica en cambio del arco AD, entonces, dado que el movimiento con respecto a la eclípticaEclíptica esestá determinado por [el gran círculo] a través de los polos de la eclípticaEclíptica, la diferencia [en longitudLongitud] debida a la inclinación de la órbita lunar será GD.

O nuevamente, si imaginamos el Sol o el centro de la sombra en B <ref name="Referencia 054"></ref>, el tiempo de la sizigiaSizigia ocurrirá cuando la Luna está en G ([podemos decir esto] ya que es insignificante la diferencia es insignificante debido a los dos círculos de [ella eclípticoEclíptica y elde orbitalla órbita]), sinoaunque el tiempo del eclipseEclipse medioMedio cuando la Luna está en D, dadoya que, nuevamentede nuevo, el tiempo del eclipseEclipse medioMedio está definido por el círculo a través de los polos de la órbita de la Luna. Y [por lo tanto] el tiempo de la sizigiaSizigia diferirá del tiempo del eclipseEclipse medioMedio por el arco GD.

La razón de que no tomamos en cuenta estos arcos en nuestras derivaciones deen las [entradas] individuales es que las diferencias que ellos causan son pequeñas e imperceptibles. MientrasAunque podría ser absurdo no reconocer alguno de estos efectos, por otro lado, cuando uno considera la complicación resultante ende los métodos necesarios para hacer frente a cada uno de ellos, deliberadamenteel eliminamosabandono losdeliberado pequeñosde los efectos suficientes,suficientemente parapequeños encomo teoríapara ser ambos pasados por alto yen la observaciónteoría y en las observaciones evoca [en el lector] ununa fuerte sentimientosensación de superioridadventaja de granmayor simplicidad, y no hay quesin arrepentirse, ni mínimamente, por el error resultante representandoen ella representación de los fenómenofenómenos. En algún caso, encontramos que el arco correspondiente a GD no excede, en general, los 0;5º. Esto puede ser demostrado por medio del mismo teorema que utilizamos ([[Almagesto:_Libro_I_-_Capítulo_16|Libro I Capítulo 16]]) para calcular la diferencia entre los arcos del ecuadorEcuador y los arcos correspondientes de la eclípticaEclíptica, como definido por un [gran] círculo dibujado a través de los polos del ecuadorEcuador. Y en los eclipsesEclipses [el arco correspondiente a GD] no excede los 2'.

Si tomamos el arco AB = Arco AG = 12º, que es la máxima cantidad de la distancia a la Luna [desde el nodo] en los eclipsesEclipses, entonces BD esestá alrededor de 1º. Y por lo tanto AD esestá cerca de 11;58º, y, por sustracción, GD es de 2', que corresponde a menos de la 1/16 ta. parte de una hora equinoccial <ref name="Referencia 055"></ref>. '''Exactitud escrupulosa sobre una cantidad tan pequeña es un signo de vana presunción en lugar dedel amor a la verdad'''.

Por las razones arriba [expresadas] hemos calculado la trayectoria de la Luna durante el oscurecimiento en cuestión como si los círculos [de la eclípticaEclíptica y de la órbita] fueran sensiblemente idénticos. El método de cálculo, dando uno o dos ejemplos, es el siguiente.

Ahora es claro que el eclipseEclipse medioMedio y su mayor oscurecimiento ocurreocurren cuando el centro de la Luna está en G, porque <span style="color: #1327EB">'''[1]'''</span> AB es igual a AD, y por lo tanto las distancia recorridas, BG y GD, son también iguales, y porque <span style="color: #1327EB">'''[2]'''</span> AG es la menor de todas las líneas uniendo los dos centros [cuando la Luna está] en BD. También es claro que AB y AD, cada uno, comprende la suma de los radios de la Luna y del Sol o la [suma de la Luna] y de la sombra, y que cada uno de ellos excede AG por aquella parte del diámetro del cuerpo eclipsado que está cortado por el oscurecimiento.

EstaÉsta es la cantidad que entraremos en la cuarta columna de la primer tabla de los eclipsesEclipses [solaresSolares] para los "3 dígitos" opuestos.

Y, por substracciónsustracción, BG² = 460;52,<br />

Ésta es la cantidad que entraremos en la cuarta columna en la segunda tabla de los eclipsesEclipses [solaresSolares] para los "3 dígitos" opuestos.

Seguido, sea A que representa el centro de la sombra, y sea el oscurecimiento la misma fracción como antesanterior, de 1/4¼, [pero ahora] del diámetro lunar.

LuegoEntonces, para la máximaMáxima distancia de la Luna,

AB = 56;24 minutos (al comienzo de éste capítulo),<br />

y AG = 48;34 minutos, dado que éste es menor que AB por 1/4¼ del diámetro lunar, por ej. (para la máximaMáxima distancia de la luna) por 7;50 minutos.<br />

Ésta es la cantidad que entraremos en la cuarta columna de la primera tabla de los [eclipsesEclipses] lunares para los "3 dígitos" opuestos. Ésta representa el recorrido durante la inmersión, que es sensiblemente igual a aquella durante la emersión.

Para la mínimaMínima distancia [de la Luna]<br />

Y AG = 54;46 minutos, dado que la diferencia [entre AB y AG es de] 8;50 minutos, es nuevamente, de 1/4¼ del diámetro de la Luna, [aquí] en la mínima distancia.

Ésta es la cantidad que entraremos como los "3 dígitos" opuestos, como antes, en la cuarta columna de la segunda tabla de los [eclipsesEclipses lunaresLunares].

Seguido, para representar aquellas [fases del] oscurecimiento lunar comprendiendo la duración de la totalidad, sea A [Fig. 6.4] el centro de la sombra, y BGDEZ la línea recta derechapermanente alpara el arco del círculo inclinado de la Luna. Sea B que representa el lugar del centro de la Luna cuando [(el limbo lunar)] está justamentejusto tangenteexternamente externotangente al círculo de la sombra, en aproximación, G el lugar del centro de la Luna cuando [(el limbo lunar)] está justamentejusto tangenteinternamente internotangente al círculo de la sombra en el comienzo de la totalidad, E el lugar del centro de la Luna cuando [(el limbo lunar)] está justamentejusto tangenteinternamente internotangente al círculo de la sombra cuando [la Luna] se [va] retirando [hacia el final de la totalidad], y Z el lugar del centro de la Luna cuando [(el limbo lunar)] esestá tangenteexternamente externotangente a la sombra ya bastante al final de su egreso [del oscurecimiento].

Nuevamente eliminar la perpendicular AD desde A ahasta BZ. Las mismas conclusiones como antes continúan [siendo] válidas, y es además es claro que AG y AE cada uno comprende la cantidad por la cuálque el radio de la sombra excede el radio de la Luna. Por lo tanto la distancia GD es igual a la distancia DE, y cada uno representa mitad de la totalidad, mientras BG, el resto [de BD - GD], que representa la inmersión, es igual a EZ, el resto [de DZ - DE], que representa el egreso [(emersión)].

Entonces [como ejemplo] tomemos un eclipseEclipse cuya entrada [en la tabla] es de "15 dígitos lunares", por ej. un [eclipseEclipse] en el que D, el centro de la Luna [en el medioEclipse eclipseMedio], yace a 1 1/4¼ diámetros lunares dentro de la frontera establecida por los límites del eclipseEclipse. Es decir que, cuando

(AB - AD) = (AZ - AD) = 1 1/4¼ diámetros lunares<br />

y (AG - AD) = (AE - AD) = 1/4¼ diámetros lunares.

Y AG = 25;4 minutos, dado que el diámetro de la Luna en la máximaMáxima distancia es de 31;20 minutos.<br />

Entonces pondremos, opuesta a la entrada de "15 dígitos" en la primer tabla de los eclipsesEclipses lunaresLunares, en la cuarta columna, "35;30 minutos" para la inmersión (que será la misma para la emersión), y, en la quinta columna "18;12 minutos" para la mitad de la duración de la totalidad.

La mínimaMínima distancia de la Luna,

AG = 28;16 minutos, dado que, como demostramos, el diámetro de la Luna en su mínimaMínima distancia es de 35;20 minutos,<br />

Por lo tanto pondremos, opuesta a la entrada "15 dígitos" en la segunda tabla para los eclipsesEclipses lunares, en la cuarta columna "40;2 minutos" para la inmersión (que será nuevamente la misma para la emersión), y, en la quinta columna, "20;32 minutos" para la mitad de la duración de la totalidad.

Con el fin de tener unaun formamodo conveniente para determinar la fracción de la diferencia [entre los valores derivados desde la primera y segunda tabla] para las posiciones de la Luna sobre el epiciclo[https://es.wikipedia.org/wiki/Epiciclo '''Epiciclo'''] entre las máximas y mínimas distancias ([que determinamos] por el método [de interpolación] de las sexagésimas partes), hemos dibujado, debajo de las tablas de arribasuperiores, otra tabla más pequeña. Ésta contiene, como argumento, la posición [en anomalía] sobre el epicicloEpiciclo, y, [como función], el número correspondiente a las sexagésimas a ser aplicado [como coeficiente de interpolación] en cada caso a la diferencia [entre los valores] derivados desde <ref name="Referencia 058"></ref> la primera y la segunda tabla de los eclipsesEclipses. Ya hemos calculado las cantidades de esas sexagésimas [partes] en la [[Almagesto:_Libro_V_-_Capítulo_18|Tabla de la Paralaje de la Luna]]: están colocadas en la séptima columna [de la tabla], dado que el epicicloEpiciclo tiene que ser tomado en el apogeoApogeo de la excéntricaExcéntrica para representar [la situación (su ubicación) en] la sizigiaSizigia.

Pero la mayoría de los que observan las indicaciones [del tiempo (clima)] ella tamañocantidad del oscurecimiento derivadoderivada de las mediciones deen los eclipsesEclipses, no por los diámetros de los discos [del Sol y de la Luna], sino, en su totalidad, por [la cantidad de] la superficie total de los discos <ref name="Referencia 059"></ref>, dado que, cuando uno se aproxima ingenuamente al problema, el ojo compara toda la parte de la superficie que es visible con la total de aquella que es invisible. Aún porPor ésta razón hemos agregado a la tabla de arriba aún otra pequeña tabla con 12 líneas y 3 columnas. En la primer columna ponemos los dígitos de 1 a 12, donde cada dígito representa 1/12 ma. parte de diámetro de cada luminaria, como en las actualespresentes tablasTablas de los eclipsesEclipses. En las otras dos columnas ponemos décimosegundasduodécimas partes de toda el área superficial correspondiendo a esos [dígitos lineales], aquellas para el Sol en la segunda, y aquellas para la Luna en la tercera. Calculamos éstas cantidades sólo para los tamaños [de los diámetros aparentes] para la Luna en su distancia mediaMedia, yadado que muy cerca la misma proporción (razón) resultará [en otras distancias], dando una pequeña variación en los diámetros. Además, asumimos que la proporción de la circunferencia alcon el diámetro es de 3;8,30 / 1, dado que ésta relaciónrazón está cerca a medio camino entre 3 1/7 / 1 y 3 10/71 / 1, las cuáles [https://es.wikipedia.org/wiki/Arquímedes '''Arquímedes'''] utilizó como [límites] vagos [(no muy precisos)] <ref name="Referencia 060"></ref>.

Primero, para representar los eclipsesEclipses solaresSolares [Fig. 6.5], sea ABGD el disco del Sol sobre el centro E, y AZGH el disco de la Luna en la distancia media sobre el centro Θ, intersectando el disco del Sol en los puntos A y G. Unir BEΘH, y supongamos que 1/4¼ del diámetro del Sol está eclipsadoEclipsado.

Nuevamente, en la misma figura [Fig. 6.5], representando los eclipsesEclipses lunaresLunares, sea ABGD el disco de la Luna, y AZGH el disco de la sombra en la distancia [lunar] media, y, como antes, sea eclipsado 1/4¼ ta. [parte] del diámetro de la Luna.

Ésta es la cantidad que entraremos en la tabla arriba mencionada en la terceratercer, columna, lunar, sobre la línea con[como losargumento] "3 dígitos" [como argumento].

<ref name="Referencia 049">Ver ''HAMA'' 134-41, [https://en.wikipedia.org/wiki/Olaf_Pedersen Pedersen] 231-5.</ref>

<ref name="Referencia 050">Por ej. los intervalos entre los argumentos sucesivos en las tablas (cols. 1 y 2 en la Tabla del [[Almagesto:_Libro_VI_-_Capítulo_08|Libro VI Capítulo 8]]) son determinados tomando valores enteros de la magnitud (col. 3), en contraste con el procedimiento normal, en el que uno toma el argumento a intervalos puramente arbitrarios. Aquello es más conveniente para el compilador de las tablas que para el usuario, aunque persiste en las tablas de los eclipsesEclipses de las Tablas Manuales y en muchas de las tablasTablas medievalesMedievales derivadas de ellas (ver el ej. en Toomer [10] no. 59. 88).</ref>

<ref name="Referencia 052">El texto de [https://en.wikipedia.org/wiki/Johan_Ludvig_Heiberg_(historian) Heiberg] en esteéste parágrafo está en desordendesordenado. Para generar una secuencia lógica, insertar un paradapunto abruptay aparte al final de la línea 501,9, comenzar la próxima sentencia (<span style="font-family: Symbol"></span>) <span style="font-family: Symbol"></span>dia</span> (conen el manuscrito Ar), remover lael punto paraday abruptaaparte al final de 501,17, y eliminar la [palabra] <span style="font-family: Symbol"></span> (en los manuscritos D y Ar) en 501,18.</ref>

<ref name="Referencia 053">El intervalo del argumento, correspondiente a 1 dígito de la magnitud de un eclipseEclipse, es de 0;30º en otra parte de la tabla. Dado que el intervalo aquí es aquí de 0;24º, la cantidad correspondiente en dígitos es de 4/5. Cálculos precisos del radio de 0;17,40º y 0;15,40º dadan la magnitud máxima en el máximo delun eclipseEclipse solarSolar como de 12;46 dígitos. La cantidad mas allá de los 12 dígitos representa la "duración de la totalidad" (<span style="font-family: Symbol"></span>), como en los eclipsesEclipses lunaresLunares. Ver también en este capítulo la nota de referencia nro. 14.</ref>

<ref name="Referencia 054">Por ej. los dos arcos ahora están intercambiados, siendo AB la eclípticaEclíptica y AG la órbita de la Luna. En cambio de usar la misma figura, Ptolomeo debería haber dibujado otra, en la quecual GB es perpendicular a AB (por ej. AB ≠ AG). Comparar la Fig. J (tomada desdede [https://en.wikipedia.org/wiki/Karl_Manitius Manitius] 452-53), que muestra la sizigiaSizigia verdadera (en el manuscrito G) que precede elal eclipseEclipse medioMedio (en el manuscrito D) antes del nodo, sino que lo sucede después del nodo.</ref>

<ref name="Referencia 055">Cf. ''HAMA'' 83 n. 5, estimando un error máximo de 6' como resultado de omitir la inclinación de la órbita lunar en el cálculo de las longitudes. Utilizando la formula tan λ = tan ω * cos ι, encuentro, para ι = 5º, la máximaMáxima diferencia entre λ y ω essiendo alrededor de 6 1/2½' para ω ≈ 45;3º. UsandoUtilizando la misma formulafórmula para ω = 12º, encuentro que λ = 11;57,20º, por lo tanto GD = 0;2,40º, que aún producegenera menos que la 1/12 ma. parte de una diferencia de hora en el instante del eclipseEclipse medioMedio. Ptolomeo calcula erróneamente BD ≈ AB / 11 1/2½ ≈ 1, AD = (12² - 1²) ^ 0,5 ≈ 11;58.</ref>

<ref name="Referencia 056">Las Figs. 6.3 y 6.4 se dilucidan por las Figs. K y L respectivamente, en las que los círculos representando al Sol, a la Luna y a la sombra son dibujados en ellas. Éstas son tomadas de [https://en.wikipedia.org/wiki/Karl_Manitius Manitius], pero también son muy similares a los diagramas alternativos encontrados en el manuscrito D.</ref>

<ref name="Referencia 058">Leer <span style="font-family: Symbol"> </span> en cambio de <span style="font-family: Symbol"> </span> ("que aparece desde") en H512,1. También encontrado en todos los manuscritos griegosGriegos y parte de la tradición árabeÁrabe, la última [palabra] no tiene paralelo en el ''Almagesto'', y debe ser reemplazada por una palabra como <span style="font-family: Symbol"> </span>, H385,5-7, <span style="font-family: Symbol"> </span>. El manuscrito Is tiene ella [frase] "''allati tukraju''", ella cuálcual soporta mi enmienda.</ref>

<ref name="Referencia 059">Aunque no existe la razón de dudar en el pasaje de Ptolomeo, sees que no [hay] una magnitud sobreviviente deen un antiguo eclipse que sea inequívocamente dada en ésta "área de dígitos".</ref>

<ref name="Referencia 060">[https://es.wikipedia.org/wiki/Arquímedes Arquímedes], "''Mediciones del Círculo''", ed. [https://en.wikipedia.org/wiki/Johan_Ludvig_Heiberg_(historian) Heiberg] I 232-42, tr. Heath 91-8.</ref>

<ref name="Referencia 061">El radio del Sol es de 0;15,40º ([[Almagesto:_Libro_VI_-_Capítulo_05|Libro VI Capítulo 5 Fig. 6.1]]). El radio de la Luna en su distancia mediaMedia es el promedio entre 0;15,40º y 0;17,40º, por ej. 0;16,40º. Aunque Ptolomeo ha cometido un error de cálculo (cf. [https://en.wikipedia.org/wiki/Karl_Manitius Manitius] p. 385 n. b) y Pappus[https://es.wikipedia.org/wiki/Pappus_de_Alejandría Papo], Rome [1] I 261): 12 * (16;40 / 15;40) ≈ 12;46, no 12;20. Esto afecta la precisión en cada entrada en la segunda columna, aunque los resultados entonces están toscamente redondeados siendo éstoesto de poca importancia.</ref>

<ref name="Referencia 062">Para ΘA² - AK² = KΘ², AE² - AK² = EK²; substrayendosustrayendo, ΘA² - AE² = KΘ² - EK² = (KΘ + EK) * (KΘ - EK) = EΘ * (KΘ - EK). En H514,20 leo seg. <span style="font-family: Symbol">  </span>' (conen el manuscrito A, D², e Is.) en cambio de seg. <span style="font-family: Symbol"></span> seg. <span style="font-family: Symbol"></span> (13;3'). Corregido por Rome [1] I 262 n. (3), y por consiguiente [https://es.wikipedia.org/wiki/Otto_Neugebauer Neugebauer] en la 2da. edición de [https://en.wikipedia.org/wiki/Karl_Manitius Manitius].</ref>