Diferencia entre revisiones de «Almagesto: Libro V - Capítulo 14»

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=='''{Sobre la proporción de los diámetrosDiámetros aparentesAparentes del Sol, de la Luna y de la sombra en las [https://es.wikipedia.org/wiki/Sizigia sizigias'''Sizigias''']}'''==
<ref name="Referencia 050"></ref>
 
Ahora que hemos demostrado las distancias de la Luna de la manera [expresada] arribaanterior, la secuela apropiada es también demostrar también aquellas las del Sol. Esto también puede ser facilmentefácilmente realizado geométricamente agregando a las distancias de la Luna en las sizigiasSizigias, si nos son dadosdadas, los tamaños de los ángulos formados en el ojo [del observador] en tales sicigiasSicigias [y] por los diámetros del Sol, de la Luna y de las sombras.
 
De losDesde varios de los métodos utilizados para resolver esteéste último problema, hemos rechazado aquellas demandas parade medir las luminarias midiendohaciéndolo [por medio del flujo del] agua o por el tiempo [de los cuerpos] que tomanle altoma salir delen el equinoccioEquinoccio <ref name="Referencia 051"></ref>, dado que tales métodos no pueden proveerbrindarnos un resultado para el asunto en mano. En cambio, construimos también un tipo de [https://es.wikipedia.org/wiki/Dioptra '''dioptraDioptra'''] que [https://es.wikipedia.org/wiki/Hiparco_de_Nicea '''Hiparco'''] describe, el[y] cuálque utiliza un listón de cuatro codos, <ref name="Referencia 052"></ref> y, observando con estoéste, encuentra que el diámetro del Sol siempre subtiende aproximadamente el mismo ángulo, siendo una diferencia no notable debida a la [variación en] su distancia, sino que la Luna subtiende el mismo ángulo como el Sol sólo cuando éste está en su mayor distancia de la Tierra (por ej. en el apogeoApogeo del epicicloEpiciclo) en la Luna llena, en contradicción con la hipótesisHipótesis de mis predecesores, [quienes asumieron que esteésta subtiende el mismo ángulo como el del Sol en la Luna Llena] cuando éste está en lasu distancia media <ref name="Referencia 053"></ref>. Además, encontramos que los ángulos por sí mismos son considerablemente más pequeños que aquellos tradicionalmente aceptados <ref name="Referencia 054"></ref>. Sin embrago nuestro cálculo de [éstos] últimos [ángulos], no [observados mediante] la medición con la dioptraDioptra, sino sobre ciertos eclipsesEclipses lunares. También fue posible determinar fácilmente con la dioptraDioptra, [que hemos] construido, ambos diámetros [del Sol y de la Luna] cuando subtienden el mismo ángulo (ya que tal determinación no implica ninguna medida actual), la ''cantidad'' [del ángulo subtendido] vista por nosotros es completametecompletamente dudosa, <ref name="Referencia 055"></ref> ya que la medición implica el posicionamiento de la anchura [de la planchuela] que cubre [el cuerpo siendo observado] sobre la longitud del listón, que va desde el ojo hasta la planchuela, puede ser imprecisa. No obstante, cada vez que fuera determinada la Luna en su distancia mayor, cuando subtiende el mismo ángulo en el ojo como [lo hace] el Sol, calculamos el tamaño del ángulo que ésta subtiende desde las observaciones de los eclipsesEclipses lunares en los que la Luna estuvo cerca de aquella distancia [mayor], y por consiguiente obtenemos inmediatamente el tamaño del ángulo subtendido por el Sol. Explicaremos en esteéste [capítulo] el método del procedimiento por medio de dos eclipses [ya] utilizados.
 
En el quinto año de [la era] [https://es.wikipedia.org/wiki/Nabopolasar '''Nabopolasar'''], que es el 127 avo. año desde [la era] [https://es.wikipedia.org/wiki/Nabonasar '''Nabonassar'''], el 27-28 de [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Calendarios_Egipcio,_Juliano,_Gregoriano,_Hebreo_y_Musulmán.png '''Athyr'''] [III] en el calendario Egipcio ['''21-22 de Abril de -620'''], al final de la décimoprimera hora en [https://es.wikipedia.org/wiki/Babilonia_(ciudad) '''Babilonia'''], la Luna comienza a ser eclipsada; el máximo oscurecimiento fue de 1/4¼ del diámetro desde el surSur. Ahora, dado que el comienzo del eclipseEclipse ocurrió 5 horas de estación después de la medianoche, y el medioEclipse eclipseMedio cerca de las 6 [horas de estación después de la medianoche], que corresponde a las 5 5/6 horas equinocciales en Babilonia en aquella fecha (la posición verdadera del Sol estuvo en [[File: Almagesto Introducción ARIES.png|18px|Aries]] 27;3º), es claro que el medioEclipse eclipseMedio, que [ocurre] cuando la mayor parte del diámetro está inmerso en la sombra, ocurrió 5 5/6 horas equinocciales después de la medianoche en Babilonia, y exactamente 5 [horas después de la medianoche] en [https://es.wikipedia.org/wiki/Alejandría '''Alejandría''']. <ref name="Referencia 056"></ref>.
 
El momento desde la época [de Nabonassar] es de
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la posiciónPosición mediaMedia en longitudLongitud: [[File: Almagesto Introducción LIBRA.png|19px|Libra]] 25;32º<br />
la posiciónPosición verdaderaVerdadera en longitudLongitud: [[File: Almagesto Introducción LIBRA.png|19px|Libra]] 27;5º<br />
la distancia [en anomalíaAnomalía] desde el apogeoApogeo del epicicloEpiciclo: 340;7º<br />
la distancia [en latitudLatitud] desde el límite norteNorte sobre el círculo inclinado: 80;40º.
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Por lo tanto es claro que cuando el centro de la Luna está cerca de su distancia mayor a 9 1/3º distante del nodo[https://es.wikipedia.org/wiki/Nodos_de_la_órbita '''Nodo'''], medido a lo largo de su círculo inclinado, y el centro de la sombra yace sobre el gran círculo dibujado a través del centro de la Luna en ángulos rectos hacia el círculo inclinado (que es la ubicación en la que ocurre el mayor oscurecimiento), 1/4¼ del diámetro de la Luna está inmerso en la sombra.
 
Nuevamente, en el decimoséptimo año de [https://es.wikipedia.org/wiki/Cambises_II '''Cambises II'''], que es el 225 to. año desde Nabonassar, 17/18 de Phamenoth [VII] en el calendario Egipcio ['''16-17 de Julio de -522'''], 1 hora [equinoccial] antes de la medianoche en Babilonia, la Luna fue eclipsada mitad de su diámetro desde el norteNorte. Por lo tanto esteéste eclipseEclipse ocurrió cerca de 1 5/6 horas equinocciales antes de la medianoche en Alejandría <ref name="Referencia 058"></ref>. El instante desde la época [Nabonassar] es de
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la posiciónPosición mediaMedia en longitudLongitud: [[File: Almagesto Introducción CAPRICORNUS.png|19px|Capricornus]] 20;22º<br />
la posiciónPosición verdaderaVerdadera en longitudLongitud: [[File: Almagesto Introducción CAPRICORNUS.png|19px|Capricornus]] 18;14º <ref name="Referencia 059"></ref><br />
la distancia [en anomalíaAnomalía] desde el apogeoApogeo del epicicloEpiciclo: 28;5º <ref name="Referencia 060"></ref><br />
la distancia [en latitudLatitud] desde el límite norteNorte sobre el círculo inclinado: 262;12º.
</div>
 
Por lo tanto es claro que, cuando el centro de la Luna, está nuevamente cerca de su mayor distancia, [se ubica a] 7 4/5º deldesde el nodo, medido a lo largo de su círculo inclinado, y el centro de la sombra tiene la misma posición relativa a él como antes, la mitad del diámetro de la Luna está inmersa en la sombra.
 
Pero, cuando el centro de la Luna está a 9 1/3° del nodo a lo largo del círculo inclinado, está a 48 1/2½' desde la eclípticaEclíptica a lo largo del gran círculo dibujado a través de él [(centro lunar)] en ángulos rectos haciahasta el círculo inclinado [la órbita]; y cuando está a 7 4/5º desde el nodo a lo largo del círculo inclinado, está a 40 2/3' desde la eclípticaEclíptica a lo largo del gran círculo dibujado a través de él en ángulos rectos haciahasta el círculo inclinado <ref name="Referencia 061"></ref>. Por lo tanto, dado que la diferencia entre [los tamaños de] los dos eclipsesEclipses comprenden 1/4¼ del diámetro de la Luna, y la diferencia entre las distancias arriba [descritas] del centro de la Luna desde la eclípticaEclíptica (por ej. desde el centro de la sombra), comprende [48 1/2½ - 40 2/3 =] 7 5/6', es obvio que el diámetro de la Luna subtiende un gran arco del círculo de [4 * 7 5/6 =] 31 1/3'.
 
Desde los mismos datos es fácil ver que el radio de la sombra en la misma distancia mayor de la Luna subtiende 40 2/3'. Cuando el centro de la Luna estuvo a ésta distancia de [40 2/3'] desde el centro de la sombra, [se encontraba] tocando el filo de la circunferencia de la sombra, porque [en estaésta ubicación] mitad del diámetro de la Luna fue eclipsada. Siendo insignificantemente menor que 2 3/5 tas. veces el radio de la Luna, que es de 15 2/3'. Los valores que derivamos de las cantidades de arriba desde un número de observaciones similares están de acuerdo con ellos <ref name="Referencia 062"></ref>; por lo tanto los utilizamos, ambos en otras partes de la teoría, concernientes a eclipseslos Eclipses <ref name="Referencia 063"></ref>, y en la siguiente demostración de la distancia solar, la cual estará [contenida] a lo largo de las mismas líneas como aquellas seguidas [escritas] por [https://es.wikipedia.org/wiki/Hiparco_de_Nicea '''Hiparco''']. Una futura presuposición [de esta demostración] es que los círculos del Sol, de la Luna y de la Tierra cubiertos por los conos no son notablemente menores que los grandes círculos sobre sus esferas, y los [que] los diámetros también [no (son) notablemente menores que los diámetros del gran círculo] <ref name="Referencia 064"></ref>.
 
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=='''Notas de referencia'''==
{{listaref|refs=
<ref name="Referencia 050">El encabezado del capítulo es ubicado, por varios de los manuscritos griegos (y por el texto de [https://es.wikipedia.org/wiki/Johan_Ludvig_Heiberg '''Heiberg''']), antes de H416,20. Yo lo he transferido aquí (antes de H416,9), siguiendo el manuscrito Arábigo (cf. también el manuscrito D, que lo tiene en el margen superior), como una interrupción más apropiada. Cf. ver la [[Almagesto:_Introducción|Introducción]] ("Que es el Almagesto y que no es"). Sobre éste capítuloCapítulo 14 ver ''HAMA'' 103-8, [https://en.wikipedia.org/wiki/Olaf_Pedersen Pedersen] 207-9 (con las correcciones Toomer [3] 140, 143, 149).</ref>
<ref name="Referencia 051">De acuerdo a Pappus[https://es.wikipedia.org/wiki/Pappus_de_Alejandría Papo] ad loc. (Rome [1] I 87-9) "''los astrónomos más antiguos''" utilizaron relojes''Relojes de aguaAgua'' ([https://es.wikipedia.org/wiki/Clepsidra '''clepsidraClepsidra''']) para medir el tiempo tomado por el Sol en cruzar el [https://es.wikipedia.org/wiki/Horizonte_astronómico horizonte], procedimiento criticado por Hiparco. Él se refiere a un trabajo perdido de [https://es.wikipedia.org/wiki/Herón_de_Alejandría '''Herón'''], <span style="font-family: Symbol"> </span>, sobre el cual ver también a Proclus[https://es.wikipedia.org/wiki/Proclo Proclo], ''Hypotyposis'' IV 73-6 (ed. [https://en.wikipedia.org/wiki/Karl_Manitius Manitius] p. 120-2). [https://en.wikipedia.org/wiki/Johan_Ludvig_Heiberg_(historian) Heiberg] correctamente acentúa <span style="font-family: Symbol"> </span> (desde el abstracto <span style="font-family: Symbol"> </span>). No hay evidencia de la existencia de <span style="font-family: Symbol"> </span>, "vasija para la medición del flujo del agua", conjeturados por LSJ s.v. En el correspondiente pasaje de Proclus p. 120 línea 14 debería leerse <span style="font-family: Symbol"> </span>. Cf. también ver ''HAMA'' 103 n.1.</ref>
 
<ref name="Referencia 052">Hay descripciones antiguas de esteéste instrumento por [https://es.wikipedia.org/wiki/Pappus_de_Alejandría Papo] en su comentario ad loc. (Rome [1] I 90-2) y por Proclus, ''Hypotyposis'' IV 87-96 (ed. [https://en.wikipedia.org/wiki/Karl_Manitius Manitius] pp. 126-30). Ver Price, "Instrumentos de Precisión" 591, y, para una moderna literatura, ver ''HAMA'' 103 n.2. La característica esencial es [que es] una planchuela (<span style="font-family: Symbol"> </span>, H417,22-3) la cuálque puede ser movida a lo largo del listón graduado hasta que ésta parece cubrir exactamente el objeto siendo observado por el ojo ubicado al final del listón.</ref>
<ref name="Referencia 051">De acuerdo a Pappus ad loc. (Rome [1] I 87-9) "''los astrónomos más antiguos''" utilizaron relojes de agua ([https://es.wikipedia.org/wiki/Clepsidra '''clepsidra''']) para medir el tiempo tomado por el Sol en cruzar el horizonte, procedimiento criticado por Hiparco. Él se refiere a un trabajo perdido de [https://es.wikipedia.org/wiki/Herón_de_Alejandría '''Herón'''], <span style="font-family: Symbol"> </span>, sobre el cual ver también a Proclus, ''Hypotyposis'' IV 73-6 (ed. Manitius p. 120-2). Heiberg correctamente acentúa <span style="font-family: Symbol"> </span> (desde el abstracto <span style="font-family: Symbol"> </span>). No hay evidencia de la existencia de <span style="font-family: Symbol"> </span>, "vasija para la medición del flujo del agua", conjeturados por LSJ s.v. En el correspondiente pasaje de Proclus p.120 línea 14 debería leerse <span style="font-family: Symbol"> </span>. Cf. también ver HAMA 103 n.1.</ref>
<ref name="Referencia 053">Fue demostrado por [https://en.wikipedia.org/wiki/Noel_Swerdlow Swerdlow], "Hiparco" 291-8, donde Hiparco fue uno de aquellos quienes sostuvieron esto. Una consecuencia importante de estaésta hipótesisHipótesis es que los eclipsesEclipses solaresSolares anularesAnulares llegan a ser posibles, mientras que bajo Ptolomeo ellos son imposibles [de ocurrir].</ref>
 
<ref name="Referencia 052">Hay descripciones antiguas de este instrumento por [https://es.wikipedia.org/wiki/Pappus_de_Alejandría Papo] en su comentario ad loc. (Rome [1] I 90-2) y por Proclus, ''Hypotyposis'' IV 87-96 (ed. Manitius pp. 126-30). Ver Price, "Instrumentos de Precisión" 591, y, para una moderna literatura, ver HAMA 103 n.2. La característica esencial es [que es] una planchuela (<span style="font-family: Symbol"> </span>, H417,22-3) la cuál puede ser movida a lo largo del listón graduado hasta que ésta parece cubrir exactamente el objeto siendo observado por el ojo ubicado al final del listón.</ref>
 
<ref name="Referencia 053">Fue demostrado por Swerdlow, "Hiparco" 291-8, donde Hiparco fue uno de aquellos quienes sostuvieron esto. Una consecuencia importante de esta hipótesis es que los eclipses solares anulares llegan a ser posibles, mientras que bajo Ptolomeo ellos son imposibles [de ocurrir].</ref>
 
<ref name="Referencia 054">Hiparco (ver el [[Almagesto:_Libro_IV_-_Capítulo_09|Libro IV Capítulo 9]]) asume que la Luna en su distancia media subtiende unas 650 ma. partes de un círculo, o cerca de 0;33,14º; por lo tanto su figura para el diámetro del Sol fue la misma. Ptolomeo (debajo) encuentra que cuando la Luna y el Sol tienen el mismo diámetro aparente (en la distancia máxima) éste es de 0;31,20º, considerablemente menor. Debe ser lo que él quiere decir aquí. Sin embargo, el valor del diámetro lunar en su distancia media, [es de] 0;33,20º, siendo insignificantemente diferente según Hiparco".</ref>
<ref name="Referencia 055">Eliminando <span style="font-family: Symbol"> </span> en H417,23, para ésta [palabra] no le puedo adjuntaragregar un significado (no puede entenderse [como] "muy laborioso", como [https://en.wikipedia.org/wiki/Karl_Manitius Manitius] traduce, y ni tampoco, si puediera [traducirse], sería cierto). La variante <span style="font-family: Symbol"> </span> hallada en el manuscrito D, parte de la tradición árabeÁrabe (L) y en Pappus[https://es.wikipedia.org/wiki/Pappus_de_Alejandría Papo] (Rome [1] I 93,21) puede ser traducida [como] ("que implica múltiples posicionamientos"), aunque no es verdadero que observando la Luna requeriríase requiriera más de un posicionamiento de la planchuela. A no ser que la corrupción sea muy acentuada (por ej. <span style="font-family: Symbol"> </span> la ha reemplazado con una palabra significando "''delicada''") uno debe asumir que <span style="font-family: Symbol"> </span> fue un glosario sin sentido intentando explicar porqué el proceso fue impreciso, y que éste fue corrupto al ininteligible <span style="font-family: Symbol"> </span> por atracción haciaa <span style="font-family: Symbol"> </span></ref>
 
<ref name="Referencia 056">[https://en.wikipedia.org/wiki/Theodor_von_Oppolzer Oppolzer] no. 901: el eclipseEclipse medioMedio [ocurrió a las] 2;02:38 a.mhs. (≈ 4 1/2½ después de la medianoche en [https://es.wikipedia.org/wiki/Alejandría Alejandría]), magnitud 1,6 dígitos. [https://de.wikipedia.org/wiki/Paul_Viktor_Neugebauer '''P. V. Neugebauer'''], en su ''Spezieller Kanon'', da cerca de 5 1/4¼ hora después de la medianoche (en Babilonia) para el eclipseEclipse medioMedio, magnitud 2,1 dígitos.<br />
<ref name="Referencia 055">Eliminando <span style="font-family: Symbol"> </span> en H417,23, para ésta [palabra] no puedo adjuntar un significado (no puede entenderse [como] "muy laborioso", como Manitius traduce, y ni tampoco, si puediera [traducirse], sería cierto). La variante <span style="font-family: Symbol"> </span> hallada en el manuscrito D, parte de la tradición árabe (L) y en Pappus (Rome [1] I 93,21) puede ser traducida [como] ("que implica múltiples posicionamientos"), aunque no es verdadero que observando la Luna requeriría más de un posicionamiento de la planchuela. A no ser que la corrupción sea muy acentuada (por ej. <span style="font-family: Symbol"> </span> ha reemplazado una palabra significando "''delicada''") uno debe asumir que <span style="font-family: Symbol"> </span> fue un glosario sin sentido intentando explicar porqué el proceso fue impreciso, y que éste fue corrupto al ininteligible <span style="font-family: Symbol"> </span> por atracción hacia <span style="font-family: Symbol"> </span></ref>
 
<ref name="Referencia 056">Oppolzer no. 901: el eclipse medio [ocurrió a las] 2;38 a.m. (≈ 4 1/2 después de la medianoche en Alejandría), magnitud 1,6 dígitos. [https://de.wikipedia.org/wiki/Paul_Viktor_Neugebauer '''P. V. Neugebauer'''], en su ''Spezieller Kanon'', da cerca de 5 1/4 hora después de la medianoche (en Babilonia) para el eclipse medio, magnitud 2,1 dígitos.<br />
 
Fecha y horas calculadas con un programa de computación desde la observación realizada por los Babilonios (actual [https://es.wikipedia.org/wiki/Bagdad Bagdad]) del siguiente:
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<ref name="Referencia 057">La ecuación del tiempo para una longitud solar de [[File: Almagesto Introducción ARIES.png|19px|Aries]] 27º es alrededor de -20 minutos mas bien que -15 minutos.</ref>
 
<ref name="Referencia 058">[https://en.wikipedia.org/wiki/Theodor_von_Oppolzer Oppolzer] no. 1056: el medioEclipse eclipseMedio 21;0 hs. (≈ 1123:00 p.mhs. en Alejandría), magnitud 6,1 dígitos. [https://de.wikipedia.org/wiki/Paul_Viktor_Neugebauer P. V. Neugebauer] da para el medioEclipse eclipseMedio cerca de 23,6 hs. en Babilonia, magnitud 6,1 dígitos. El tiempo utilizado por Ptolomeo es claramente erróneo (aunque las posiciones calculadas del Sol y de la Luna le deben haberlehaber parecido confirmar [su observación]), pero el origen de su error es también es complicado discutirlo aquí.<br />
El mejor tratamiento está en Britton [1] 81-4. Para esteéste eclipseEclipse (solo de aquellos solamente preservados en el Almagesto) hay también un extenso reporte cuneiforme (publicado por [https://es.wikipedia.org/wiki/Franz_Xaver_Kugler Kugler], SSB I p.71). De acuerdo con A. J Sachs esteéste texto debería ser traducido taldel comosiguiente siguemodo: "Año VII, mesMes IV, noche del decimocuarto [día], 1 2/3 horas dobles de la noche un eclipse "total" lunar tomó lugar [con sólo con] una pequeña [parte] remanente [no eclipsado] a las 1 ⅔ horas doble de la noche. El viento norteNorte sopló". Aquí el momento está de acuerdo con los cálculos modernos (y en desacuerdo con Ptolomeo), pero la magnitud está en desacuerdo con ambos.<br />
 
Fecha y horas calculadas con un programa de computación desde la observación realizada por los Babilonios (actual [https://es.wikipedia.org/wiki/Bagdad Bagdad]) del siguiente:
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<ref name="Referencia 059">Posiblemente uno debería leer 18;11º con el manuscrito D1 (calculado [como]: 18;10).</ref>
 
<ref name="Referencia 060">Aquí Ptolomeo aquí ha cometido un error de cálculo: el correcto es seg. α = 27;54º. Obviamente, ha calculado (sólosolamente aquí) ha calculado para el instante no corregido de 10 1/6 hs. Sin embargo, esto no ha tenidohabido serias consecuencias, puesto que es simplemente la intención mostrarde demostrar que la Luna estaestá cerca del apogeoApogeo del epicicloEpiciclo. La discrepancia de la verdaderaPosición posiciónVerdadera no puede ser explicada por éste error (ver la nota de referencia anterior) no puede ser explicada por este error.</ref>
 
<ref name="Referencia 061">Sobre los cálculos de estas cantidades ver HAMA 107. Parece probable que ellos, propiamente [dicho], han calculado desde un triángulo esférico con el ángulo recto en la órbita de la Luna (mas bien que desde un plano triangular o desde alguna de las otras aproximaciones sugeridas allí). Aunque los cálculos son imprecisos: Ptolomeo debería haber determinado 48 3/4' y 40 5/6' respectivamente. Cálculos similares con la Luna en el perigeo del epiciclo ver el [[Almagesto:_Libro_VI_-_Capítulo_05|Libro VI Capítulo 5]] Fig. 6.1.</ref>
 
<ref name="Referencia 062">Aunque el procedimiento de Ptolomeo para encontrar los diámetros aparentes de la Luna y de la sombra es para ambos elegante y teóricamente correcto, sufre de serias desventajas prácticas. Ver HAMA 106-8 sobre esos [diámetros], y las imprecisiones involucradas en los cálculos actuales.</ref>
 
<ref name="Referencia 061">Sobre los cálculos de estaséstas cantidades ver ''HAMA'' 107. Parece probable que ellos, propiamente [dicho], las han calculado desdecon un triángulo esférico con el ángulo recto en la órbita de la Luna (mas bien que desde un plano triangular o desde alguna de las otras aproximaciones sugeridas allí sugeridas). Aunque los cálculos son imprecisos: Ptolomeo debería haber determinado 48 3/4¾' y 40 5/6' respectivamente. Cálculos similares con la Luna en el perigeoPerigeo del epicicloEpiciclo ver el [[Almagesto:_Libro_VI_-_Capítulo_05|Libro VI Capítulo 5]] Fig. 6.1.</ref>
<ref name="Referencia 062">Aunque el procedimiento de Ptolomeo para encontrarhallar los diámetros aparentes de la Luna y de la sombra, es para ambos elegante y teóricamente correcto para ambos, sufre de serias desventajas prácticas. Ver ''HAMA'' 106-8 sobre esos [diámetros], y las imprecisiones involucradas en los cálculos actuales.</ref>
<ref name="Referencia 063">Referencia al [[Almagesto:_Libro_VI_-_Capítulo_05|Libro VI Capítulos 5-7]] y al [[Almagesto:_Libro_VI_-_Capítulo_11|Libro VI Capítulo 11]].</ref>
<ref name="Referencia 064">Por ej. en la Fig. 5.12 los conos desde los puntos N y X cubriendo las esferasEsferas del Sol (ABG), de la Luna (EZH) y la de la Tierra (KLM) tienen sus bases (los círculos sobre AG, EH y KM) los cualesque no son sensiblemente menores que los grandes círculos en aquellas esferas: por lo tanto AG, EH y KM pueden ser tratados como diámetros de las esferas. Ésta simple aproximación es completamente justificada por la magnitud de las distancias de los cuerpos comparados con sus diámetros.</ref>
 
<ref name="Referencia 064">Por ej. en Fig. 5.12 los conos desde los puntos N y X cubriendo las esferas del Sol (ABG), de la Luna (EZH) y la de la Tierra (KLM) tienen sus bases (los círculos sobre AG, EH y KM) los cuales no son sensiblemente menores que los grandes círculos en aquellas esferas: por lo tanto AG, EH y KM pueden ser tratados como diámetros de las esferas. Ésta simple aproximación es completamente justificada por la magnitud de las distancias de los cuerpos comparados con sus diámetros.</ref>
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