Diferencia entre revisiones de «Almagesto: Libro IV - Capítulo 06»

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Línea 62:
Debemos imaginar la Luna moviéndose sobre el Epiciclo desde B hasta A y desde A hasta G en tal sentido que el arco AGB, cuyo incremento en movimiento entre el primer y segundo Eclipse es de 306;25º, y produce un incremento de 3;24º sobre el Movimiento Medio, mientras el arco BAG, cuyo incremento en movimiento entre el segundo y tercer Eclipse es de 150;26º, y produce una disminución de 0;37º en el Movimiento Medio. Por lo tanto, el movimiento desde B hasta A es de 53;35º y produce una disminución de 3;24º en el Movimiento Medio, y el Movimiento desde A hasta G es de 96;51º y produce un incremento de 2;47º sobre el Movimiento Medio.
 
Ahora el Perigeo del Epiciclo no puede ubicarse en el arco BAG. EsEsto está claro ya que éste arco tiene un efecto sustractivo, y es menor que un semicírculo, mientras la mayor velocidad ocurre en el perigeo. Entonces, dado que, [el perigeo] necesariamente se ubica en el arco GEB <ref name="Referencia 035"></ref>, tomemos el centro de la Eclíptica, que es también el centro de la Deferente, como en el punto D, y dibujemos las líneas DA, DEB y DG hasta los puntos que representan [las posiciones de la Luna en] los tres Eclipses. Con el fin de hacer la secuencia de la prueba fácilmente transferible a los cálculos de éste tipo, si utilizamos la '''Hipótesis del Epiciclo''' (como [lo haremos] ahora) en nuestras demostraciones, o la [[Almagesto:_Libro_III_-_Capítulo_04|'''Hipótesis de la Excéntrica''']] [ver Fig. 4.5.], en la que el centro D es tomado dentro del círculo, damos la siguiente descripción generalmente aplicable.
[[File:Almagesto_Libro_IV_FIG_05.png|center|379px|Fig. 4.5]]
<center>Fig. 4.5</center>
 
Prolongar una de las tres líneas rectas dibujadas [DA, DB, DG] hasta la circunferencia opuesta (en éste caso ya tenemos DEB dibujada hasta E desde el punto B del segundo Eclipse), y dibujar una línea uniendo los puntos de los otros dos Eclipses (aquí AG). Desde el punto donde la primer línea prolongada corta la circunferencia (aquí E), nuevamente dibujar [dos] líneas hasta los otros dos puntos (aquí EA, EG), y [desde el mismo punto] eliminar las perpendiculares sobre las líneas entre los otros dos puntos y el centro de la Eclíptica (aquí EZ hasta AD y EH hasta GD). Desde uno de esos dos puntos (aquí G) eliminar una perpendicular hasta la línea dibujada desde la otra (aquí A) hasta la intersección extra [con la circunferencia] (aquí E) resultante de [la primer línea recta, DB,] siendo prolongada (en ese caso, eliminamos GΘ hacia AE). Sea cual fuere el punto para comenzar a dibujar la figura, encontraremos que las mismas proporciones resultan de los números utilizados en la demostración. Nuestra elección [del punto de partida] está guiado meramente por conveniencia.
 
Entonces, dado que encontramos que el arco BA subtiende 3;24º de la eclípticaEclíptica,
 
<div class="prose">
Línea 85:
^ BEA = 53;35ºº donde 2 ángulos rectos = 360ºº.<br />
Pero, en las mismas unidades, ^ BDA = 6;48ºº.<br />
Por lo tanto, por substracciónsustracción,<br />
^ EAZ = 46;47ºº en las mismas unidades.
</div>
Línea 98:
</div>
 
Nuevamente, dado que el arco BAG subtiende 0;37º de la eclípticaEclíptica,
 
<div class="prose">
Línea 114:
^ BEG = 150;26ºº donde 2 ángulos rectos = 360ºº.<br />
Pero ^ BDG = 1;14ºº en las mismas unidades.<br />
Por lo tanto, por substracciónsustracción, ^ EGD = 149;12ºº.
</div>
 
Línea 143:
<div class="prose">
Arco GΘ = 96;51º<br />
y Arco EΘ = 83;9º (complementocomplementario).
</div>
 
Línea 165:
 
<div class="prose">
Y lael escuadracuadrado en AΘ es de 290;14,19<br />
mientras laque escuadrael cuadrado en GΘ es de 1;0,17.<br />
Pero AG² = AQ² + GQ² = 291;14,36.<br />
Por lo tanto AG = 17;3,57p. donde DE = 120p y GE = 1;20,23p.<br />
Pero, donde el diámetro del epicicloEpiciclo es de 120p,<br />
AG = 89;46,14p.(para esto subtiende el arco AG, que es de 96;51º).<br />
Por lo tanto donde AG = 89;46,14p <br />
y el diámetro del epicicloEpiciclo es de 120p,<br />
DE = 631;13,48p<br />
y GE = 7;2,50p.<br />
Por lo tanto el arco GE del epicicloEpiciclo = 6;44,1º.<br />
Y, por hipótesisHipótesis, el Arco BAG = 150;26º.<br />
Por lo tanto, por adición,<br />
el arco BGE = 157;10,1º, <br />
entonces su cuerda, BE = 117;37,32p<br />
donde el diámetro del epicicloEpiciclo es de 120p<br />
y ED = 631;13,48p.
</div>
 
Ahora, si hemos encontrado BE igual al diámetro del epicicloEpiciclo, el centro del epicicloEpiciclo podría, obviamente, ubicarse en él, e inmediatamente podría tomar la proporción entre los diámetros [del epicicloEpiciclo y la deferenteDeferente]. Sin embargo, dado que ésta es menor que el diámetro, y tambientambién el arco BGE es menor que un semicírculo, es claro que el centro del epicicloEpiciclo caerá fuera del segmento [(arco)] BAGE.
 
Sea éste [el centro del epiciclo] en el punto K [Fig. 4.6], y dibujar la línea DMKL desde D, el centro de la eclípticaEclíptica, a través de K. Por lo tanto el punto L representa el apogeoApogeo del epicicloEpiciclo y M su perigeoPerigeo. LuegoEntonces
 
[[File:Almagesto_Libro_IV_FIG_06.png|center|379px|Fig. 4.6]]
Línea 200:
por lo tanto LD * DM = BD * DE = 472700;5,32p.<br />
Además, dado que LD * DM + KM² = DK² <ref name="Referencia 038"></ref><br />
y el radio del epicicloEpiciclo, KM = 60p,<br />
KM² = 3600p,<br />
y DK² = 472700;5,32p + 3600p = 476300;5,32p.
</div>
 
Por lo tanto DK, [que es] el radio del círculo deferente concéntrico a la eclípticaEclíptica, es de 690;8,42p donde KM, el radio del epicicloEpiciclo, es de 60p.
 
Entonces, donde el radio de la deferente, cuyo centro coincide con el observador, es de 60p, [y] el radio del epicicloEpiciclo es cerca de 5;13p.
 
Repitiendo la misma figura [Fig. 4.7], eliminar la perpendicular KNX desde el centro K haciahasta BE, y unir BK.
 
<div class="prose">
Línea 228:
en consecuencia ^ DKN = 178;2ºº donde 2 ángulos rectos = 360ºº<br />
en consecuencia ^ DKN = 89;1º donde 4 ángulos rectos = 360º.<br />
Por lo tanto el arco XM del epicicloEpiciclo = 89;1º,<br />
y el arco LBX = 90;59º (complementocomplementario), <br />
y el arco XB = ½ arco BXE = 78;35º (el arco BE determinado cerca de 157;10º).
</div>
 
Por lo tanto, por substracción, el arco LB del epicicloEpiciclo es de 12,24º, quequé es la distancia de la Luna desde el apogeoApogeo del epicicloEpiciclo en medio del segundo eclipseEclipse en cuestión.
 
Similarmente, dado que, como hemos demostrado,
Línea 241:
</div>
 
por substracción, el ^ KDN es de 0;59º (complementocomplementario dedel ^ DKN), que representa la ecuación'''Ecuación de la anomalíaAnomalía''' (que es substractivasustractiva respecto al movimientoMovimiento medioMedio) correspondiente al arco LB del epicicloEpiciclo. Por lo tanto la posición media de la Luna en medio del segundo eclipseEclipse fue en [[File: Almagesto Introducción VIRGO.png|19px|Virgo]] 14;44º, dado que su verdadera posición fue de [[File: Almagesto Introducción VIRGO.png|19px|Virgo]] 13;45º, correspondiente a la posición del Sol en Pisces.
 
'''Volvamos ahora a los tres eclipses que hemos seleccionado de aquellos observados por nosotros muy cuidadosamente por nosotros en Alejandría.'''
 
El '''primero''' ocurrió en el decimoséptimo año de [https://es.wikipedia.org/wiki/Adriano '''Adriano'''], 20/21 de [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Calendarios_Egipcio,_Juliano,_Gregoriano,_Hebreo_y_Musulmán.png '''Pauni'''] (X)] en el calendario egipcioEgipcio ['''6/7 de Mayo de 133''']. Calculamos el tiempo exacto del eclipseEclipse medio como de ¾ de una horaHora equinoccialEquinoccial antes de la medianoche. Fue total <ref name="Referencia 039" />. En aquel tiempo la posición verdadera del Sol estuvo cerca de [[File: Almagesto Introducción TAURUS.png|19px|Taurus]] 13 ¼º.
 
El '''segundo''' ocurrió en el decimonoveno año de Adriano, 2/3 de Choiak [IV] en el calendario egipcio ['''20/21 de Octubre del 134''']. Calculamos que el eclipseEclipse medio ha ocurrido 1 hora equinoccialEquinoccial antes de la media nochemedianoche. [La Luna] fue eclipsada 5/6 de su diámetro desde el norteNorte <ref name="Referencia 040"></ref>. En aquel tiempo la verdadera posición del Sol estuvo en [[File: Almagesto Introducción LIBRA.png|19px|Libre]] 25 1/6º.
 
El '''tercer''' eclipseEclipse ocurrió en el vigésimo año de Adriano, 19/20 de Pharmouthi [VII] en el calendario Egipcio ['''5/6 de Marzo de 136''']. Calculamos que el eclipseEclipse medio ocurrió 4 horas equinoccialesEquinocciales después de la medianoche. [La Luna] fue eclipsada mitad de su diámetro desde el norteNorte <ref name="Referencia 041"></ref>. En aquel tiempo la posición del Sol estuvo en [[File: Almagesto Introducción PISCES.png|19px|Pisces]] 14 1/12º.
 
Es claro aquí también que el movimientoMovimiento medioMedio [en longitudLongitud] de la Luna, más allá de una revolución completa, es igual a aquella del Sol, y es:
 
<div class="prose">
desde el medio del primer eclipseEclipse al medio del segundo: 161;55º<br />
desde el medio del segundo eclipseEclipse al medio del tercero: 138;55º.
</div>
 
Línea 261:
 
<div class="prose">
1 año Egipcio de 166 días 23 ¾ horas equinoccialesEquinocciales recontadas simplemente<br />
1 año Egipcio de 166 días 23 5/8 horas equinoccialesEquinocciales recontadas en forma precisa.
</div>
 
Línea 268:
 
<div class="prose">
1 año Egipcio de 137 días 5 horas equinoccialesEquinocciales recontadas simplemente<br />
1 año Egipcio de 137 días 5 1/2 horas equinoccialesEquinocciales recontadas en forma precisa.
</div>
 
El movimientoMovimiento medioMedio aproximado de la Luna (más allá de una revolución completa) es:
 
<div class="prose">
en 1 año 166 días 23 5/8 hs. de 110;21º en anomalíaAnomalía<br />
en 1 año 166 días 23 5/8 hs. de 169;37º en longitudLongitud<br />
y en 1 año 137 días 5 1/2 hs. de 81;36º en anomalíaAnomalía<br />
y en 1 año 137 días 5 1/2 hs. de 137;34º en longitudLongitud.
</div>
 
Por lo tanto, claramente, en el primer intervalo, los 110;21º del movimiento en el epicicloEpiciclo ha producido una disminución del movimientoMovimiento medioMedio de [161;55º - 169;37º =] 7;42º, mientras en el segundo intervalo, los 81;36º de movimiento en el epicicloEpiciclo ha producido un incremento en el movimientoMovimiento medioMedio de [138;55º - 137;34º =] 1;21º.
 
Con los datos de arriba, [Fig. 4.8] sea ABG el epicicloEpiciclo de la Luna. Sea A el punto en el cuálcual la Luna estuvo en el medio del primer eclipseEclipse, B su ubicación en el medio del segundo eclipseEclipse, y G su posición en el medio del tercero.
[[File:Almagesto_Libro_IV_FIG_08.png|center|379px|Fig. 4.8]]
<center>Fig. 4.8</center>
 
Nuevamente, debemos imaginar el movimiento de la Luna tomando lugar desde A hasta B y luego desde B hasta G en tal sentido que, como dijimos, el arco AB, que es de 110;21º, produce una disminución de 7;42º con respecto al movimientoMovimiento medioMedio, mientras el arco BG, que es de 81;36º, produce un incremento de 1;21º con respecto al movimientoMovimiento medioMedio; por lo tanto el arco remanente GA es de 168;3º y produce un incremento al movimiento medio de 6;21º, que es la diferencia [entre 7;42º y 1;21º].
 
Es claro que el apogeoApogeo debe ubicarse en el arco AB, dado que éste no puede [hacerlo] tanto en el arco BG o en el arco GA, ambos de los cuales producen un efecto aditivo y son menores que un semicírculo. En el mismo sentido [como antes] <ref name="Referencia 042"></ref>, tomar D como el centro de la eclípticaEclíptica y como el círculo transportando el epicicloEpiciclo, y dibujar desde él, hasta los puntos representando los tres eclipsesEclipses, las líneas DEA, DB, DG. Unir BG y dibujar desde el punto E hasta el [punto] B y G las líneas EB y EG, y eliminar hasta las líneas BD y DG las perpendiculares EZ y EH. También eliminar la perpendicular GΘ desde G hasta BE.
 
LuegoEntonces, dado que, el arco AB subtiende 7;42º sobre la eclípticaEclíptica, el ángulo en el centro de la eclípticaEclíptica,
 
<div class="prose">
Línea 320:
</div>
 
Además, ya que, como demostramos, el arco GEA subtiende 6;21º de la eclíptica, el ángulo en el centro de la eclípticaEclíptica también,
 
<div class="prose">
Línea 355:
<div class="prose">
el Arco GΘ = 81;36°
y el Arco EΘ = 98;24° (suplementosuplementario).
</div>
 
Línea 368:
 
Y la línea completa EB fue hallada ser de 21;48,59p en las mismas unidades.
 
Por lo tanto, por substracción [de EΘ desde EB],
 
Línea 375 ⟶ 376:
y BG² = ΘB² + GΘ² = 213;43,38p.<br />
Por lo tanto BG = 14;37,10p donde DE = 120p y GE = 13;16,20p.<br />
Pero, donde el diámetro del epicicloEpiciclo es de 120p,<br />
BG = 78;24,37p (cuerda del arco BG, cual es 81;36º).<br />
Por lo tanto, donde BG = 78;24,37p y el diámetro del epicicloEpiciclo es de 120p.<br />
DE = 643;36,39p y GE = 71;11,4p.<br />
Por lo tanto Arco GE del epicicloEpiciclo = 72;46,10º.<br />
Y, por hipótesis, Arco GEA = 168;3º.<br />
Por lo tanto, por sustracción Arco EA = 95;16,50º<br />
y por lo tanto su cuerda AE = 88;40,17p<br />
donde el diámetro del epicicloEpiciclo es de 120p<br />
y donde ED = 643;36,39p.
</div>
 
Además, dado que el arco EA fue demostrado ser menor que un semicírculo, el centro del epicicloEpiciclo se ubicará, obviamente, fuera del segmento EA. Tomar como centro el punto K [Fig. 4.9.], y dibujar la línea DMKL, nuevamente entonces que, el punto L representa el apogeoApogeo y punto M el perigeoPerigeo. Luego
 
<div class="prose">
Línea 393 ⟶ 394:
</div>
 
y hemos demostrado que, donde el diámetro del epicicloEpiciclo LKM = 120p,
 
<div class="prose">
Línea 405 ⟶ 406:
<div class="prose">
LD * DM + KM² = DK²,<br />
y KM, el radio del epicicloEpiciclo, es de 60p.
</div>
 
Línea 417 ⟶ 418:
<center>Fig. 4.9</center>
 
Por lo tanto, el radio de la deferenteDeferente, concéntrica con la eclípticaEclíptica,
 
<div class="prose">
DK = 689;8p donde el radio del epicicloEpiciclo, KM = 60p.
</div>
 
Por lo tanto, donde la línea que une los centros de la eclípticaEclíptica y del epicicloEpiciclo es de 60p, el radio del epicicloEpiciclo es de 5;14p.
 
Esta proporción (razón) es muy cercanapróxima a la misma que aquella justamente derivada arribaanteriormente desde el más antiguo de los eclipsesEclipses.
 
Entonces, en la misma figura [Fig. 4.10] eliminar la perpendicular KNX desde el centro K hasta DEA, y unir AK.
 
LuegoEntonces, como demostramos,
 
<div class="prose">
Línea 440 ⟶ 441:
en consecuencia DKN = 173;17ºº donde 2 ángulos rectos = 360ºº<br />
en consecuencia DKN = 86;38,30º donde 4 ángulos rectos = 360º.<br />
en consecuencia Arco MEX del epicicloEpiciclo = 86;38,30º,<br />
y Arco LAX = 93;21,30º (suplementosuplementario),<br />
y Arco AX = ½ arco AE ≈ 47;38,30º.<br />
Por lo tanto, por sustracción, Arco AL = 45;43º.<br />
Línea 451 ⟶ 452:
<center>Fig. 4.10</center>
 
Esta es la distancia de la Luna desde el apogeoApogeo en el medio del segundo eclipseEclipse determinado arriba.
 
Similarmente, como demostramos,
 
Línea 461 ⟶ 463:
</div>
 
Este ángulo subtiende el arco de la eclípticaEclíptica representando la ecuaciónEcuación de la anomalíaAnomalía (que es substractivasustractiva respecto al movimientoMovimiento medioMedio) resultando desededesde el arco LB del epicicloEpiciclo.
 
Por lo tanto '''la posiciónPosición mediaMedia de la Luna en medio del segundo eclipseEclipse''' estuvo en [[File: Almagesto Introducción ARIES.png|19px|Aries]] 29;30º, dado que su verdadera posición estuvo en [[File: Almagesto Introducción ARIES.png|19px|Aries]] 25;10º, correspondiente a la posición del Sol en Libra.
 
<center>
Línea 504 ⟶ 506:
=='''Notas de referencia'''==
{{listaref|refs=
<ref name="Referencia 027">Ver ''HAMA'' 73-8, [https://en.wikipedia.org/wiki/Olaf_Pedersen Pedersen] 169-79.</ref>
<ref name="Referencia 028"> Leer <span style="font-family: Symbol"></span> (en el manuscrito D, y en el Ar.) en cambio de <span style="font-family: Symbol"></span> (“siempre de acuerdo”) en H301,10.</ref>
<ref name="Referencia 029">Por Ejemploejemplo a los propósitos dedel cálculo de la longitudLongitud de la órbita lunar es tratada como si ella se ubicara en el plano de la eclípticaEclíptica. El resultado de máximo error (para ι ≈ 5º) es cercaalrededor de 6’ (cf. ''HAMA'' 83). Ptolomeo mismo ([[Almagesto:_Libro_VI_-_Capítulo_07|Libro VI Capítulo 7]]) lo estima de 5’.</ref>
<ref name="Referencia 029-1">Fecha y horas calculadas con un programa de computación desde la observación realizada por los Babilonios (actual [https://es.wikipedia.org/wiki/Bagdad Bagdad]) del siguiente:
 
Línea 523 ⟶ 525:
Nota del [https://commons.wikimedia.org/wiki/User:Fernando_de_Gorocica traductor al español]: carta y datos elaborados con mi software de aplicación "M1 Sistema Astronómico".
</ref>
<ref name="Referencia 030">Se asume que un eclipse''Eclipse totalTotal de Luna'' ocurre hasta las 4 horas desde el comienzo hasta el fin. EstoEllo estaestá bien de acuerdo con la duración que uno deriva de las tablas propias de Ptolomeo de eclipsesEclipses [[Almagesto:_Libro_VI_-_Capítulo_08|Libro VI Capítulo 8]] y con la duración máxima duración posible actual. La duración del eclipseEclipse en cuestión ([https://en.wikipedia.org/wiki/Theodor_von_Oppolzer Oppolzer] no. 741) fue de hecho cerca de 3 3/4¾ hs.</ref>
<ref name="Referencia 031">Esta diferencia de tiempo corresponde a la diferencia longitudinal de 12 ½º. La diferencia actual de tiempo es cercanapróxima a los 58 ½ minutos. En la [https://es.wikipedia.org/wiki/Geografía_(Ptolomeo) ''Geografía''] Ptolomeo enmendaenmienda la diferencia, en la dirección correcta pero demasiado lejos, por 1 ¼ horas (8.20.27), correspondiendo a la diferencia entre las longitudes asignadas allí para Alejandría (de 60 ½º, 4.5.9) y Babilonia (de 79º, 5.20.6).
</ref>
<ref name="Referencia 032">Cálculos modernos dan considerablemente un pequeñoEclipse eclipsepequeño: Oppolzer (no. 743) 1,6 dígitos, [https://de.wikipedia.org/wiki/Paul_Viktor_Neugebauer P.V. Neugebauer] 1,5 dígitos. Sin embargo las tablas propias tablas de Ptolomeo dan cerca de 2 ½ dígitos: ver [[Almagesto:_Apéndice_Cálculo|ApéndiceCálculo, Ejemplo 11]].
 
Fecha y horas calculadas con un programa de computación desde la observación realizada por los Babilonios (actual [https://es.wikipedia.org/wiki/Bagdad Bagdad]) del siguiente:
Línea 542 ⟶ 544:
Nota del [https://commons.wikimedia.org/wiki/User:Fernando_de_Gorocica traductor al español]: carta y datos elaborados con mi software de aplicación "M1 Sistema Astronómico".
</ref>
<ref name="Referencia 033">En un eclipseEclipse lunar, la Luna está diametralmente opuesta al Sol. Por lo tanto la salida de la misma coincide con la puesta del Sol, que ocurrió 5 ½ horas equinoccialesEquinocciales antes de la medianoche. Ptolomeo asigna 1/2½ hora para contabilizar “luego de la salida de la Luna”. Él estima una duración de 3 horas para un eclipseEclipse de más de 6 dígitos, (de acuerdo a Oppolzer, no. 744, éste eclipseEclipse tiene una magnitud de 6,4 dígitos y una duración de 2;36h; P. V. Neugebauer calcula 6,1 dígitos y 2,4 h). Obviamente esteéste eclipseEclipse apenas se "registra de forma inequívoca".
 
Fecha y horas calculadas con un programa de computación desde la observación realizada por los Babilonios (actual [https://es.wikipedia.org/wiki/Bagdad Bagdad]) del siguiente:
Línea 560 ⟶ 562:
Nota del [https://commons.wikimedia.org/wiki/User:Fernando_de_Gorocica traductor al español]: carta y datos elaborados con mi software de aplicación "M1 Sistema Astronómico".
</ref>
<ref name="Referencia 034">EsteÉste es un punto metodológico. Las tablas''Tablas de los movimientosMovimientos mediosMedios'' de Ptolomeo están basadas, no en períodos exactos que toma de Hiparco, sino (para la anomalíaAnomalía) desde una corrección aplicada al número derivado de esos períodos [[Almagesto:_Libro_IV_-_Capítulo_07|Libro IV Capítulo 7]]. Sin embargo, la corrección por si misma está basada en parte sobre los parámetros aquí derivados. En consecuencia es importante notar que la corrección no hace una diferencia sobre los pequeños intervalos aquí considerados (entre el primer y segundo eclipseEclipse esta [corrección] es sólo cerca de 1 segundo de arco). En [[Almagesto:_Libro_IV_-_Capítulo_11|Libro IV Capítulo 11]] es claro que Hiparco ya ha establecido el principio de que fue necesario utilizar un [conjunto] de tres eclipsesEclipses cercanos en tiempos, en consecuencia cierto error a largo plazo podría tener un efecto mínimo.</ref>
<ref name="Referencia 035">Ver ''HAMA'' 74 para un argumento detallado acerca de la ubicación del observador con respecto a los puntos sobre el epicicloEpiciclo representando los tres eclipsesEclipses.</ref>
<ref name="Referencia 036">115;41,24p (como L), puede ser correcto en H309,10 (calculado como: 115;41,28p). No hay diferencias en los cálculos subsecuentes si uno adopta 21, 24 o 28.</ref>
<ref name="Referencia 037"> [https://es.wikipedia.org/wiki/Euclides Euclides] III 36: ''el rectángulo contenido por alguna línea dibujada desde un punto fuera del círculo y el segmento aquella línea fuera del círculo es igual al cuadrado de la tangente al círculo en aquel punto''.</ref>
<ref name="Referencia 038"> Euclides II 6: ''si una línea recta (LM) es bisectada y una línea recta (DM) sumada a ella, el rectángulo comprendido en su totalidad, más la línea agregada (LD) y la línea adicionada (DM), junto con el cuadrado de la mitad (KM²) es igual al cuadrado de la línea (DK) hecha de la mitad (de KM) y la línea adicionada (DM)''.</ref>
<ref name="Referencia 039">Oppolzer no. 2071, circunstancias que están de acuerdo con lo reportado por Ptolomeo.<br />