Diferencia entre revisiones de «Almagesto: Libro III - Capítulo 06»

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==[[Categoría:Almagesto|'''Volver a los Contenidos''']]==
 
=='''{Sobre la construcción de una tabla para subdivisiones individuales de la anomalía}'''==
<ref name="Referencia 049"></ref>
Fig. 3.12.
 
En orden de permitir a uno, determinar el movimiento anomalístico sobre alguna subdivisión [del círculo], demostraremos nuevamente para ambas hipótesis como, dado uno de los arcos en cuestión, podemos calcular los otros.
 
[Ver Fig. 3.12.] Primero, sea ABG el círculo concéntrico de la eclíptica con centro en D, la excéntrica EZH sobre el centro , y sea el diámetro a través de ambos centros y el apogeo E sea EADH. Cortar el arco EZ, y unir ZD, Z. Primero, sea dado el arco EZ, ej. de 30º.
 
Generar Z y eliminar la perpendicular a él desde D, DK.
Luego, dado que el arco EZ es, por hipótesis, de 30º.
^ EZ = ^ DK = 30º donde 4 ángulos rectos = 360º
^ EZ = ^ DK = 60ºº donde 2 ángulos rectos = 360ºº.
 
Por lo tanto, en el círculo del triángulo rectángulo DK,
 
Arco DK = 60p donde la hipotenusa D = 120p.
y K = 103;55p donde la hipotenusa D = 120p.
Por lo tanto, donde
D = 2;30p y el radio Z = 60p,
DK = 1;15p y K = 2;10p.
 
Por lo tanto, por adición [de K al radio Z],
 
KZ = 62;10p.
Ahora ya que DK ^2 + KZ ^2 = ZD ^2,
la hipotenusa ZD ≈ 62;11p.
Por lo tanto, donde ZD = 120p, DK = 2;25p,
 
y, en el círculo donde el triángulo rectángulo ZDK,
 
Arco DK = 2;18º.
en consecuencia ^ DZK = 2;18ºº donde 2 ángulos rectos = 360ºº
en consecuencia ^ DZK = 1;9º donde 4 ángulos rectos = 360º.
 
Aquellos [1;9º] será la cantidad de la ecuación de la anomalía en esa posición.
 
Y el ^ EZ fue tomado como de 30º.
 
Por lo tanto, por substracción, el ^ ADB (que iguala el arco AB de la eclíptica) es igual a 28;51º.
 
Además; si algún otro de los ángulos [relevantes] es dado [en cambio del ^ EZ], los ángulos restantes serán dados, tal que inmediatamente es obvio si, en la misma figura [ver Fig. 3.13] eliminamos la perpendicular L desde  hacia ZD.
 
Suponer primero que el arco AB de la eclíptica, ej. el ^ DL, es dado. Luego la relación D / L será dada <ref name="Referencia 050"></ref>. Y ya que también es dada D / Z, será dada Z / L <ref name="Referencia 051"></ref>. Por lo tanto el ^ ZL, la ecuación de la anomalía, será dada <ref name="Referencia 052"></ref>, y entonces el ^ EZ será, ej. el arco EZ de la excéntrica.
 
Fig. 3.13.
 
O, (segundo), supongamos que es dada la ecuación de la anomalía, ej. el ^ ZD: tomaremos los mismos resultados en el orden inverso. Será dada la relación Z / L del ^ ZD, y la [relación] Z / D desde el principio. Será dada por lo tanto D / L, y en consecuencia el ^ DL, ej. del arco AB de la eclíptica, y [por ende] el ^ EQZ, ej. del arco EZ de la excéntrica.
 
Seguidamente [ver fig. 3.14] sea el círculo concéntrico ABG con la eclíptica con centro en D y diámetro ADG, y sea el epiciclo EZH (en la misma relación [al círculo ABG como excentricidad de la excéntrica]) con centro en A. Cortar el arco EZ y unir ZBD y ZA. Sea el arco EZ nuevamente tomado con la misma cantidad, de 30º. Eliminar la perpendicular ZK desde Z hacia AE.
 
Dado que Arco EZ = 30º,
^ EAZ = 30º donde 4 ángulos rectos = 360º
^ EAZ = 60ºº donde 2 ángulos rectos = 360ºº.
 
Fig. 3.14.
 
Por lo tanto, el triángulo rectángulo AZK [inscripto] en el círculo
 
Arco ZK = 60º
y Arco AK = 120º (suplemento).
 
En consecuencia, las cuerdas correspondientes
 
ZK = 60p donde el diámetro AZ = 120p.
Y KA = 103;55p donde el diámetro AZ = 120p.
 
Por lo tanto donde la hipotenusa AZ = 2;30p y el radio AD = 60p
 
ZK = 1;15p, KA = 2;10p,
y, por adición, KAD = 62;10p.
Y dado que ZK ^2 + KD ^2 = ZBD ^2,
ZD = 62;11p, donde ZK = 1;15p.
 
y en el triángulo rectángulo DZK, [inscripto] en el círculo
 
Fig. 3.15.
 
Arco ZK = 2;18º.
en consecuencia ^ ZDK = 2;18ºº donde 4 ángulos rectos = 360ºº
en consecuencia ^ ZDK = 1;9º donde 2 ángulos rectos = 360º.
 
Nuevamente ésta es, la cantidad de la ecuación de la anomalía, que está representada por el arco AB.
Y el ^ EAZ fue tomado como de 30º.
 
Por lo tanto, por substracción, el ^ AZD, que representa el arco del movimiento aparente sobre la eclíptica, es de 28;51º.
Estas cantidades están de acuerdo con lo que hallamos para la hipótesis de la excéntrica.
 
Si algún otro ángulo aquí también es dado [en cambio del ^ EAZ], los ángulos restantes serán dados, [como puede ser visto] en la misma figura [ver Fig. 3.15] si ella la perpendicular AL es eliminada desde A hacia DZ.
 
Fig. 3.16.
 
Pero si, como antes, tomamos primero el arco del movimiento aparente sobre la eclíptica, ej. dado desde el ^ AZD, desde [el cuál] será dada la relación ZA / AL. Y dado que ZA / AD fue dada desde el principio, será dada [también] DA / AL. Por lo tanto el ^ ADB será dado, ej. desde el arco AB, entonces el arco de la ecuación de la anomalía, será el ^ EAZ, ej. [dado] desde el arco EZ del epiciclo.
 
Si, (segundo), tomamos la ecuación de la anomalía, ej. dada desde el ^ ADB, entonces, en el mismo camino pero en el orden inverso, será dada ésta [relación] AD / AL; y dado que DA / AZ fue dada desde el principio, será también dada ZA / AL y por lo tanto será dado el ^ AZD, que corresponde al arco del movimiento aparente sobre la eclíptica, y [que] será el ^ EAZ, ej. desde el arco EZ del epiciclo.
 
Tomemos nuevamente la figura previa de la excéntrica [ver Fig. 3.16], y cortar desde H, [que es] el perigeo de la excéntrica, el arco HZ que nuevamente tomaremos como de 30º. Unir DZB y Z, y eliminar la perpendicular DK desde D hasta Z.
 
Luego dado que el arco ZH es = a 30º,
 
^ ZH = 30º donde 4 ángulos rectos = 360º
^ ZH = 60º donde 2 ángulos rectos = 360ºº.
 
Por lo tanto en el círculo en el triángulo rectángulo DK,
 
Arco DK = 60º
y Arco K = 120º (suplemento).
 
Por lo tanto las cuerdas correspondientes
 
DK = 60p donde el diámetro D = 120p.
y K = 103;55p donde el diámetro D = 120p.
Por lo tanto donde la hipotenusa D = 2;30p y el radio Z = 60p,
DK = 1;15p
y K = 2;10p,
y KZ = 57;50p por sustracción [de K desde Z]
Y ya que DZ ^2 = DK ^2 + KZ ^2,
DZ ≈ 57;51p donde DK = 1;15p.
 
Por lo tanto donde la hipotenusa
 
DZ = 120p,
DK = 2;34p. <ref name="Referencia 053"></ref>
 
Y, en el círculo en el triángulo rectángulo DZK,
 
Arco DK = 2;27º.
en consecuencia ^ DZK = 2;27ºº donde 2 ángulos rectos = 360ºº
en consecuencia ^ DZK = 1;14º (aproximadamente) donde 4 ángulos rectos = 360º.
 
Estos [1;14º], son entonces la ecuación de la anomalía.
 
Y dado que el ^ ZH fue tomado como de 30º, por adición, el ^ BDG, ej. desde el arco GB de la eclíptica, es igual a 31;14º.
Aquí también, en el mismo sentido [como antes], [ver Fig. 3.17] producimos BD y eliminamos L hacia él.
 
Luego si, primero, tomamos el arco GB de la eclíptica, ej. dado desde el ^ DL, será dada la relación D / L. Y dado que D / Z fue también dada en el comienzo, será dada Z / L. Por lo tanto, tendremos dados los ángulos ^ ZD, ej. desde la ecuación de la anomalía y el ^ ZD, ej. Desde el arco HZ de la excéntrica.
 
O si, (segundo), tomamos la ecuación de la anomalía, ej. Dada desde el ^ ZD, luego recíprocamente, será dada ésta [relación] Z / L. Y dado que Z / D fue también dada en el comienzo, será dada D / L. Por lo tanto tendremos, como ángulos dados, el ^ DL, que corresponde al arco GB de la eclíptica y el ^ ZH, ej. Desde el arco HZ de la excéntrica.
 
Similarmente, en la figura previa de la concéntrica y el epiciclo [ver Fig. 3.18], cortamos el arco H desde el perigeo, por la misma cantidad de 30º, [y] unir AH y DHB, y eliminar la perpendicular HK desde H hacia AD.
 
Fig. 3.17.
 
Luego, dado que el arco H es nuevamente de 30º,
 
^ AH = 30º donde 4 ángulos rectos = 360º
^ AH = 60ºº donde 2 ángulos rectos = 360ºº.
 
Por lo tanto en el triángulo rectángulo HKA, [inscripto] en el círculo
 
Arco HK = 60º
y Arco AK = 120º (suplemento).
 
Por lo tanto las cuerdas correspondientes
 
HK = 60p. donde la hipotenusa AH = 120p.
y AK = 103;55p. donde la hipotenusa AH = 120p.
 
Por lo tanto donde AH = 2;30p y el radio AD = 60p,
 
HK = 1;15p,
AK = 2;10p
y KD = 57;50p, por sustracción.
y ya que HK ^2 + KD ^2 = DH ^2,
DK ≈ 57;51p donde KH = 1;15p.
Fig. 3.18.
 
Por lo tanto donde la hipotenusa DH = 120p
 
HK = 2;34p,
 
Y, en el círculo siendo DHK, el arco HK = 2;27º.
 
en consecuencia ^ HDK = 2;27ºº donde 2 ángulos rectos = 360ºº
en consecuencia ^ HDK = 1;14º donde (aproximadamente) 4 ángulos rectos = 360º.
 
Entonces, aquí también este es la longitud de la ecuación de la anomalía, ej. desde el arco AB.
 
Y dado que el ^ KAH fue tomado como de 30º, por adición, el ^ BHA es de 312;14º, [que] representa el movimiento aparente sobre la eclíptica [contado desde el perigeo]. Estas cantidades están de acuerdo con todas aquellas halladas en la [hipótesis de la excéntrica].
 
Aquí también, por el mismo camino [de antes], eliminamos la perpendicular AL hasta DB [ver Fig. 3.19].
 
Fig. 3.19.
 
Luego si, primero, tomamos el arco de la eclíptica, ej. dado desde el ^ AHL, desde éste será dada la relación HA / AL. Y dado que HA / AD fue dada en el principio, será dada DA / AL. De allí tendremos dados los ángulos ^ ADB, ej. desde el arco AB, representando la ecuación de la anomalía y ^ AH, ej. desde el arco H del epiciclo.
 
O si, (segundo), tomamos como dado el arco AB, representando la ecuación de la anomalía, ej. desde el ^ ADB, entonces, de la misma manera pero en orden inverso, desde éste será dada la relación DA / AL. Y ya que en el comienzo es dada DA / AH, también será dada HA / AL. Por lo tanto tendremos dados el ^ AHL, ej. desde el arco de la eclíptica y el ^ AH, ej. desde el arco H de la eclíptica. Por lo tanto hemos provisto lo que hemos explicado.
 
Convenientemente, en orden de tener disponible la cantidad de la corrección en alguna posición dada, [queremos] establecer una tabla, subdividida en secciones [apropiadas], para el cálculo de posiciones aparentes de la anomalía. Los teoremas de arriba permitirán una variedad [de posiciones] en forma de una tabla <ref name="Referencia 054"></ref>, pero preferimos la forma donde el argumento es el movimiento medio y la función es la ecuación de la anomalía <ref name="Referencia 055"></ref>. Para ello, en buen acuerdo con las teorías presentes, también ésta [tabla] brinda, un simple pero muy práctico camino elaborado de cálculo y de resultados deseados. Entonces, utilizando el primer conjunto de teoremas [ej. la hipótesis de la excentricidad] que usamos en los ejemplos numéricos de arriba, calculamos geométricamente la ecuación de la anomalía correspondiente al arco del movimiento propio, en el [mismo] camino descrito, [con] subdivisiones individuales [del círculo]. En general, tanto para el Sol y para los otros cuerpos, dividimos los cuadrantes cerca del apogeo <ref name="Referencia 056"></ref> en 15 subdivisiones (por lo tanto en esos cuadrantes el intervalo de tabulación es de 6º), y los cuadrantes cerca del perigeo dentro de las 30 subdivisiones (por ende, ese intervalo de tabulación es de 3º). La razón es que las diferencias entre [sucesivas] ecuaciones de las anomalías, para subdivisiones iguales [del argumento], son mayores cerca del perigeo que cerca del apogeo.
 
Esquematizaremos la tabla de la anomalía del Sol, por lo tanto, en 45 líneas, como [lo hicimos] antes, y en tres columnas. Las dos primeras columnas contendrán los números de los movimientos a través de los 360º: las primeras 15 líneas comprenderán los dos cuadrantes cerca del apogeo, los grados de la ecuación de la anomalía a ser sumada o restada, correspondiendo al movimiento medio apropiado. La tabla es la siguiente.
 
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|align="center" | <span style="font-family: Comic Sans MS"><span style="color: #816e1f"><big>'''Libro III'''</big></span></span>
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|| [[Almagesto:_Libro_III_-_Capítulo_09|<span style="color: #831139">'''09'''</span>]]
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| [[Almagesto:_Libro_III_-_Capítulo_10|<span style="color: #0d4f06">'''10'''</span>]]
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=='''Notas de referencia'''==
{{listaref|refs=
<ref name="Referencia 049">Lectura  en H240,16-17, con el manuscrito D (cf. todo el manuscrito griego, en la tabla de contenidos, H190,9-10) para  (“investigación de la anomalía para prolongaciones parciales”, que es la lectura en el manuscrito Ar. en ambos lugares). En los capítulos 5 y 6 ver HAMA 58-60, Pedersen 149-51.</ref>
<ref name="Referencia 050">Euclides DATA 40: si los ángulos de un triángulo son dados, los lados están dados en forma (ej. es dada la relación de los lados, cf. DATA 3).</ref>
<ref name="Referencia 051">Euclides DATA 8: teniendo una relación dada para la misma magnitud, la magnitud tiene una relación dada para cada [una de las] otras. DQ / QZ esta dada como la relación de la excentricidad.</ref>
<ref name="Referencia 052">Euclides DATA 43; si, en un triángulo rectángulo, los lados de uno de los ángulos agudos tienen una relación dada, el triángulo esta dado en forma (cf. n.50).</ref>
<ref name="Referencia 053">Leer segmento  segmento  para segmento  seg.  seg.  (2;34,36) en H247,6, en el manuscrito Ar. Cálculos precisos dan 2;35,34 (cf. leer D^2), pero aquí Ptolomeo solo da sus resultados en minutos, y 2;34 es correcto, dado que Cuerda 2;27º = 2;33,55p ≈ 2;34p. El número 36 probablemente fue una corrección marginal del número 34 (cf. leer el manuscrito D en H249,20), que fue mas tarde incorporado erróneamente como un lugar extra. La misma corrección ha sido echa en H 249,20 (ambas hechas por Manitius).
</ref>
<ref name="Referencia 054">Ptolomeo da a entender, que teóricamente uno puede tomar como argumento tanto el movimiento medio (seg. ), la posición verdadera (), o la ecuación ().</ref>
<ref name="Referencia 055">Literalmente “que contiene la ecuación de la anomalía correspondiente a los arcos del movimiento medio”.</ref>
<ref name="Referencia 056">Lectura  (con todos los manuscritos) para  (error de imprenta en Heiberg) en H251,24. Corregida por Manitius.</ref>
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[[Categoría:Almagesto]]